Các chuyên đề luyện thi Đại học - Phần I: Các dạng bài toán giải tích - Vũ Ngọc Vinh

D  AB. Tính theå tích khoái töù dieän ABCD 
b/ Vieát phöông trình tham soá ñöôøng vuoâng goùc chung   cuûa hai ñöôøng thaúng AB vaø CD . Tính 
goùc giöõa ñöôøng thaúng   vaø maët phaúng (ABD). 
c/ Vieát phöông trình maët caàu (S) ñi qua boán ñieåm A , B , C , D. Vieát phöông trình tieáp dieän   
cuûa maët caàu (S) song song maët phaúng (ABD). 
 Baøi 7 : Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho maët phaúng (P) : 2x - 3y + 4z – 5 = 0 vaø maët 
caàu (S) : x2 + y2 + z2 + 3x + 4y - 5z + 6 = 0. 
a/ Xaùc ñònh taâm I vaø baùn kính R cuûa maët caàu (S). 
b/ Tính khoaûng caùch töø taâm I ñeán maët phaúng (P) . Töø ñoù suy ra raèng maët phaúng (P) caét maët caàu 
(S) theo moät ñöôøng troøn maø ta kyù hieäu laø (C) . Xaùc ñònh toïa ñoä taâm H vaø baùn kính r cuûa ñöôøng 
troøn (C). 
 Baøi 8 : Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho ba ñieåm A ( 1 , 0 , 0 ) , B ( 0 , -2 , 0 ) , 
C ( 0 , 0 , 3 ) . 
a/ Xaùc ñònh toïa ñoä ñieåm D sao cho ABCD laø hình bình haønh. b/ Vieát phöông trình maët phaúng 
  ñi qua ba ñieåm A , B , C. 
c/ Thí sinh töï choïn moät ñieåm M ( khaùc A , B , C ) thuoäc maët phaúng   , roài vieát phöông trình 
ñöôøng thaúng (d) ñi qua ñieåm M vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng   . 
 Baøi 9 : Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho boán ñieåm A ( -2 , 0 ,1) , B ( 0 , 10 , 3 ) , 
C ( 2 , 0 , -1 ) , D ( 5 , 3 , -1 ). 
a/ Vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua ba ñieåm A , B , C.b/ Vieát phöông trình ñöôøng thaúng 
(d) ñi qua ñieåm D vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P). 
Vieát phöông trình maët caàu (S) taâm D vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng (P). 
 Baøi 10 : Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho ba ñieåm A ( 1 , 4 , 0) ,B ( 0 , 2 , 1 ) , 
C ( 1 , 0 , -4 ). 
a/ Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng AB. 
b/ Vieát phöông trình maët phaúng   ñi qua ñieåm C vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng AB.Xaùc ñònh 
toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng AB vôùi maët phaúng   . 
  BS: Vũ Ngọc Vinh 21 
 Baøi 11 : Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho   : 1 0x y z     vaø ñöôøng thaúng (d) : 
1
1 1 1
x y z  

a/ Vieát phöông trình chính taéc cuûa caùc ñöôøng thaúng laø giao tuyeán cuûa maët phaúng   vôùi caùc 
maët phaúng toïa ñoä. Tính theå tích cuûa khoái töù dieän ABCD bieát A , B , C laø giao ñieåm töông öùng 
cuûa maët phaúng   vôùi caùc truïc toïa ñoä Ox , Oy , Oz, coøn D laø giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) 
vôùi maët phaúng toïa ñoä Oxy. 
b/ Vieát phöông trình maët caàu (S) ñi qua boán ñieåm A , B , C , D. Xaùc ñònh toïa ñoä taâm vaø baùn kính 
cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán cuûa maët caàu (S) vôùi maët phaúng (ACD). 
Baøi 12 : Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho hình choùp S. ABCD coù ñaùy ABCD laø hình 
thoi, AC caét BD taïi goác toïa ñoä O. 
Bieát A ( 2 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 1 , 0 ) , S . Goïi M laø trung ñieåm caïnh SC. 
a/ Tính goùc vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng SA vaø BM. 
b/ Giaû söû maët phaúng (ABM) caét ñöôøng thaúng SD taïi ñieåm N. Tính theå tích khoái choùp S. ABMN. 
Baøi 13 : Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho ñieåm A ( - 4 , - 2 , 4 ) vaø ñöôøng thaúng 
 (d) : 3 21
1 4
x t
y t
z t
  
  
   
 Haõy vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm A , caét ñöôøng thaúng (d) vaø vuoâng goùc vôùi 
ñöôøng thaúng (d). 
 Baøi 14 : Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho ba ñieåm A ( 2 , 0 ,1) , B ( 1 , 0 , 0 ) , 
C ( 1 , 1 , 1 ) vaø moät maët phaúng (P) : x + y + z – 2 = 0. 
 Vieát phöông trình maët caàu (S) ñi qua ba ñieåm A , B , C vaø coù taâm thuoäc maët phaúng (P) 
 Baøi 15 : Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho ñöôøng thaúng (d) 
1
1 2 1:
3 1 2
x y zd    

; 
(P) : 2x + y - 2z + 9 = 0. 
a/ Tìm toïa ñoä ñieåm I thuoäc (d) sao cho khoaûng caùch töø I ñeán maët phaúng (P) baèng 2. 
b/ Tìm toïa ñoä giao ñieåm A cuûa ñöôøng thaúng (d) vôùi maët phaúng (P). Vieát phöông trình tham soá 
ñöôøng thaúng   naèm trong (P) , bieát   ñi qua A vaø vuoâng goùc (d). 
Baøi 16 : Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho hình laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1 vôùi 
A ( 0 ; -3 ; 0 ) , B ( 4 ; 0 ; 0 ) , C ( 0 ; 3 ; 0 ) , B1 ( 4 ; 0 ; 4 ) 
 a/ Tìm toïa ñoä caùc ñænh A1 , C1 . Vieát phöông trình maët caàu coù taâm laø A vaø tieáp xuùc vôùi maët 
phaúng ( BCC1B1). 
 b/ Goïi M laø trung ñieåm A1B1 . Vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua hai ñieåm A , M vaø song 
song vôùi BC1 . Maët phaúng (P) caét ñöôøng thaúng A1C1 taïi ñieåm N . Tính ñoä daøi MN. 
Baøi 17 : Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho hai ñöôøng thaúng 
1
1 2 1:
3 1 2
x y zd    

 vaø 
2 : 12 3 ; ; 10 2d x t y t z t     
a/ Chöùng minh raèng d1 vaø d2 song song nhau. Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa caû hai 
ñöôøng thaúng d1 vaø d2. 
  BS: Vũ Ngọc Vinh 22 
b/ Maët phaúng toïa ñoä Oxz caét hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2 laàn löôït tai caùc ñieåm A vaø B . Tính dieän 
tích tam giaùc OAB ( Vôùi O laø goác toïa ñoä). 
PHẦN III. CÁC DẠNG BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 
A. HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn: 
1. Định nghĩa: ( , ) 0
( , ) 0
f x y
g x y

 
, trong đó ( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y f y x
g x y g y x

 
2.Cách giải: 
 Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 
2 4S P . 
 Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y. 
Chú ý:+ Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP. 
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv. 
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ. 
4. Bài tập: Loại 1: Giải hệ phương trình 
1. a.
2 2
3 3
30
35
x y xy
x y
 
  
. b..
3 3
( ) 2
2
xy x y
x y
  
  
. c. 
2 2
2 2
1 1 4
1 1 4
x y
x y
x y
x y
    

    

. d. 2 2 2 8 2 
4 
   

 
x y xy
x y
e)
3 3
5 5 2 2
1x y
x y x y
  

  
 f)
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y
  

  
 g) 30
35
x y y x
x x y y
  

 
; 
 h)
2 2
4
2 8 2
x y
x y xy
  

  
i)
2 2 18
( 1)( 1) 72
x x y y
xy x y
    

  
 k)
2 2
2 2
1( )(1 ) 5
1( )(1 ) 49
x y
xy
x y
x y
   

   

 l) 
7 1
78
yx
y x x y
x xy y xy

  

  
; m) 
   2 2 3 3
4
280
x y
x y x y
 
   
2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 
a. 1
1 3
x y
x x y y m
 

  
. b. 
2 2 3 9
x y xy m
x y xy m
  
   
.c. 4 1 4
3
x y
x y m
   
  
.d. 
2 2 4 4 10
( 4)( 4)
x y x y
xy x y m
   
   
e) 2 2 2
4x y
x y m
 

 
 f) 4 4 4
x y m
x y m
 

 
 g) 
1 2 5
2
2
2
x y
x y
x y m
x y
    
   
h)  5 4 4
1
x y xy
x y xy m
   

   
Hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn: 
1. Định ghĩa:  
 
( , ) 0 1
( , ) 0 2
f x y
f y x

 
2.Cách giải: Lấy (1)  (2) hoặc (2)  (1) ta được: (xy)g(x,y)=0. Khi đó xy=0 hoặc g(x,y)=0. 
+ Trường hợp 1: xy=0 kết hợp với phương trình (1) hoặc (2) suy ra được nghiệm. 
  BS: Vũ Ngọc Vinh 23 
+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trong trường hợp này 
hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm. 
1.Giải các hệ phương trình sau: 
a. 
1 32
1 32
x
y x
y
x y
  

  
 b. 2
2
32
32
x y
x
y x
y
  

  

 c. 
3
3
1 2
1 2
x y
y x
  

 
d. 9 9
9 9
x y
y x
   

  
 e. 2 2
2 2
x y
y x
   

  
 g. 5 2 7
5 2 7
x y
y x
    

   
2. Cho hệ phương trình
2
2
( ) 2
( ) 2
x x y m
y x y m
   

  
. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. 
3. Tìm m để hệ: 
3 2 2
3 2 2
7
7
x y x mx
y x y my
   

  
 có nghiệm duy nhất. 
Hệ phương trình đẳng cấp: 
1. Dạng: 
 
 
,
,
F x y A
G x y B
 
 
, trong đó        , , ; , ,n mF kx ky k F x y G kx ky k G x y  . 
2. Cách giải: Đặt y = tx (x ≠ 0) hoặc x = ty (y ≠ 0). 
Giải các hệ phương trình sau: 
1) 
2 2
2 2
3 2 11
2 5 25
x xy y
x xy y
   

  
 2) 
2 2
2 2
6 2 56
5 49
x xy y
x xy y
   

  
 3) 
3 2
3 2
2 3 5
6 7
x x y
y xy
  

 
B. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CAN THỨC 
Các dạng cơ bản: 
* Dạng 1:         2
0g x
f x g x
f x g x
   

(Không cần đặt điều kiện   0f x  ) 
* Dạng 2:    f x g x xét 2 trường hợp: TH1:   
0
0
g x
f x
 


 TH2:    2
( ) 0g x
f x g x

 
* Dạng 3:      
   2
( ) 0
0
f x
f x g x g x
f x g x
 

  
 
1. Giải các phương trình sau: 
a. 01312 2  xxx ;b.      224 1 2 10 1 3 2x x x     ;c.      21 2 2 1x x x x x    ; 
.d. 34 1 3 2
5
xx x     ;e.    3 6 3 3 6x x x x       ;f. 3 24 12 6x x    ; 
g. 4 4 17 3x x   ; h.        2 23 3 32 7 2 7 3x x x x       
2. Giải các bất phương trình sau: 
  BS: Vũ Ngọc Vinh 24 
a.
 
2
2 4
1 1
x x
x
 
 
; b.  2 23 2 3 2 0x x x x    ; 
c.
 
 
22 16 73 1
3 3
x xx
x x
   
 
;d.   2 23 4 9x x x    
Đối với phương trình chứa tham số ta thực hiện như sau:Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1) 
B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C ): y = f(x,m) và đường thẳng 
d: y = g(m). 
B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m) 
B3: Kết luận: * phương trình có nghiệm:      min , max ,
x D x D
f x m g m f x m
 
  . 
 * phương trình có k nghiệm: d cắt (C) tại k điểm. 
 * phương trình vô nghiệm khi: d không cắt (C ) . 
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: 2 21 1x x x x m      có nghiệm. 
2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 3 1mx x m    , 
3: Tìm m để phương trình:  12 5 4x x x