Các bài toán về bất đẳng thức hình học lớp 7

 CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 
BÀI 1: Cho hình chữ nhật ABCDvới AB = 2AD ,M là trung điểm của đoạn AB.Trên AB lấy H sao cho ADH = 150.Hai đường thẳng CH và DM cắt nhau tại K.Hãy so sánh độ các đoạn thẳng DH và DK
LỜI GIẢI :
 Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ là đường thẳng DH dựng tam giác đều DHN .Gọi Q là trung điểmDC ta có :
 AD = DQ = QC 
 DH = HN (DHN đều ) 
Từ đó suy ra 
Tức là CHD cân tại C .Mà (1)
Do tam giác ADM vuông cân tại A nên (2)
Xét tam giác DHK từ (1) và (2) suy ra (3)
Từ (1) và(3) suy ra tam giác DHK cân tại D Tức là DH = DK 
BÀI2 :Cho tam giác ABC cân tại A lấy điểm O trong tam giác sao cho 
So sánh độ dài của OB và OC 
Cách 1:
Kẻ đường cao AH, nếu điểm O thuộc AH 
Thì dễ thấy OB =OC và Trái giả thiết .
Gỉa sử tia AO nằm trong góc BAH và CO cắt AH tại M nối BM .ta có OC = OM + MC
= OM + MB > OB từ đó suy ra suy ra :
 (1)
 Ta có (2)
Từ (1) và (2) ta có : . Điều này trái giả thiết .
Vậy tia AO phải nằm trong góc CAH .Lập luận tương tự ta có OB> OC và 
 Vậy 
Cách 2: Vẽ tia AD sao cho <DAC =<BAO và AD = AO (B, D khác phía với AC.
Ta có tam giác ABO và tam giác ACD bằng nhau( c.g.c) =>OC =OB và <AOB =<ADC
Từ AO = AD => Tam giác AOD cân ở A => <AOD =<ADO.
Mà OC OC < OB.
BÀI3 : cho tam giác ABC vuông cân tại A .Gọi M là trung điểm BC ,G là điểm thuộc cạnh AB sao cho AB = 3AG,Elà chân đường vuông góc hạ từ M xuống CG.Các đường thẳng MG và AC cắt nhau tại D.So sánh độ dài DE và BC.
LỜI GIẢI :
Trên tia CA lấy điểm D’ sao cho Alà trung đểm của CD’ thì 2 đường trung tuyến BAvà D’M cắt nhau tại G với 3AG = AB do đó điểm D’ D .Mặt khác BA DC nên vuông cân tại B .Do cân tại B. Do đó BD = BC (1)
Gọi N là giao đểm của CG và BD .Vì G trọng tâm Nên N là trung điểm của BD 
Từ đó BN = CM = BM . Hạ BKNC Thì KM =BM = CM vì cân tại M nên 
 KE = CE (2)
Lại có ( Cùng phụ với Suy ra Và BK = CE (3) Từ (2) và (3) suy ra KE = KB 
Nên là tam giác vuông cân tại K do đó .
Hai tam giác BKDvà CEB Có Và BK = CE , BD = CB do đó Suy ra (4)
 Từ (1) và (4) suy ra DB = DE 
BÀI 4 :
Cho tam giác ABC với Trên tia phân giác của góc ABC lấy điểm N sao cho .Hãy so sánh độ dài của CN và CA 
LỜI GIẢI :
 Trên tia BA lấy điểm Dsao cho BD = BC Ta có tam giác BCD cân tại B .Vì .
Ta lại có (Tính chất của góc ngoài )
 Suy ra tam giác ACD cân tại C dó CA = CD (1).
Xét 2 tam giác BDN và BCN có : 
 BN chung BD= BC Và 
Nên suy ra Cân tại N lại có :
 là tam giác đều (2) Từ (1) và (2) ta có CA = CN 
BÀI 5:
Cho tam giác ABC với .Trên tia phân giác của góc ACB lấy điểm M sao cho . So sánh số đo góc BMC và BME
LỜI GIẢI :
Ta có . Kẻ DE AM (E AC) Ta có cân tại D từ đó suy ra Và DE là đường phân giác của góc ADM nên do đó .
Xét 2 tam giác BMC và EMC có BC = EC , MC chung Do đó 
 BÀI 6:
Cho tam giác ABC cân trên cạnh đáy BC lấy đểm D sao cho CD = 2 BD. So sánh số đo 2 góc Và 
 LỜI GIẢI :
Gọi M là trung điểm của DC . Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA .Ta có Vì có MD = MC , MA = ME Nên DE = AC Và 
 Mặt khác (tính chất góc ngoài của tam giác ) do 
Vì 
 Suy ra 
BÀI 7:
Cho tamgiác ABC lấy điểm D thuộc nửa mf không chứa C bờ AB sao chovà AD = AB . Lấy điểm E thuộc nửa mf không chứa B bờ AC sao cho và AE = AC . So sánh diện tích 2 tam giác ADE và ABC.
LỜI GIẢI :
 Ký hiệu SABC là diện tích tam giác ABC .Trên tia đối của tia AB lấy B’ sao cho AB = AB’,ta có vuông cân ,suy ra AD = AB’ và AD AB’.
Xét 2 tam giác DAE và B’AC có AD = AB’ , AE = AC , (1) .Mặt khác 2 tam giác B’AC và ABC có AB’ = AB , cùng đường cao hạ từ đỉnh C do đó SB’AC = SABC (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra SADE = SABC
BÀI 8:
Cho tam giác ABC có AB> AC .Trên các cạnh AB , AC lấy các điểm M,N sao cho AM = AN gọi K là giao điểm của BN và CN .Hãy so sánh độ dài của KB và KC .
LỜI GIẢI :
 Trên đoạn AB lấy điểm I sao cho AI = AC khi đó (c.g.c) (1) vì tam giác AIC cân tại A suy ra ( Tia IN nằm giữa 2 tia IA,IC ) . vì Trong tam giác BIN góc là góc tù suy ra BN > IN (2) . Từ (1)và (2) ta có BN > CM (3) . cũng do nên 
 Vì ta lại có 
(do I nằm giữa Mvà B ) do đó (4)
Từ (3) và (4) ta có BN+KM > CM+KN BN –KN .> CM – KM BK > CK 
BÀI 9:
Cho tam giác ABC có góc ACB = 450 và góc A tù ..Kẻ tia BD cắt tia đối của tia CA tại D sao cho góc CBD = góc ABC kẻ AH vuông góc với BD tại H tính số đo góc CHD.
LỜI GIẢI :
Gọi tia đối của tia AB là tia Ax .Xét tam giác ABH ta có :
 . Xét tam giác ABC ta có :
 suy ra AC là tia phân giác của góc Hax.
Kết hợp với giả thiết BC là tia phân giác của góc ABH suy ra HC là phân giác góc AHD
Do góc AHD = 900 Nên suy ra góc CHD = 450.
BÀI 10
Cho tam giác ABC vuông cân đáy BC .Gọi M,N là trung điểm của AB , AC .Kẻ NHCM tại H kẻ HEAB tại E . So sánh: a) BA và BH 
 b) <BHM và <MHE 
LỜI GIẢI :
a, Cách 1: 
Từ A kẻ AK MC tại K và AQ HN tại Q .Hai tam giác vuông MAK và NCH có MC = NC (= AB ) , (cùng phụ với góc AMC ) (1)
Dễ thấy . 2 Tam giác vuông AQN và CHN có AN = NC , (2)
Từ (1) và (2) suy ra AK = AQ AH là tia phân giác của góc KHQ Từ Tam giác AKH có Nên nó vuông cân tại K suy ra KA = KH . Xét 2tam giác BKA và BKH có BK chung , , KA = KH hay tam giác
ABH cân tại B .
Cách 2:Kẻ AK vuông góc với MC. Ta chứng minh được tam giác MKA bằng tam giác NKC suy ra KC = AK. Ta có AK //NH , NA = NC => KH = HC =>AK = KH.
Ta có ME //AC, HK = HN => HE cắt KA ử trung điểm I của AK.
 Xét tam giascMAB có M là trung điểm của AB, I là trung điểm của AK => MI là đường trung bình của tam giác ABC =>MI // BK.
Trong tam giác MAH có hai đường cao He, AK cắt nhau tại I => I là trực tâm của tam giác MAH => MI vuông góc với AH=> BK vuông góc với AH tại F
Lại có tam giác AKH cân ở K=> đường cao KF vơaf là đường cao vừa là trng tuyến => FA=FH. Tam giác BAH có đường cao BF vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên tam giác ABH cân ở B=> BA=BH
b, ta có theo (1) mà HE // CA (góc đồng vị) vì hay HM là tia phân giác góc BHE
BÀI 11: Cho tam giác ABC đều, trên BC, AC lấy M, N sao cho BM= CN. Kẻ MP, NQ, CH vuông góc với AB.
So sánh MP + NQ và CH.
 Tìm vị trí M, N để MN ngắn nhất.
BÀI 12: Cho góc xOY. Vẽ tia Oz sao cho xOz bằng nửa < yOz. Trên Oy lấy A kẻ AH vuông góc với Ox, AH cắt Oz ở B. Trên tia Bz vẽ D sao cho OA = BD. So sánh AO và AD.
 (Gợi ý: Trên tia Oz vẽ M sao cho OM =AO=> tam giác AOM cân => tam giác ABM cân=>AM= AB=. Tam giác ABO và tam giác ADM bằng nhau => AO = AD.
BÀI 13: Cho tam giác ABC vuông ở A. So sánh: AB + AC và 2BC. 
( Vẽ tia Am sao cho<BAm =300 , vẽ BK, CH cùng vuông góc Am. Ta có BK = AB: 2, CH =AC:2; BK + CH <BC ). 
BÀI 13 : Cho góc xOy bằng 600. Trên Ox, Oy lấy A, B bất kỳ. Chứng minh 
OA + OB < 2AB . 
( Gợi ý: Vẽ Oz là phân giác góc xOy. Kẻ AH, BK cùng vuông góc với Oz Ta có AH= AO:2, BK= OB :2)