Các bài toán liên quan đến hàm số

bài toán tìm tập xác định của hàm số
Ký hiệu P (x), Q(x) là các đa thức. Tập xác định của các hàm số đơn giản đ−ợc cho ở bảng
d−ới đây:
Hàm số y = P (x) y =
P (x)
Q(x)
y =
√
P (x) y =
P (x)√
Q(x)
y = 3
√
P (x)
Tập xác định R Q(x) 6= 0 P (x) ≥ 0 Q(x) > 0 R
Bài 1:
(1). y = 2x− 3 (2). y = x2 − 5x+ 4 (3). y = x− 2
2x− 3
(4). y =
x2 + x
x2 − 5x+ 4 (5). y =
√
2x− 3 (6). y = x− 1√
3− 2x
Bài 2:
(1). y = |x| − 3 (2). y = |2− x|+ |2 + x| (3). y = x− 2
2x− 6 −
2
x+ 3
(4). y =
√
x
x2 − 3x+ 2 (5). y =
x+
√
x− 1
9− x2 (6). y =
√
1
2
− x+
√
1
2
+ x
Bài 3:
(1). y =
√
2− x+ 1√
2x+ 3
(2). y =
1√
3− 2x +
1√
3 + 2x
(3). y =
1
1 +
√
2− x −
1
1 +
√
2 + x
(4). y =
1−√x
3−√x
(5). y =
x2 + 1
|x| − 2 (6). y =
x2 − 2
x(|x| − 1)
bài toán xét tính chẵn lẻ của hàm số
Chúng ta cần chú ý đến các định nghĩa sau:
Hàm số f(x) chẵn trên D ⇐⇒
∀x ∈ D =⇒ −x ∈ Df(−x) = f(x),∀x ∈ D
Hàm số f(x) lẻ trên D ⇐⇒
∀x ∈ D =⇒ −x ∈ Df(−x) = −f(x),∀x ∈ D
Các tập d−ới đây đều là các tập đối xứng, khi giải quyết các bài tập xét tính chẵn lẻ của hàm số.
Bài 1:
(1). y = x2 (2). y = 4− x2 (3). y = x3
(4). y = x3 − x (5). y = |x| (6). y = |x| − 1
1
Bài 2:
(1). y =
x2 + 1
x
(2). y = |2− x|+ |2 + x|
(3). y =
x+
√
x− 1
9− x2 (4). y =
√
1
2
− x+
√
1
2
+ x
Bài 3:
(1). y =
√
2− x+ 1√
2x+ 3
(2). y =
1√
3− 2x −
1√
3 + 2x
(3). y =
1
1 +
√
2− x −
1
1 +
√
2 + x
(4). y =
x2 + 1
|x| − 2
(5). y =
x2 − 2
x(|x| − 1) (6). y =
√
2− x+ 2√2 + x
bài toán xét tính tăng giảm của hàm số
Kí hiệu D là tập xác định của hàm số y = f(x), để xét tính tăng, giảm của hàm số trên D ta
làm theo các b−ớc sau:
• Lấy x1, x2 ∈ D, x1 6= x2 tính f(x1), f(x2) và thực hiện f(x1)− f(x2).
• Lập tỷ số ∆ = f(x1)− f(x2)
x1 − x2 rút gọn, có hai khả năng:
◦ Nếu ∆ < 0 thì hàm số giảm trên D.
◦ Nếu ∆ > 0 thì hàm số tăng trên D.
bảng tóm tắt
bảng biến thiên của hai hàm số bậc nhất và bậc hai
Bài 1: Xét sự biến thiên của các hàm số sau và lập bảng biến thiên trên tập xác định của nó:
(1). y = 2x− 3 (2). y = x2 − 4x+ 3
(3). y =
1
x
(4). y =
x− 2
x− 1
2
bài toán vẽ đồ thị hàm số
vẽ đồ thị hàm số y = ax+ b
Đồ thị hàm số y = ax + b là đ−ờng thẳng đi
qua hai điểm A(0; b) và B(− b
a
; 0)
Bài 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
(1). y = −2x+ 5 (2). y = 1
2
x− 2 (3). y = −√2
vẽ đồ thị hàm số y = ax2 + bx+ c
Đồ thị hàm số y = ax2 + bx+ c là đ−ờng parabol (P ).
Cách vẽ:
+ Xác định tọa độ đỉnh I(− b
2a
;−∆
4a
).
+ Trục đối xứng là đ−ờng thẳng x = − b
2a
vuông góc với
trục hoành tại điểm có hoành độ − b
2a
.
+ Parabol (P ) cắt trục Oy tại điểm A(0; c)
+ Giải ph−ơng trình ax2+ bx+ c = 0 để xem (P ) có giao
với trục Ox hay không.
Chú ý:
+ Nếu cần thiết có thể lập bảng giá trị để vẽ đồ thị cho
chính xác.
+ Nếu a > 0 thì (P ) quay bề lỏm lên trên (nh− hình bên),
ng−ợc lại a < 0 thì (P ) quay bè lõm xuống d−ới.
Bài 2: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
(1). y = x2 − 2x− 3 (2). y = 1
2
x2 − 2x+ 3
2
(3). y = 4− x2
(4). y = −x2 − 3x+ 4 (5). y = x2 − 4x+ 5 (6). y = −x2 + 2x− 2
Bài giải:
(1).
3
Đồ thị hàm số y = x2−2x−3 là đ−ờng parabol (P ).
+ Tọa độ đỉnh I(1;−4).
+ Trục đối xứng là đ−ờng thẳng x = 1.
+ Parabol (P ) cắt trục Oy tại điểm A(0;−3)
+ Ph−ơng trình x2 − 2x− 3 = 0⇐⇒
x = −1x = 3
(P ) cắt trục Ox tại hai điểm B(3; 0) và C(−1; 0),
đồng thời đi qua điểm D(2;−3) (là điểm đối xứng
với điểm A qua trục đối xứng).
+ (P ) quay bề lõm lên trên.
(3).
Đồ thị hàm số y = 4− x2 là đ−ờng parabol (P ).
+ Tọa độ đỉnh I(0; 4).
+ Trục đối xứng là đ−ờng thẳng x = 0 trục Oy.
+ Parabol (P ) cắt trục Oy tại điểm I(0; 4)
+ Ph−ơng trình −x2 + 4 = 0⇐⇒ x = ±2.
(P ) cắt trục Ox tại hai điểm B(−2; 0), C(2; 0), (P ) đi qua
các điểm A(1; 3) và D(−1; 3).
+ (P ) quay bề lõm xuống d−ới.
(6).
Đồ thị hàm số y = −x2 + 2x− 2 là đ−ờng parabol (P ).
+ Tọa độ đỉnh I(1;−1).
+ Trục đối xứng là đ−ờng thẳng x = 1.
+ Parabol (P ) cắt trục Oy tại điểm A(0;−2)
+ Ph−ơng trình −x2 + 2x− 2 = 0 vô nghiệm, do vậy (P )
không cắt trục Ox.
+ (P ) quay bề lõm xuống d−ới.
+ Bảng giá trị
x -1 0 1 2 3
y -5 -2 -1 -2 -5
4
5