Cac bài toán luyện tập lớp 11

CAC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP LỚP XI
Đề bài:
 Bài 1: Giả sử, độ dài của tùng phần giác của tam giác không vượt quá 1.
Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác.
Bài 2: Trong tam diện РАВС đường cao hạ từ đỉnh Р đi qua trực tâm tam giác АВС.
Tính tỷ số diện tích mặt РАВ và РАС, nếu РС = 6 – ; РВ = 6 + ; ВС = 2.
Bài 3: Tồn tại hay không tam giác có sin một góc bằng cosin góc thứ hai và bằng tg của góc thứ ba?
Bài 4: Cho biết sina > 0 và sin3a > 0,25, chứng minh rằng sina > .
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức x2 + xy + y2, nếu 1 £ x2 + y2 £ 2. 
Bài 6: Giải phương trình: .
 --------------------------------------------
Lời giải:
Bài 1. Giả sử, độ dài của tùng phần giác của tam giác không vượt quá 1.
Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác
Trả lời: .
Giải:
hình 1
Đó là diện tích tam giác đều có phân giác bằng 1(xem hình 1).
Thật vậy trong tam giác đều có phân giác trùng với đường cao
Bởi thế cạnh 
Vậy diện tích của tam giác là: 
Ta chứng minh tất cả các tam giác thỏa mãn điều kiện của bài toán thỏa mãn bất đẳng thức: 
Đầu tiên ta chứng minh tất cả các cạnh của tam giác không thể lớn hơn 
hình 2
Giả sử điều đó không thể xảy ra.các cạnh của tam giác không thể lớn hơn 
Giả sử B là góc lớn nhất của các góc tam giác, khi đó kẻ phân giác СL 
(xem hình 2).
Có thể xảy ra hai trường hợp:
Nếu b ³ 90°, thì trong tam giác ВСL góc B – là góc lớn nhất (xem hình 2), 
hình 3
bởi thế СL > BC > > 1, trái với điều kiện của đầu bài; 
nếu 60° £ b < 90°, thì kẻ đường cao CH tam giác АВС (xem hình 3), 
khi đó СL ³ CH = ВС×sinb > = 1, cũng trái với giả thiết.
Vậy độ dài của cạnh tam giác là a không lớn hơn 
Vậy ha £ la £ 1khi đó diện tích tam giác là: 
Bài 2. Trong tam diện РАВС đường cao hạ từ đỉnh Р đi qua trực tâm tam giác АВС.
Tính tỷ số diện tích mặt РАВ và РАС, nếu РС = 6 – ; РВ = 6 + ; ВС = 2.
Trả lời: .
Giải:
Giả sử РАВС là tam diện đã cho ,ВВ1 và СС1 là đường cao tam giác АВС; H là trực tâm của tam giác ( xem hình . 4).
Рис. 4
Ta có = = 76 = 
thì tam giác РВС là tam giác vuông (ÐBPC = 90°) theo định lý Pytagore
Vì СС1 vuông góc РС trên mặt phẳng АВС và СС1^АВ, thì РС^АВ (theo định lý ba đường vuông góc). 
Ngoài ra ta chứng minh РС^РВ, bởi thế РС^АРВ
 suy ra, РС^РА. 
Tương tự ta chứng minh РA^РВ. 
vậy tam giác РАВ и РАС – vuông 
khi đó .
Bài 3. Tồn tại hay không tam giác có sin một góc bằng cosin góc thứ hai và bằng tg của góc thứ ba?
Trả lời: Có, có tồn tại.
Giải:
Giả sử a, b và g – là các góc tam giác theo điều kiện ta có: . 
vì sina > 0 với 0 0 và tgg > 0 vậy gócb và g – nhọn.
Nếu , thì từ đẳng thức sina = cosb suy ra . 
khi đó và tgg không tồn tại. Vậy trong trường hợp này không tồn tại
Nếu , thì sina = cosb Û sin(p – a) = sin( – b), 
ở đó góc p – a và – b không thể là góc tù. 
vậy ta có đẳng thức p – a = – b Û a = + b.
 Trong trường hợp tgg = tg(p – (a + b)) = tg( – 2b) = ctg2b, hệ phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
 Û 
Û Û . 
Giả sử sinb = t, ta nhận được phương trình 2t3 – 2t2 – 2t + 1 = 0.
Khảo sát f(t) = 2t3 – 2t2 – 2t + 1, khi đó f(0) = 1 > 0; f(1) = –1 < 0, 
bởi thế phương trình này có nghiệm trên (0; 1). 
diều đó chứng tỏ tồn tại b, thỏa mãn hệ trên 
vậy tồn tại tam giác thỏa mãn điều kiện trên.
Bài 4: Cho biết sina > 0 và sin3a > 0,25, chứng minh rằng sina > .
Giải:
vi sin3a = 3sina – 4sin3a > , nên 3sina > 4sin3a + Û . 
mà sina > 0, nên sina > . 
Khi đó , là điều phải chứng minh
.
Bài 5: 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức x2 + xy + y2, nếu 1 £ x2 + y2 £ 2. 
Trả lời: Giá trị lớn nhất 3; giá trị nhỏ nhất là 0,5.
Giải: 
Cách 1. 
Ta có , 
nên . 
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1.
2) ta có , nên . 
Đẳng thức xảy ra khi ; .
Cách 2
Từ điều kiện của đề toán ta có rằng tồn tại một số аÎ[1; ]và aÎ(–p; p],sao cho x = a×cosa; y = a×sina. Khi đó x2 + xy + y2 = a2 + a2×sinacosa = a2(1 + 0,5sin2a).
vì –1 £ sin2a £ 1, nên giá trị lớn nhất là 3 với а = , a = 
Giá trị nhỏ nhất là 0.5 với а = 1, a = –
Bài 6: Giải phương trình: .
Trả lời: , ở đó nÎZ.
Biến đổi phương trình đã cho về dạng: . 
Ta thấy không là nghiệm của phương trình vì nếu 
, thì , điều đó không đồng thời xảy ra. 
Tương tự, cũng không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Khảo sát hàm số , ở đó . 
Với gía trị của t , thì trong từng đoạn và hàm số đồng biến. 
với hàm số nhận giá trị không âm
còn với – nhận giá trị dương.
vậy giá trị của hàm số trong các khoảng không trùng nhau.
Từ đó ta có suy ra Û Û , 
ở đó n – là số nguyên.