Các bước Khảo sát sự biến thiên và vẽ đò thị hàm số môn Toán Lớp 12

 SƠ ĐỒ CÁC BƯỚC KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1. Hàm bậc ba : y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0)
 a. TXĐ : D = R 
 b. Sự biến thiên : 
 +. Chiều biến thiên: Đạo hàm y’ = A x2 + Bx + C ( Tính ) , Sau đây là các khả năng 
 có thể xẩy ra : 
 TH1: Þ y’ < 0 với mọi xR Þ HS nghịch biến trên R (1)
 TH2: Þ y’ > 0 với mọi xR Þ HS đồng biến trên R (2) 
 TH3: Þ y’ £ 0 với mọi xR Þ HS nghịch biến trên R (3)
 TH4: Þ y’ ³ 0 với mọi xR Þ HS đồng biến trên R (4)
 TH5, 6: > 0 . Cho y’= 0 Û (5) và (6)
 Căn cứ vào BBT để kết luận các khoảng mà hàm số tăng hoặc giảm
 +. Cực trị : 
 * Các TH1, TH2, TH3, TH4 : Kết luận không có cực trị
 * TH5: Hàm số đạt cực đại tại x = x1 và yCĐ = f(x1) 
 Hàm số đạt cực tiểu tại x = x2 và yCT = f(x2) 
 * TH6: Hàm số đạt cực tiểu tại x = x1 và yCT = f(x1) 
 Hàm số đạt cực đại tại x = x2 và yCĐ = f(x2) 
 +. Giới hạn: a > 0 : -¥ , + ¥ ; a < 0 : +¥ , - ¥
 +. Bảng biến thiên : (Ứng với các trường hợp đạo hàm phía trên )
_
_
c. Đồ thị :
 +. Điểm đặc biệt : Tìm gđ của đồ thị (C) với Ox và Oy; điểm CT ; lấy thêm vài điểm khác 
 +. Vẽ đồ thị : Gồm các bước : Vẽ hệ tục ; Lấy điểm đặc biệt ; Vẽ đồ thị . (Các dạng 
 đồ thị ) 
2. Hàm trùng phương : y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0 )
 a. TXĐ : D = R 
 b. Sự biến thiên: 
 +. Chiều biến thiên: Đạo hàm y’ = 4ax3 + 2bx = x (4ax2 + 2b). Có thể xẩy ra 1 trong 
 4 trường hợp sau: 
 TH1: Nếu a < 0 và b < 0 thì y’= 0 Û x = 0 Þ y = f(0) . Xem BBT để kết luận 
 khoảng tăng , giảm (1)
 TH2: Nếu a > 0 và b > 0 thì y’= 0 Û x = 0 Þ y = f(0) . Xem BBT để kết luận 
 khoảng tăng , giảm (2)
 TH3: Nếu a 0 thì y’= 0 Û . Xem BBT để kết luận 
 khoảng tăng , giảm (3) 
 TH4: Nếu a > 0 và b < 0 thì y’= 0 Û . Xem BBT để kết luận 
 khoảng tăng , giảm (4)
 +. Cực trị : 
 TH 1: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = f(0)
 	TH 2: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và yCT = f(0)
TH 3: Xem BBT để kết luận
TH 4: Xem BBT để kết luận
 +. Giới hạn: a> 0 : +¥ và + ¥ ; a< 0 : -¥ và - ¥ 
 +. Bảng biến thiên : 
y’
x
y
+
0
0
_
CĐ
f(0)
(1)
y’
x
y
+
0
0
_
CT
f(0)
(2)
y’
x
y
+
0
_
(3)
x1
0
0
0
x2
+
_
CT
f(0)
0
y’
x
y
+
0
_
CĐ
f(0)
(4)
x1
0
0
0
x2
+
_
0
 c. Đồ thị : 
 * Điểm đặc biệt : Tương tự như HS bậc ba 
 * Vẽ đồ thị : Thứ tự các bước vẽ như HS bậc ba. Các dạng đồ thị của hàm trùng phương 
 ứng với các trường hợp như sau : 
3. Hàm nhất biến : y = ( c ¹ 0 ; ad –bc ¹ 0 )
 a. TXĐ : D = R \ 
 b. Sự biến thiên: 
 +. Chiều biến thiên: Đạo hàm : y’ = . Có thể xẩy ra 1 trong 2 trường hợp sau :
 TH1: ad - bc > 0 Þ y’> 0 với mọi xỴDÞ HS tăng trên 2 khoảng: (-¥,);(,+¥ ) (1) 
 TH2: ad - bc < 0 Þ y’< 0 với mọi xỴDÞ HS giảm trên 2 khoảng: (-¥,);(,+¥ ) (2) 
 +. Cực trị: Không có 
 +. Tiệm cận : ( có TCĐ và TCN )
 * y’ > 0 : và Þ đường thẳng x = là TCĐ 
 y’ < 0 : va Þ đường thẳng x = là TCĐ 
 * Þ đường thẳng y = là TCN
 +. Bảng biến thiên : 
_
_
 c. Đồ thị : 
 * Điểm đặc biệt : Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ ; Lấy thêm vài điểm khác
 * Vẽ đồ thị : Gồm các bước : Vẽ hệ trục ; vẽ hai đường tiệm cận ; lấy điểm đặc biệt , 
 từ đó vẽ đồ thị. Các dạng đồ thị ứng với 2 trường hợp trên như sau:
(1)
(2)
Đôi điều tâm sự:
Tại sao học sinh đi thi TN lại không được điểm 2, đi thi ĐH lại bị điểm không 0, thật đơn giản là không nắm vững bài toán khảo sát hàm số . Đây là bài toán luôn có trong các kì thi nhưng nhiều học sinh vẫn không nắm được. Qua kinh nghiệm giảng dạy mình đã lập sơ đồ này cho học sinh photo, đặc biệt là học sinh yếu thì đều làm ro ro hết. Bây giờ mình xin chia xẻ cùng đồng nghiệp nhé.
 Nếu thấy hiệu nghiệm, xin một lời cảm ơn vào địa chỉ : hoangsen95@gmail.com