Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số môn Toán học

 CÁC BƯỚC KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
I. MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ 
Giúp học sinh hệ thống lại các bước khảo sát, vẽ và các phép biến đổi đồ thị của hàm số. 
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 1. Các kiến thức cần nhớ. 
 1.1. Tính đồng biến nghịch biến của hàm số. 
- Giả sử F(x) là hàm số xác định trên miền D. 
a.Hàm số F(x) được gọi là đồng biến trên miền D nếu với và x1< x2 thì F(x1) < 
F(x2). 
∀ ∈,1 2x x D
b.Hàm số F(x) được gọi là nghịch biến trên miền D nếu với và x1< x2 thì F(x1) 
> F(x2). 
∀ ∈,1x x D
Ví dụ 1: Cho hàm số F(x) = 2x +3 với ∀ ∈x R
Rõ ràng đây là hàm số đồng biến trên R. 
Ví dụ 2: Cho hàm số y = 
+2
1
x 3
 Khi x1>x2 ≥ 0 => x12 + 3 > x22 + 3 > 0 
 => <
+ +21x 3 22
1 1
x 3
 => F(x1) > F (x2) 
 Vậy hàm số F(x) nghịch biến trên [0, +∞). 
Khi 0 ≥ x1>x2 => 0 ≤ x12 + 3 < x22 + 3 
 => >
+ +21x 3 22
1 1
x 3
 Vậy hàm số F(x) đồng biến trên (-∞, 0]. 
** Vài hàm số đồng biến, nghịch biến quen biết huy động: 
1/ y = ax là hàm số đồng biến trên toàn trục số khi a >1. 
 Và là hàm số nghịch biến trên toàn trục số khi a < 1. 
2/ y = logax là hàm số đồng biến trên (0, +∞) khi a>1. 
Trang 1 
 Và là hàm số nghịch biến trên (-∞, 0) khi a<1. 
- Tiêu chuẩn đồng biến, nghịch biến. 
 Giả sử F(x) là hàm số xác định và có đạo hàm trên (a,b). 
 - Hàm số F(x) là đồng biến trên (a,b) nếu F’(x) ≥ 0 với ∀ ∈ ( , )x a b
 (Và F’(x) chỉ có thể bằng 0 tại một số hữu hạn điểm). 
 - Hàm số F(x) là nghịch biến trên (a,b) nếu F’(x)≤ 0 với ∀ ∈ ( , )x a b
 (Và F’(x) chỉ có thể bằng 0 tại một số hữu hạn điểm). 
Ví dụ 3: Hàm số F(x) = x3 xét trên R 
 Ta có F’(x) = 3x2 ≥ 0 với (F’(x) = 0 chỉ khi x = 0 ). ∀ ∈x R
 Vậy F(x) là hàm số đồng biến trên R. 
Ví dụ 4: Hàm số F(x) = − + −5 41 1 1x x
5 2 3
3x xét trên R. 
Ta có F’(x)= -x4 + 2x3 – x2 = -x2(x-1)2 ≤ 0 ∀ ∈x R
(F’(x)= 0 khi x = 0, x = 1) . 
Vậy F(x) là hàm số nghịch biến trên toàn trục số. 
1.2. Cực trị của hàm số. 
Ở đây chỉ xin trình bày kỹ các kết quả hay sử dụng sau: 
- Với hàm bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) . Giả sử (x1, y1) và (x2, y2) là 2 cực trị của 
hàm số. Ta có công thức sau: 
⎩⎨
⎧
+=
+=
222
111
BAxy
BAxy
ở đây Ax + B là phần dư trong phép chia của y = ax3 + bx2 + cx + d cho y = 3ax2 + 2bx + c. 
Khi đó y = Ax + B cũng chính là đường thẳng nối 2 điểm cực trị (x1, y1) và (x2, y2). 
- Với hàm phân thức: y = 
)(
)(
x
x
Q
P
 ta có kết quả sau: 
Giả sử (x0, y0) là cực trị của hàm số thì: 
 oy = )('
)(
'
0
0
x
x
Q
P
Nói riêng với hàm phân thức: y = 
''
2
bxa
cbxax
+
++ (a, a’≠ 0), 
và nếu hàm số đạt cực đại, cực tiểu thì: 
Trang 2 
 y = 
''
2
a
bx
a
a + 
Là đường thẳng nối cực đại, cực tiểu. 
1.3. Điểm uốn của hàm số: 
- ĐN: Cho hàm số y = F(x). Hàm số gọi là lồi trên (a,b) nếu như F’’(x) < 0 , và 
gọi là lõm trên trên (a,b) nếu như F’’(x) > 0 
),( bax∈∀
),( bax∈∀ . 
- Hàm số y=F(x) gọi là có điểm uốn tại điểm M nằm trên đường cong có hoành độ x0, nếu 
như nó thoả mãn đồng thời 2 điều kiện sau: 
1) F’’(x) = 0 
2) Đạo hàm bậc hai F’’(x) đổi dấu qua điểm M (x0,y0) 
Chú ý: Điều kiện F’’(x0) = 0 chỉ là điều kiện cần để tồn tại điểm uốn có hoành độ x0. 
Ví dụ: cho y = x4 . Khi ấy y’ = 4x3 => y’’ = 12 x2. 
Mặc dù y’’(0) = 0, nhưng do y’’ ≥ 0 Rx∈∀ ,suy ra đường cong y = x4 không có điểm uốn. 
1.4. Tiệm cận của hàm phân thức: 
Cho hàm phân thức: y = 
)(
)(
x
x
Q
P
, 
viết ở dạng tối giản, tức là P(x), Q(x) là 2 đa thức không có nhân tử chung là đa thức bậc ≥ 
1. 
1. Hàm phân thức có tiệm cận ngang nếu như deg P(x) = deg Q(x) (ở đây deg P(x) chỉ bậc 
của đa thức P(x)). Ngoài ra y = a là tiệm cận ngang,ở đây: 
 ( )lim
( )x
P xa
Q x→∞
= 
2. Hàm phân thức có tiệm cận đứng, nếu Q(x) có nghiệm. Giả sử x1,x2,x3,x4,xn là các 
nghiệm của Q(x). Khi đó hàm số có k tiên cận đứng kx x= ,k=1,2,....,n, bởi vì 
 ( )lim
( )kx x
P x
Q x→
= ∞ , với mọi k=1,2,......,n. 
3. Hàm phân thức có tiệm cận xiên nếu như deg P(x) = 1 + deg Q(x). Lúc ấy ta có y=ax+b 
là tiệm cận xiên của y = 
)(
)(
x
x
Q
P
, với 
 ( ) ( )lim , lim ax
( ) ( )x x
P x P xa b
Q x Q x→∞ →∞
⎡ ⎤= = −⎢ ⎥⎣ ⎦ . 
4. Tiệm cận của hàm y = F(x). 
 1. y = a là tiệm cận ngang của y = F(x) nếu như : 
Trang 3 
 lim ( )
x
F x a
→∞
=
 2. x = c là tiệm cận đứng của y = F(x) nếu như: 
 li m ( )
x c
F x
→
= ∞
 3. y = ax + b là tiệm cận xiên của y = F(x) nếu như: 
 [ ]lim ( ) (ax+b) 0
x
F x→∞ − = 
5. Các phép biến đổi đồ thị cơ bản 
 Từ đồ thị y = F(x): 
 (Đồ thị) 
 Ta suy ra các đồ thị: y = )(xF ; y = F( x ); )(xFy = . 
2. Các bài toán khảo sát hàm số. 
2.1. Các bước khảo sát hàm số cho một bài toán chung. 
 Với loại bài toán này các bạn sẽ hoàn thành tốt yêu cầu đề ra nếu như: 
- Nắm vững và thực hiện thành thục các bước của một bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 
1. Tìm Tập xác định của hàm số và xét tính chẵn lẻ, tuần hoàn. 
2. Sự biến thiên. 
+ Chiều biến thiên hàm số 
• Tính đạo hàm y’ 
• Tìm nghiệm của phương trình y’ = 0 và các điểm không xác định của y’ 
• Xét dấu y’ và suy ra chiều biến thiên 
 + Tìm cực trị hàm số 
 + Tìm giới hạn tại +∞ , tại điểm mà hàm số không xác định và tìm các tiệm cận −∞
 + Lập bảng biến thiên 
3. Vẽ đồ thị và nhận xét đồ thị vừa vẽ : Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định 
trên để vẽ đồ thị. 
- Khi vẽ đồ thị cần chú ý đến tính lồi, lõm của hàm số để vẽ cho đúng dạng của hàm số, 
ngoài ra cần lưu ý thêm : 
1. Nếu hàm tuần hoàn với chu kì T thì ta chỉ cần vẽ đồ thị trên một chu kì rồi tịnh tiến 
đồ thị song song với Ox. 
2. Để vẽ chính xác hơn cần : 
Trang 4 
• Tính thêm toạ độ một số điểm, đặc biệt nên tính các giao điểm của đồ thị với trục 
Ox, Oy 
• Lưu ý đến tính chất đối xứng (qua trục, qua tâm ...) của đồ thị. 
2.2.Xét một số ví dụ khảo sát dạng đa thức: 
VD1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x3 – 3x2. 
1. Khoảng xác định: Hàm số xác định với mọi x∈(-∞ , +∞ ) 
2. Chiều biến thiên: 
Ta có bảng biến thiên sau: 
x -∞ 0 2 +∞ 
y’ + 0 - 0 + 
 + ∞
 y 
- ∞ 
Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞ ,0); (2,+∞ ) 
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0,2) 
Hàm số đạt cực đại tại điểm (0,0) và đạt cực tiểu tại điểm (2,-4). 
 3. Tính lồi, lõm: y’’ = 6x – 6. 
x -∞ 1 +∞ 
y’ + 0 - 
 Lồi Lõm 
y 
Hàm số lồi trên (-∞ , 1), lõm trên (1,+∞ ) 
Hàm số có điểm uốn tại (-1,2). 
4. Vẽ đồ thị: 
- Tìm thêm vài điểm đặc biệt khác: 
 + Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0,0) (cho x= 0, y = 0). 
 + Đồ thị cắt trục hoành khi y = 0 x3 – 3x2 = 0 
Trang 5 
 ⎢ ⎣
⎡
=
=
3
0
x
x
- Đồ thị có dạng sau: 
Đồ thị nhận điểm uốn (-1,2) làm tâm đối xứng. 
VD2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x4 – 4x3. 
 - Khoảng xác định: Hàm số xác định với x∈(-∞ , +∞ ) 
 - Chiều biến thiên: y’ = 4x3 – 12x2 = 4x2(x - 3). 
 Lập bảng biến thiên sau: 
x -∞ 0 3 +∞ 
y’ - 0 - 0 + 
+∞ + ∞
 y 
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ,3)−∞ và đòng biến trên khoảng (3,+ ). ∞
Hàm số đạt cực tiểu tại (3,-27). 
- Tính lồi lõm: Ta có bảng biến thiên sau: 
x -∞ 0 2 +∞ 
y’ + 0 - 0 + 
 Lõm Lồi Lõm 
y 
Hàm số lồi trên khoảng (0,2) và lõm trên các khoảng (-∞ , 0), (2,+ ). ∞
Hàm số có 2 điểm uốn tại các điểm (0,0) và (2,-16). 
 - Đồ thị: Tìm thêm vài điểm đặc biệt của đồ thị. 
 + Đồ thị cắt trục tung tại (0,0). 
Trang 6 
 + Đồ thị cắt trục hoành khi y = 0 x3 (x– 4) = 0 
 ⎢ ⎣
⎡
=
=
4
0
x
x
Đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm (0,0) và (4,0). 
Đồ thị có dạng sau đây: 
Chú ý: Với VD này các bạn cần lưu ý vì nếu không cẩn thận có thể mắc các lỗi sau: 
 - Có thể sai ngay từ bảng xét dấu y’: (vì thấy y’ = 0 tại 2 điểm, nên lập ra bảng biến 
thiên sau: 
x -∞ 0 3 +∞ 
y’ + 0 - 0 + 
 + ∞
 y 
- ∞ 
Các bạn chớ chủ quan: nhiều học sinh đã sai lầm như vậy (Lý do sai ở đây là x2 = 0 
khi x = 0 nhưng khi x ≠ 0 thì x2 > 0 không đổi dấu khi qua x = 0. Đạo hàm y’ chỉ đổi dấu khi 
qua x = 3. từ đó hàm số chỉ có một điểm cực tiểu mà thôi). 
Trang 7 
Vẽ được đồ thị dạng trên là do các bạn phải rõ: Đồ thị có 2 điểm uốn và xác định 
đúng tính lồi, lõm của nó. Nếu không thì quả là không đơn giản đẻ vẽ được đúng hình như 
vậy. 
2.3.Xét một số ví dụ khảo sát dạng phân thức: 
VD 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 
1
12
−
−+
x
xx 
Giải : Xét hàm số y = 
1
12
−
−+
x
xx 
Hàm số xác định với mọi x 1≠ 
Ta có y’ = 2
2
)1(
2
−
+
x
xx vì có bảng biến thiên sau: 
x -∞ 0 1 2 +∞
y’ + 0 - - 0 + 
y 
-∞ 
 1 
-∞ 
 +∞ 
5 
 +∞ 
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞ , 0); (5, +∞ ) , và nghịch biến trên các khoảng 
(0,1); (1, 2) 
Hàm số có cực đại tại điểm (0, 1) và cực tiểu tại điểm (2, 5) 
Ta có 
2
2
2
1 1
2
1 1
1lim ( ) lim
1
1lim ( ) lim
1
1lim ( ) lim
1
1lim ( ) lim
1
x x
x x
x x
x x
x xf x
x
x xf x
x
x xf x
x
x xf x
x
− −
+ +
→−∞ →−∞
→+∞ →+∞
→ →
→ →
+ −= =−
+ −= =−
+ −= =−
+ −= =−
−∞
+∞
−∞
+∞
Do vậy x = 1 là tiệm cận đứng của hàm số và hàm số không có tiệm cận ngang. 
Ta tìm tiệm cận xiên như sau: 
Trang 8 
 2
2 2
1lim 1
1
1 1lim ax lim lim 2.
1 1
x
x x x
x xa
x
x x x x xb x
x x
→∞
→∞ →∞ →∞
+ −= =−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + − −= − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 1
1x
=−
Vậy y = x + 2 là tiệm cận xiên của hàm số. 
Từ đó suy ra đồ thị của hàm số đã cho có dạng sau: 
Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận (1, 3) làm tâm đối xứng 
III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP 
Yêu cầu: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho các bài dưới đây 
1. 3 xy
3x 1
−= − 3. 
2
y 2 x
2 3x
= − − − 
2. 
2x 3x
y
x 1
− += +
2 4. 
2x x
y
x 2
−= − 
5. 6. 3 y x 3x 1= − + 4 2y x 2x 4= − +
Trang 9