Các bài tập Hình học không gian - Tổng hợp giải bằng phương pháp toạ độ - Phần II: Hình chóp - Vũ Ngọc Vinh

 S(0; 0; 4) và H(1; 0; 
0). 
mp(P) qua H vuông góc với SB tại I cắt đường thẳng SC 
tại K, dễ thấy 
[H, SB, C] =  IH, IK  (1). 
SB ( 1; 3; 4)  

, SC (0; 3; 4) 

 suy ra: 
ptts SB: 
x 1 t
y 3 3t
z 4t
     
, SC: 
x 0
y 3 3t
z 4t
    
và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0.    5 15 3 51 32I ; ; , K 0; ; 8 8 2 25 25 379 281cos[H, SB, C] 12645  
Ví dụ 8. 
Cho hình choùp S. ABCD coù SA  (ABCD) vaø SA = a 6 , ñaùy ABCD laø nöûa luïc giaùc ñeàu noäi tieáp 
trong ñöôøng troøn ñöôøng kính AD = 2a. 
 Tính khoaûng caùch töø ñöôøng thaúng AD ñeán maët phaúng (SBC). 
Giải. 
Döïng / /BB AD, CC AD  vaø I laø trung ñieåm AD 
/ / / /a 3 a 3aBB CC ; AB ; AC
2 2 2
     
Döïng heä truïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng 
   
   
   
a 3 a a 3 3agoùc A(0; 0; 0), B ; ; 0 , C ; ; 0 ,
2 2 2 2
D(0; 2a; 0), S(0; 0; a 6).
a 3 a a 3 3aSB ; ; a 6 , SC ; ; a 6
2 2 2 2
   
         
 
2 2 2
2 a 3 a 3 a 3[SB; SC] a 6; 0; (2 2; 0; 1) .n,
2 2 2
 
    
   vôùi n (2 2; 0; 1) 
Phöông trình maët phaúng (SBC) qua S vôùi phaùp vectô n : (SBC) : 2 2x z a 6 0   
Vì: AD// BC AD//(SBC) d(AD; (SBC)) d(SBC))   
 z 
S a 6
x 
A 
B 
B/ 
C 
C/ I D 
2a y 
 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian 
 vungocvinh59@yahoo.com 
7 
7 
Ta coù: 0 0 a 6 a 6d(A; (SBC))
38 1
  

. Vaäy, 
a 6d(AD; (SBC)) .
3
 
BÀI TẬP 
Bài 1( KA 2000) 
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với từng đôi một có OA = a, OB = a 2 , OC = c. 
Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của BC. (P) là mặt phẳng 
qua A, M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với AM. 
1) Gọi E là giao điểm của (P) với OC, tính độ dài OE. 
2) Tính khoảng cách từ C đến mp’(P). 
3) Tính tỉ số thể của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng 
(P). 
Bài 2. ( ĐH 2001 ) 
Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a, M là trung điểm BC. Trên các nửa đường thẳng AA1, 
MM1 vuông góc với mặt phẳng (ABC) về cùng một phía, lấy tương ứng các điểm N, I sao cho 2MI = 
NA = a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống NB. Chứng minh rằng: AH  NI. 
Bài 3. 
Trên ba tia Ox, oy, oz vuông góc với từng đôi một lấy lần lượt các điểm A, B, C. Giả sử A cố định còn 
B, C thay đổi sao cho OA = OB + OC. Hãy xác định vị trí của B, C sao cho thể tích của tứ diện OABC 
là lớn nhất. 
Bài 4. 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 3a và vuông với đáy. 
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 
2) Tính khoảng cách từ tâm O của hình vuông đến mặt phẳng (SBC). 
3) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC). 
Bài 5. 
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA = a và vuông góc với 
đáy. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. 
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBC). 
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và mặt phẳng (SBC). 
Bài 6. 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với đáy. 
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC), từ C đến mặt phẳng (SBD). 
2) MN lần lượt là trung điểm của AB, AD. CMR: MN // (SBD) và tính khoảng cách từ MN đến 
mặt phẳng (SBD). 
Bài 7. 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với cạnh AB = a, AD = 2a, SA = a và vuông 
góc với đáy. 
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) và khoảng cách từ trung điểm I của SC đến 
mặt phẳng (SBD). 
2) Gọi M là trung điểm của cạnh CD, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM). 
Bài 8.( KA – 2000) 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = AD = a, DC = 2a , 
SD = a và vuông góc với đáy. 
1) Chứng minh rằng tam giác SBC vuông và tính diện tích của tam giác đó. 
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 
Bài 9. 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với đáy. 
 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian 
 vungocvinh59@yahoo.com 
8 
8 
1) Gọi M, N theo thứ tự thuộc BC, DC sao cho BM = 3,
2 4
a aDN  . Chứng minh rằng hai mặt 
phẳng (SAM) và mặt phẳng (SMN) vuông góc với nhau. 
2) Gọi M, N theo thứ tự thuộc BC, DC sao cho BM = x, DN = y. 
a. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để hai hai mặt phẳng (SAM) và mặt phẳng (SMN) vuông góc với 
nhau. 
b. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để nhị diện (M, SA, N) có số đo bằng 600 là : 
 23 ( )a x y xy a   . 
Bài 10. 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, 
SA = 6a và vuông góc với đáy. 
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SBC); Tính góc giữa hai mặt phẳng 
(SCD) và mặt phẳng (SBC). 
2) Tính khoảng cách từ A , D đến mặt phẳng (SBC) và từ đường thẳng AB đến mặt phẳng 
(SCD). 
3) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD tạo bởi mặt phẳng ( ) song song với mặt 
phẳng (SAB) và cách mặt phẳng (SAB) một khoảng bằng 3
4
a . 
Bài 11. 
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = a, 2SA a và vuông góc với 
đáy. Gọi M là trung điểm của AB. Tính độ dài đường vuông chung của SM và BC. 
Bài 12. 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông đường cao AB = a, BC = 2a, SA = a 
vuông góc với đáy, ngoài ra còn có SC vuông góc với BD. 
1) Tính AD. 
2) Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM = x (0 ≤ x ≤ a). Tính độ dài đường cao DE của tam 
giác BDM. Xác định x để DE có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 
Bài 13. 
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy mặt phẳng (ABC), ABC là tam giác vuông tại B, 
AB = a, AC = 2a, mặt (SBC) hợp với mặt (ABC) góc 600 . 
1) Tìm trên đoạn BC điểm M cách đều hai mặt phẳng (SAB) và (SAC). Tính khoảng cách đó. 
2) Tìm trên đoạn SA điểm N cách đều hai mặt phẳng (SBC) và (SAC). Tính khoảng cách đó. 
3) Tìm trên đoạn AB điểm P cách đều hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). Tính khoảng cách đó. 
Bài 14. 
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C với AB = 2a, góc BAC = 300 , SA = 2a 
và vuông góc với đáy . Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC, đặt AM = x (0 ≤ x ≤ 3a ). 
1) Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x. 
2) Tìm giá trị x để khoảng cách trên có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 
 Bài 15. ( ĐH- KA 2001) 
Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = 2a , SC vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC 
vuông tại A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a). 
1) Tính độ dài đoạn thẳng MN. Tìm giá trị của t để đoạn MN ngắn nhất. 
2) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA. 
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi E là 
trung điểm CD. 
1) Tính diện tích SBE. 
2) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE). 
3) (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó. 
 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian 
 vungocvinh59@yahoo.com 
9 
9 
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và 
SA a 3 . 
1) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD). 
2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC. 
3) Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D]. 
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và 
SA 3 2 cm. Mp( ) đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K. 
1) Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD. 
2) Chứng minh BD song song với ( ) . 
3) Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của SAC . 
4) Tính thể tích hình khối ABCDKMH. 
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vuông góc với 
đáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD. 
1) Tính khoảng cách từ A đến (BCN). 
2) Tính khoảng cách giữa SB và CN. 
3) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC). 
4) Tìm điều kiện của a và b để  3cosCMN 3
. Trong trường hợp đó tính thể tích hình chóp 
S.BCNM. 
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Đường cao SA = 2a. 
Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 m a)  . 
1) Tìm vị trí điểm M để diện tích SBM lớn nhất, nhỏ nhất. 
2) Cho am 3 , gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B]. 
Baøi 21: Cho hình vuoâng ABCD caïnh baèng a taâm I . Treân hai tia Ax, By cuøng chieàu vaø cuøng vuoâng 
goùc vôùi maët phaúng (ABCD) laàn löôït laáy hai ñieåm M,N . Ñaët AM=x, CN=y 
1) Tính theå tích hình choùp ABCMN. 
2) CMR ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå goùc MIN=900 laø 2xy=a2 . 
Baøi 22: Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy laø tam giaùc vuoâng caân ABC vôùi caïnh huyeàn AB = 4 2 . 
Caïnh beân SC (ABC) vaø SC = 2 .Goïi M laø trung ñieåm cuûa AC, N laø trung ñieåm AB 
 1) Tính goùc cuûa hai ñöôøng thaúng SM vaø CN 
 2) Tính ñoä daøi ñoïan vuoâng goùc chung cuûa SM vaø CN. 
 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian 
 vungocvinh59@yahoo.com 
10 
10 
Phần II. 2 . 
HÌNH CHÓP CÓ MỘT MẶT BÊN ( HOẶC MẶT CHÉO) VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY 
* Lưu ý: Đường cao của hình chóp là cạnh đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó. 
Ví dụ . 
 Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a. Maët beân SAB laø tam giaùc ñeàu vaø 
vuoâng goùc vôùi ñaùy. Goïi H laø trung ñieåm cuûa AB vaø M laø ñieåm di ñoäng treân caïnh BC. Chöùng minh 
SH vuoâng goùc (ABCD). Ñaët x = CM vôùi 0 x a (a 0)   . 
Tính khoaûng caùch töø S ñeán DM. Tìm x ñeå khoaûng caùch naøy lôùn nhaát. 
Giải. 
Ta coù: 
(SAB) (ABCD), (SAB) (ABCD) AB
SH AB
  
 
 SH (ABCD)  
 Choïn heä truïc Hxyz, vôùi Hx, Hy, Hz 
añoâi moät vuoâng goùc, H(0; 0; 0), A ; 0; 0 ,
2
a a aB ; 0; 0 , C ; a; 0 , D ; a; 0 ,
2 2 2
a 3 aS 0; 0; , M ; a x; 0 , 0 x a; a 0
2 2
   
               
            
 x 
2 2a a 3SD ; a; , DM (a; x; 0), DM a x
2 2
 
        
  
2
2ax 3 a 3 ax[SD; DM' ; ; a
2 2 2
 
     
 
2 2 4 2
2 2 23a x 2a a a[SD; DM] (x 2a) 4x 4ax 7a
4 4 4 2
  