Các câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số - Cù Đức Hòa

 (2) vaøo (1):
2 2
2
3 2 ( 2)( 1)x x x
b
x x
   
   (b + 2)x2 – 4x + 2 = 0 (3) 
Töø M keû 2 tieáp tuyeán ñeán (C) vaø vuoâng goùc vôùi nhau. 
 (2) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2  0 sao cho k1, k2 = -1. 
2 2
1 2
1 2 2 2
1 2
4 2( 2 0)
' 0
2 2
. 11
b
x x
k k
x x
  
  
    
   

 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  29 
1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
2
x0 2
 vôùi 
4( ) 2 0
2
xb b
x x x x
x x
b

  
  
      
 
2
00
6 2 0 3 7 (nhaän) 
bb
b b b
  
  
      
 CAÂU 23: 
1)Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: 
2 3 2 2
3
2
x x
y x
x
 
    (C) TXÑ: D = R\ {0} 
2
2
2
'
x
y
x

 ; 
2
' 0
2
x
y
x
  
  

TCÑ: x = 0 vì 
0
lim
x
y

  
TCX: y = x – 3 vì 
2
lim 0
x
x

 
BBT: 
Ñoà thò: Cho y = 0  x2 – 3x +2 = 0 
1
2
x
x

  
2)Tìm M treân ñöôøng thaúng x = 1 sao cho töø M keû ñöôïc 
 ñeán (C) 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc nhau. 
Goïi M(1, b) naèm treân ñöôøng thaúng x = 1. 
Ñöôøng thaúng (d) qua M vaø M coù heä soá goùc k: y= k(x - 1) + b 
(d) tieáp xuùc vôùi (C) 
2
2
2
3 2
2
k(x - 2) + b (1)
k (2)
x x
x
x
x
  

 
 

 coù nghieäm. 
 Thay (2) vaøo (1):
2 2
2
3 2 ( 2)( 1)x x x
b
x x
   
   (b + 2)x2 – 4x + 2 = 0 (3) 
 Töø M keû 2 tieáp tuyeán ñeán (C) vaø vuoâng goùc vôùi nhau. 
 (2) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2  0 sao cho k1, k2 = -1. 
2 2
1 2
1 2 2 2
1 2
4 2( 2 0)
' 0
2 2
. 11
b
x x
k k
x x
  
  
    
   

1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
2
x0 2
 vôùi 
4( ) 2 0
2
xb b
x x x x
x x
b

  
  
      
 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  30 
2
00
6 2 0 3 7 (nhaän) 
bb
b b b
  
  
      
Caâu 24: 
Cho 4 22 2 ( )my x x m C    
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá khi m = 0 4 22 2y x x   TXÑ: D = R 
3 2' 4 4 4 ( 1)y x x x x    
0
' 0
1
x
y
x

    
2'' 12 4y x  ; 
1 13
'' 0
93
y x y       ñieåm uoán 
1 13 1 13
, , ,
9 93 3
   
   
   
BBT: 
Ñoà thò: Cho y=2  x4- x2=0 
  
0
2
x
x
 

 
2) Tìm m ñeå (Cm) chæ coù hai giao ñieåm chung vôùi truïc Ox. 
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø truïc Ox: 
x4- 2x2+ 2-m = 0 (1) 
Ñaët t = x2 (t≥0) 
Phöông trình trôû thaønh: 
t2- 2t + 2 – m = 0 (2) 
 (1) chæ coù 2 nghieäm  (2) coù nghieäm traùi daáu hoaëc (1) 
 coù nghieäm keùp döông 
0
22 0' 0
11 2 0
0
2
P
mm
mmb
a
 
             
 
 Vaäy (Cm) caét Ox taïi 2 ñieåm khi: m = 1 hay m > 2. 
3) Chöùng minh raèng m tam giaùc coù 3 ñænh laø 3 ñieåm cöïc trò cuûa (Cm) laø moät tam giaùc 
vuoâng caân: 
Ta coù: y = x4- 2x2+ 2 - my’= 4x3- 4x 
20
' 0
11
y mx
y
y mx
   
        
Goïi 3 ñieåm cöïc trò laø: 
A(0, 2- m), B(-1, 1- m), C(1, 1- m) 
Ta coù: 
1 1 0,
( 1, 1) 2 ; (1, 1) 2
2,
ACAB m
AB AB AC AC
AB AC m
     
          
  

 
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  31 
 Vaäy  ABC laø tam giaùc vuoâng caân taïi A, m. 
Caâu 25: 
a) Khaûo saùt haøm soá: y=x4-5x2+4 (C) TXD: D = R 
y’= 4x3- 10x = 2x (2x2 - 5) 
0
y'=0 10
2
x
x


  

y’’= 12x2 – 10 
5 19
'' 0
6 36
y x y       ñieåm uoán: 
5 19 5 19
, ,
6 36 6 36
  
    
  
BBT: 
Ñoà thò: 
Cho 4 4
1
4 0
2
0 5
x
x
y x x
 
     
   
b) Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa a ñeå (C) tieáp xuùc vôùi ñoà 
 thò y=x2+a. 
Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm: Goïi (P): y = x2+ a. 
(C) tieáp xuùc (P) 
3
4 4 2 (1)
(2)4 10 2
5 4 a
x x
x x x
x
 

  
  
 
coù nghieäm 
 3 3
0
(2) 3 0 3 0
3
x
x x x
x
x

      
 
 
Thay vaøo (1): 
0 4; 3 5x a x a        
Vaäy a = 4, a = -55. Tieáp ñieåm    0, 4 3, 2 3, 2   . 
Caâu 26: Cho haøm soá: y = x3-(2m + 1)x2+ (m2 - 3m + 2)x + 4 
a) Khaûo saùt haøm soá khi m = 1: y=x3 - 3x2 + 4 TXD: D = R 
y' = 3x2 - 6x ; 
0
' 0
2
x
y
x

   
y’’= 6x – 6 ; y’’= 0  x = 1  y = 2  ñieåm uoán I(1, 2) 
BBT: 
Ñoà thò: 
 x = 3, y = 4 
 x = -1, y = 0 
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  32 
b) Xaùc ñònh m ñeå ñoà thò haøm soá coù ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu ôû veà 
2 phía truïc tung. Ta coù: y = x3- (2m +1)x2+ (m2- 3m + 2)x + 4 
y’= 3x2- 2(2m + 1)x + m2- 3m + 2 
Ñoà thò haøm soá coù ñieåm cöïc ñaïi vaø ñieåm cöïc tieåu ôû veà 2 phía cuûa truïc Oy. 
 y = 0 coù 2 nghieäm x1, x2 traùi daáu  P< 0. 
2 3 2
0 1 2
3
m m
m
 
     ÑS: 1 < m < 2 
Caâu 27: 
 a) Khaûo saùt haøm soá:  
2 3 6
1
1
x x
y
x
 


 TXD: D=R\{1} 
 
2
2
12 3
' ' 0
31
xx x
y y
xx
  
     
Tieäm caän ñöùng: x=1 vì 
1
lim
x
y

  
Tieäm caän xieân: Ta coù: 
4
2
1
y x
x
  

  TCX: y = x - 2 vì 
4
lim 0
1x x


BBT: 
Ñoà thò: 
Cho x = 0  y = -6 
 x = 2  y = 4 
 b) Töø ñoà thò haøm soá (1) haõy neâu caùch veõ vaø veõ ñoà thò haøm soá: 
2 3 6
1
x x
y
x
 


 (C1) Ta coù: y≥0  (C1) ôû phía treân Ox. 
 1
neáu ( 1)
neáu ( 1)
y x
y
y x

 
 
 Suy ra caùch veõ (C1) nhö sau: 
 - Phaàn cuûa ñoà thò (1) öùng vôùi x > 1 truøng vôùi (C1). 
 - Boû phaàn cuûa (1) öùng vôùi x < 1 vaø laáy phaàn ñoái xöùng 
cuûa phaàn naøy qua truïc Ox ta ñöôïc (C1). 
 c) Töø goác O coù theå veõ ñöôïc bao nhieâu tieáp tuyeán ñeán ñoà thò (C). 
 Tìm toïa ñoä tieáp ñieåm (neáu coù). 
- Ñöôøng thaúng (d) qua 0 vaø coù heä soá goùc k laø: y=kx. 
 - Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm cuûa heä: 
 
2
2
2
3 6
(1)
1
2 3
(2)
1
x x
kx
x
x x
k
x
  



  
 
 Thay (2) vaøo (1): 
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  33 
 
2 2
2
2
3 6 4 6 93 6 ( 2 3)
6 3 0
1 1 3 6 4 6 9
x kx x x x x
x x
x x x k
       
       
        
 Vaäy coù 2 tieáp tuyeán keû töø 0 ñeán ñoà thò (1). 
 Toïa ñoä tieáp ñieåm laø: 
13 6 3 6 3 (3 6,3 6 3)x y M        
 23 6 3 6 3 (3 6, 3 6 3)x y M          
Caâu 28: Cho haøm soá: 3
1
y x x m (1)
3
   
 1) Khaûo saùt haøm soá (1) khi 
2
m
3
 
 3
1 2
y x x (C)
3 3
   TXD: D = R 
2y' x 1
x 1
y' 0
x 1
y'' 2 x
2 2
y'' 0 x 0 y ñieåm uoán I(0, )
3 3
 
 
   

     
 BBT: 
 Ñoà thò: 
 Cho 
x 2, y 0
4
x 2, y
3
  
  
 2) Tìm m ñeå ñoà thò (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät: 
 Ñoà thò (1) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät. 
3
3
1
x x m 0 coù 3 nghieäm phaân bieät.
3
1 2 2
x x m (*) coù 3 nghieäm phaân bieät.
3 3 3
   
     
 Ñaây laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø ñöôøng thaúng (d). 
 Phöông trình (*) coù 3 nghieäm phaân bieät  (d) caét (C) taïi 3 ñieåm phaân bieät: 
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  34 
2 4
0 m
3 3
2 2
m
3 3
    
   
Caâu 29 : 
 1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá :
2
 ( )
2
x x
y C
x



 TXÑ :  \ 2D R 
2
2
4 2
'
( 2)
2 6
' 0
2 6
x x
y
x
x
y
x
 


  
  
 
 Tieäm caän ñöùng : 
 x = 2 vì 
2
lim
x
y

  
 Ta coù :
6
3
2
y x
x
  

 Tieäm caän xieân: 
 y = x + 3 vì 
6
lim 0
2x x


 BBT: 
 Ñoà thò : 
 Cho x = 0 , y = 0 
 x = 1 , y = -2 
X
Y
O
(C)
 2) Xaùc ñònh b ñeå ( ) caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät . 
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  35 
 Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi O. 
1
'( ).
2
y f O x y x    
 ( ) qua B(0, b) vaø song song (d) coù daïng : 
1
( ) :
2
y x b    
 Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ( ) vaø (C) : 
2
2 2
2
1
2 2
2 2 2 2 4
3 2 4 0
x x
x b
x
x x x x bx b
x bx b

  

      
   
 ( ) caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät : ' 0   
 2 12 0 0 12b b b b       
 Toaï ñoä trung ñieåm I cuaû MN : 
2
52 6 3
21
2
M Nx x b bx
x
y
y x b

  
 
   

 Vaäy I naèm treân ñöôøng thaúng coá ñònh coù phöông trình :
5
2
x
y  
Caâu 30: 
 Cho haøm soá :
2 2 2
1
x mx
y
x
 


 1. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá vôùi m = 1: 
2 2 2
1
x x
y
x
 


 TXÑ :  \ 1D R  
2
2
2
'
( 1)
x x
y
x



0
' 0
2
x
y
x




 
 
 Tieäm caän ñöùng : 
 x = -1 vì 
1
lim
x
  
 Ta coù:
1
1
1
y x
x
  

 Tieäm caän xieân : 
 y = x + 1 vì 
1
lim 0
1x x


 BBT: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  36 
 Ñoà thò: 
X
Y
O
(C)
 2. Tìm m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø khoaûng caùch töø ñieåm cöïc ñaïi vaø ñieåm 
cöïc tieåu ñeán ñöôøng thaúng: x + y + 2 = 0 baèng nhau. 
 Ta coù:
2 2 2
1
x mx
y
x
 


2
2
2 2 2
'
( 1)
x x m
y
x
  


 2' 0 2 2 2 0y x x m      (1) 
 Haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu  (1) coù 2 nghieäm phaân bieät. 
3
' 3 2 0
2
m m       
 Toaï ñoä ñieåm CÑ 1 1 1( , )M x y vaø ñieåm CT 2 2 2( , )M x y cho bôûi: 
1
1 1 1
1
2
2 2 2
2
'( )
1 3 2 2 2
'( )
'( )
1 3 2 2 2
'( )
u x
x m y x m
v x
u x
x m y x m
v x






       
       
 Goïi (D): x + y +2 = 0, ta coù:    1 2, ,d M D d M D 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tæ : To¸n - Lý 
  37 
1 1 2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
2 2
3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 2 2
( )
4( 1)
3
4( 1) 1
2
3 2
x x m x x m
x m x m
x m x m
x m x m
x x loaïi
m
x x
m
m







     
 
     
    

     

  
 
 
    
 So vôùi ñieàu kieän 
3
2
m  nhaän 
1
2
m  
 ÑS : 
1
2
m  
Caâu 31: 
 1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: 
 3 26 9y x x x   (C) 
 TXÑ : D = R 
2' 3 12 9