Các bài tập nâng cao về thiết diện

hình chóp cắt bởi mặt phẳng (EMN)
1.1.3.Có một điểm nằm trên cạnh còn hai điểm kia nằm trên hai mặt khác
Tìm mặt phẳng chứa hai trong ba điểm đã cho sau đó tìm giao điểm của đường thẳng nối hai điểm ấy với một mặt thích hợp của hình chóp. Xác định giao điểm của các cạnh hình chóp với mặt phẳng thiết diện.
Bài 1: Cho tứ diện ABCD . Gọi E, F ,M là trung điểm của BD , CD và BC. Trên AE, AF lấy hai điểm I , J sao cho AI = IE , AJ = 2JF. Xác định thiết diện với tứ diện cắt bởi mp(MIJ)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC gọi E,F là trọng tâm của các tam giác SBC, và SCD. M là trung điểm của SA . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MEF)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD , M là điểm trên cạnh AB, N và P lần lượt nằm trong tam giác BCD và tam giác ACD. Xác định thiết diện cắt tứ diện bởi mặt phẳng MNP.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD . M là trung điểm của SA, N và P lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC và tam giác ACD. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP).
1.1.4.Ba điểm nằm trên ba mặt khác nhau
Xác định mặt phẳng chứa hai trong ba điểm và giao tuyến của nó với mặt không chứa điểm nào.
Xác định giao điểm của đường thẳng nối hai điểm với giao tuyến trên và xác định các giao điểm của đường thẳng nối các giao điểm với các cạnh của hình chóp.
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G là trung điểm các cạnh BD, BC, CD. Trên AE, AF, AG lấy các điểm M,N,P sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với mặt phẳng (BCD). Xác định thiết diện với tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD . Trên các mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (SCD) lấy các điểm M, N, P nằm trong tam giác tạo bởi ba đỉnh tương ứng của các mặt sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với mặt phẳng đáy. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP)
Tuỳ theo vị trí của các điểm M,N,P biện luận nghiệm hình của bài toán.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD . Trên các mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (ABC) lấy các điểm M,N,P nằm trong tam giác tạo bởi ba đỉnh tương ứng. Sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với bất kỳ cạnh nào của hình chóp. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) và biện luận nghiệm hình của bài toán.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD . Trên các mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (ADC) lấy các điểm M,N,P nằm trong tam giác tạo bởi ba đỉnh tương ứng. Sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với bất kỳ cạnh nào của hình chóp. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) và biện luận nghiệm hình của bài toán.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD trên mp(SAB), mp(SCD) lấy các điểm M,N nằm trong tam giác tạo bởi ba đỉnh tương ứng và lấy điểm P nằm trong đoạn BC. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP)
 1.1.5.Thiết diện có một điểm nằm trong khối của hình chóp
Tìm cách chuyển điểm trong khối chóp ra mặt ngoài của hình chóp bằng cách xác định giao tuyến của mặt phẳng chứa điểm nằm trong khối chóp và một điểm nằm trên mặt hoặc cạnh của khối chóp. 
Xác định giao điểm của đường thẳng giao tuyến với đường thẳng nối hai điểm của mặt phẳng thiết diện cho trước. 
Chuyển về bài xác định thiết diện có các điểm cho trước nằm trên mặt của hình chóp đã nêu trên.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD , tứ giác ABCD có AB không song song với CD. Gọi G là trọng tâm của DABD, I là trung điểm của SG. Xác định thiết diện với chóp cắt bởi mặt phẳng (CDI)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I = AC ầ BD, O là trung điểm SI, gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD xác định thiết diện cắt bởi hình chóp với mặt phẳng (MNO)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD gọi G là trọng tâm tam giác BCD, I là trung điểm của AG, M và N lần lượt là trung điểm của BC và BD. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNI).
Bài 4: Cho Cho tứ diện ABCD gọi G là trọng tâm tam giác BCD, I là điểm trên đoạn AG sao cho 2AI = IG, M và N lần lượt là trung điểm của CD và AD. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNI).
Bài 5: Cho Cho tứ diện ABCD gọi G là trọng tâm tam giác BCD, I là điểm trên đoạn AG sao cho AI = 2IG, M và N lần lượt là các điểm trên AB và CD sao cho MB = 2AM, DN = 3NC. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNI).
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi M và N là trung điểm của AB và BC . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI)
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi M và N là trung điểm của BC và CD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI)
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi M và N là trung điểm của AB và CD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI)
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi M và N là trung điểm của SA và BC . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI)
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi M và N là trung điểm của SA và SC . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI)
1.2.Thiết diện song song
Để xác định thiết diện song song cần xác định mặt phẳng thiết diện song song với những đường thẳng chứa cạnh nào của hình chóp. Vận dụng tính chất song song đó xác định các đường thẳng tương ứng và tìm giao điểm của mặt phẳng thiết diện với hình chóp.
1.2.1.Đi qua hai điểm và song song với một đường thẳng
Xác định mặt phẳng chứa một điểm đường cho trước, xác định đường thẳng đi qua điểm và song song với đường cho trước qua đó xác định giao điểm với các cạnh của hình chóp
1.2.2.Đi qua một điểm và song song với một mặt
Dựng các đường thẳng song song với các giao tuyến của mặt phẳng cho trước với các mặt bên với điều kiện các đường thẳng này cần dựng phải đi qua các điểm cho trước. Xác định các giao điểm với các cạnh của hình chóp với các đường thẳng được xác định. 
1.2.3.Đi qua một điểm và song song với cặp đường thẳng chéo nhau
 Từ các điểm đã cho lần lượt dựng các đường thẳng song song với hai đường thẳng chéo nhau với điều kiện các đường thẳng đó phải nằm trên các mặt của hình chóp để xác định các giao điểm với các cạnh
Các bài tập minh hoạ cho thiết diện song song
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD . M và N là hai điểm trên AB và CD, a là mặt phẳng qua MN và song song với SA. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng a. 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD . M và N là hai điểm bất kỳ trên SB và CD, a là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (a). 
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Đoạn IJ nối trung điểm I của AB và trung điểm J của CD. Giả sử AB ^ CD , mp(a) qua diểm M trên IJ và song song với AB và CD.
Xác định thiết diện của ABCD với mặt phẳng (a). Thiết diện là hình gì ?
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là trung điểm của SB. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (a) trong hai trường hợp sau.
a) (a) qua M và song song với SO và AD.
b) (a) qua O và song song với AM và SC
Bài 5: Cho hình chóp SABC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC. Trên đoạn BM lấy điểm H, mặt phẳng (P) qua H và song song với CM và BN cắt hình chóp theo một thiết diện . Tìm thiết diện đó.
Bài 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi H là giao điểm các đường chéo của đáy. I là điểm trên đoạn AH. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) đi qua I và song song với các đường thẳng SA và BD cắt hình chóp.
Bài 7: Cho hình chóp SABC gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC; E là điểm tuỳ ý trên AB. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (a) đi qua E và song song với các đường AM và BN cắt hình chóp.
Bài 8: Cho hình chóp SABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm cạnh SB. Trên đoạn thẳng SM lấy điểm E. Mặt phẳng (a) đi qua E và song song với các đường thẳng AM, SG. Tìm thiết diện tạo bởi mp(a) cắt hình chóp.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H là giao điểm của hai đường chéo đáy. Tìm thiết diện tạo bởi mp(P) đi qua H, song song với AB và SC cắt hình chóp
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, M là điểm trên đoạn AC. Mặt phẳng P đi qua M song song với các đường thẳng AG và BD cắt hình chóp theo một thiết diện. Tìm thiết diện đó.
Bài 11: Cho hình chóp SABC . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, SC. Trên đoạn AM ta lấy điểm H. Mặt phẳng (P) đi qua H song song với CM và BN cắt hình chóp theo một thiết diện. Hãy tìm thiết diện đó.
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD đáu ABCD là hình bình hành. Gọi H là giao điểm các đường chéo đáy. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua H và song song với mặt phẳng (SAB) cắt hình chóp.
Bài 13: Cho tứ diện ABCD gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD , E là điểm chia BC theo tỉ số BE:EC = 2 : 1. Trên đoạn thẳng AM lấy điểm H. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua H và song song với mặt phẳng (MNE) cắt tứ diện đã cho.
Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD, SC. Trên đoạn AM lấy điểm K . Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua K song song với (MNE) cắt hìh chóp.
Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD. Trên đoạn AC lấy điểm K . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua K song song với mp(AMN) cắt hình chóp.
Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm SC, H là giao điểm các đường chéo đáy hình chóp. Trên đoạn AH lấy điểm M . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua M song song với mp(BDE) cắt hình chóp.
Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm của SC , M là một điểm di dộng trên cạnh SA , (a) là mặt phẳng luôn đi qua C’M và song song với BC. Xác định thiết diện mà (a) cắt hình chóp S.ABCD . Khi nào thiết diện là hình bình hành ?
Bài 18: Cho tứ diện ABCD gọi G1; G2 ; G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB. Tìm thiét diện của tứ diện với mặt phẳng G1G2G3
1.3.Thiết di