Các bài tập toán về khảo sát hàm số

 hay có hai nghiệm phân biệt thoả 
Vậy giá trị cần tìm là: 
6. Cho hàm số . Hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) ở về hai phía khác nhau của đường tròn (phía trong và phía ngoài): .
 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học An Ninh, 2000)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị 
Đặt 
Hai điểm A, B ở về hai phía của hai đường tròn 
 (do )
Cách khác
Phương trình đường tròn được viết lại:
 có tâm và bán kính 
Ta có: 
Điểm B nằm ở ngoài 
Do đó: Điểm A nằm phía trong đường tròn 
.
7. Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu thoả .
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt 
 (*)
Theo định lí Vi-ét và theo đề bài, ta có:
 (1)
 (2)
 (3)
Từ (1) và (3), ta có: 
Thế vào (2), ta được:
 (do )
 (thoả (*))
Vậy giá trị cần tìm là: 8. Cho hàm số . 
 Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đó.
 (Trích ĐTTS vào Học viện Kĩ thuật Mật mã, năm 1999)
Giải: 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu có hai nghiệm phân biệt 
Lấy y chia cho y’, ta có:
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1)
Ta có:
Tương tự ta cũng có:
Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là:
.9. Cho hàm số . Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu.
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu có hai nghiệm phân biệt 
 (*)
Lấy y chia cho y’, ta có:
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1)
Theo định lí Vi-ét, ta có:
Ta có:
Tương tự ta cũng có: 
Yêu cầu bài toán 
So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: .
Bài tập đề nghị :
Chứng minh rằng hàm số y = luôn có có cực trị với mọi m. Tìm m sao cho hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x.
Cho hàm số . Định m để:
Hàm số luôn có cực trị.
Có cực trị trong khoảng .
Có hai cực trị trong khoảng .
Định m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.
Cho hàm số y = x3-3x2+3mx+3m+4.
Khảo sát hàm số khi m = 0.
Định m để hàm số không có cực trị.
Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu.
Cho hàm số . Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.
Cho hàm số . Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m. Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành.
Cho hàm số . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
Cho hàm số . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai phía đối với trục tung.
Cho hàm số . Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương.
Cho hàm số (1).	(ĐH Khối-A năm 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=-1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O.
ĐS: .
Cho hàm số (1), m là tham số.	(ĐH Khối-B năm 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.
	b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ.
ĐS : b .
Cho hàm số 	(1) (m là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị.	(ĐH Khối-B năm 2002)
 b. ĐS :
 Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số 	(*) (m là tham số)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
b. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn có hai điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng .
 b. CĐ(-2;m-3), CT(0;m+1)Þ 
Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN-NGHỊCH BIẾN
Cho hàm sô có tập xác định là miền D.
- f(x) đồng biến trên D .
- f(x) nghịch biến trên D .
(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)
Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai: .
1. Nếu thì f(x) luôn cùng dấu với a.
2. Nếu thì f(x) có nghiệm và f(x) luôn cùng dấu với a khi .
3. Nếu thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm f(x) cùng dấu với a.
So sánh nghiệm của tam thức với số 0
* 	* 	* 
Ví dụ 1 :
a/ Định m để hàm số: y= x3– 3mx2+ (m+2)x– m đồng biến trên 
b/ Định m để hàm số: y= x3– 3mx2+ (m+2)x– m đồng biến trên (1; +∞)
Giải: 
Miền xác định: D= 
= 3x2– 6mx+ m+ 2
= 9m2– 3m– 6
Bảng xét dấu: m 1 +
 + 0 – 0 + 
Ta phân chia các trường hợp sau:
 Nếu 
Ta có: 0 hàm số đồng biến trên 
 Nếu 
Ta có: > 0 phương trình =0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1< x2)
 Bảng biến thiên: x x1 x2 +
 + 0 – 0 + 
 y
 Hàm số không thỏa tính chất luôn luôn đồng biến trên 
Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài toán là: 
b/ Hàm số đồng biến trên (1; +∞) ó= 3x2– 6mx+ m+ 2>0 "xÎ(1; +∞) ó (6x-1) m <3x2 + 2 "xÎ(1; +∞) 
ó m < "xÎ(1; +∞) (*) . Đặt f(x)= f /(x)=≥0 "xÎ[1; +∞) hs đồng biến trên [1; +∞) Ycbt ó m<. Vậy m<1 thoả ycbt.
Bài tập đề nghị:
1. Cho hàm số . Định m để:
a. Hàm số luôn đồng biến trên R.
b. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng .
2. Xác định m để hàm số .
a. Đồng biến trên R.
b. Đồng biến trên .
3. Cho hàm số .
a. Định m để hàm số đồng biến trên khoảng .
b. Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng .
4. Cho hàm số . Định m để hàm số nghịch biến trên .
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG
1/ Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm
Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2). Khảo sát sự tương giao giữa hai đồ thị (C1) và (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1). Số giao điểm của (C1) và (C2) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1).
(1) vô nghiệm	Û (C1) và (C2) không có điểm chung.
	(1) có n nghiệm	Û (C1) và (C2) có n điểm chung.
(1) có nghiệm đơn x1	Û (C1) và (C2) cắt nhau tại N(x1;y1).
(1) có nghiệm kép x0	Û (C1) tiếp xúc (C2) tại M(x0;y0).
2/ Một số bài toán về giao điểm của hàm bậc 3
Giả sử hàm số: y = ax3 + bx2 + cx + d với a ¹ 0 có đồ thị là (C).
 2.1 Đồ thị (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
	CI/ (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
	Û 
 CII/ Nếu y = ax3 + bx2 + cx + d =(x-x0).(a.x2+b’.x+c’). (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt Û a.x2+ b’x+c’=0 có 2 nghiệm phân biệt khác x0
 2.2 Đồ thị (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ >a
	CI/ Giả sử a > 0 ta có :
	(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt > a Û 
 CII/ Nếu y = ax3 + bx2 + cx + d =(x-x0).(a’.x2+b’.x+c’). (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt biệt có hoành độ >a Û a.x2+ b’x+c’=0 có 2 nghiệm phân biệt > a và x0>a
 2.3 Đồ thị (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ <a
	CI/ Giả sử a > 0 ta có : (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt < a
	Û 
 CII/ Nếu y = ax3 + bx2 + cx + d =(x-x0).(a.x2+b’.x+c’). (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt biệt có hoành độ <a Û a.x2+ b’x+c’=0 có 2 nghiệm phân biệt < a và x0<a
 2.4 Đồ thị (C) cắt Ox tại 1 điểm tiếp xúc tại 1 điểm 
 2.5 Đồ thị (C) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất
	 Dy' £ 0 Ú 
 2.6 Đồ thị (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành CSC : 
	Û 
3/Biện luận số giao điểm của đồ thị (C) của hs : y=ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) với trục Ox
	Nếu x = a là 1 nghiệm, ta có ax3 + bx2 + cx + d = (x - a)(ax2 + b1x + c1) (1)
Ta có (1) luôn có 1 nghiệm là x = a số nghiêm của (1) phụ thuộc số nghiệm của phương trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2). Ta có các trường hợp sau:
i)	nếu (2) vô nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x = a (C) và Ox có 1 giao điểm
ii)	nếu (2) có nghiệm kép x = a thì (1) có duy nhất nghiệm x = a (C) và Ox có 1 giao điểm
iii)	nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt ¹ a thì (1) có 3 nghiệm phân biệt (C) và Ox có 3 giao điểm
iv)	nếu (2) có 1 nghiệm x = a và 1 nghiệm khác a thì (1) có 2 nghiệm. (C) và Ox có 2 giao điểm
v)	nếu (2) có nghiệm kép ¹ a thì (1) có 2 nghiệm (C) và Ox có 2 giao điểm
 4/Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình 
Phương pháp giải:
B1: Biến đổi phuong trình 
B2: Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x) (Thường đã có trong bài toán khảo sát hàm số )
 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng 
y = (cùng phuong với trục hoành ). Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm.
Ví duï:
Cho haøm soá y = x3 – 6x2 + 9x (C). 
Duøng ñoà thò (C), bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình x3 – 6x2 + 9x – m = 0 
 Giaûi: 
Phöông trình x3 – 6x2 + 9x – m = 0
 x3 – 6x2 + 9x = m 
Soá nghieäm cuûa phöông trình laø soá giao ñieåm cuûa ñoà thò (C) vaø ñöôøng thaúng d: y = m.
Döïa vaøo ñoà thò ta coù:
Neáu m > 4 phöông trình coù 1 nghieäm.
Neáu m = 4 phöông trình coù 2 nghieäm.
Neáu 0 < m <4 phöông trình coù 3 nghieäm.
Neáu m= 0 phöông trình coù 2 nghieäm.
Neáu m < 0 phöông trình coù 1 nghieäm.
Baøi taäp ñeà nghò:
Baøi 1 : Cho hàm số có đồ thị (C).
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ ( C ) cña hµm sè.
 b) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: x3 - 3x2 + m + 1 = 0
Baøi 2: Cho haøm soá y= x3 - 3x – 2 coù ñoà thò (C)
 a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá.
 b) Duøng ñoà thò (C), ñònh m ñeå phöông trình x3 - 3x = m coù 3 nghieäm phaân bieät.
Bài 3: : Cho hàm số y = x4 – 4 x2 + 5 có đồ thị (C).
 a) Khaûo saùt và vẽ đồ thị haøm soá trên.
 b) Duøng ñoà thò (C) cuûa haøm soá vöøa khaûo saùt bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình x4 – 4 x2 + 5 = m.
Bài 4: Cho hµm sè cã ®å thÞ (C)
 a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C).
 b) Dïng ®å thÞ (C), h·y biÖn luËn theo m sè nghiÖm thùc cña ph­¬ng tr×nh 
Bài 5: Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Dùng đồ thị (C ), hãy xác định m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt
Ví dụ :
1/ Cho hàm số . Chứng minh đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt?
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng:
 có .
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi và hai nghiệm đó đều khác .
Vậy đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt với mọ