Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

 + ax + b
Ví duï 1: Tìm dö cuûa pheùp chia x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 – 1
Caùch 1: Ta bieát raèng x2n – 1 chia heát cho x2 – 1 neân ta taùch:
x7 + x5 + x3 + 1 = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x + 1
= x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1 chia cho x2 – 1 dö 3x + 1
Caùch 2:
Goïi thöông cuûa pheùp chia laø Q(x), dö laø ax + b, Ta coù:
x7 + x5 + x3 + 1 = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b vôùi moïi x
Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân vôùi x = 1, ta coù 4 = a + b (1)
vôùi x = - 1 ta coù - 2 = - a + b (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra a = 3, b =1 neân ta ñöôïc dö laø 3x + 1
Ghi nhôù:
an – bn chia heát cho a – b (a -b)
an + bn ( n leû) chia heát cho a + b (a -b)
Ví duï 2: Tìm dö cuûa caùc pheùp chia
a) x41 chia cho x2 + 1 
b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – 1
c) x99 + x55 + x11 + x + 7 cho x2 + 1
Giaûi
a) x41 = x41 – x + x = x(x40 – 1) + x = x[(x4)10 – 1] + x chia cho x4 – 1 dö x neân chia cho 
x2 + 1 dö x
b) x27 + x9 + x3 + x = (x27 – x) + (x9 – x) + (x3 – x) + 4x 
= x(x26 – 1) + x(x8 – 1) + x(x2 – 1) + 4x chia cho x2 – 1 dö 4x
c) x99 + x55 + x11 + x + 7 = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) – 2x + 7 
chia cho x2 + 1 dö – 2x + 7
B. Sô ñoà HORNÔ
1. Sô ñoà
Ñeå tìm keát quaû cuûa pheùp chia f(x) cho x – a 
(a laø haèng soá), ta söû duïng sô ñoà hornô
Neáu ña thöùc bò chia laø a0x3 + a1x2 + a2x + a3, 
ña thöùc chia laø x – a ta ñöôïc thöông laø 
b0x2 + b1x + b2, dö r thì ta coù
Ví duï:
Ña thöùc bò chia: x3 -5x2 + 8x – 4, ña thöùc chia x – 2
Ta coù sô ñoà
1
- 5
8
- 4
2
1
2. 1 + (- 5) = -3
2.(- 3) + 8 = 2
r = 2. 2 +(- 4) = 0
Vaäy: x3 -5x2 + 8x – 4 = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0 laø pheùp chia heát
2. AÙp duïng sô ñoà Hornô ñeå tính giaù trò cuûa ña thöùc taïi x = a
Giaù trò cuûa f(x) taïi x = a laø soá dö cuûa pheùp chia f(x) cho x – a
1. Ví duï 1:
Tính giaù trò cuûa A = x3 + 3x2 – 4 taïi x = 2010
Ta coù sô ñoà:
1
3
0
-4
a = 2010
1
2010.1+3 = 2013
2010.2013 + 0
= 4046130
 2010.4046130 – 4
= 8132721296
Vaäy: A(2010) = 8132721296
C. Chöngs minh moät ña thöùc chia heát cho moät ña thöùc khaùc
I. Phöông phaùp:
1. Caùch 1: Phaân tích ña thöùc bò chia thaønh nhaân töû coù moät thöøa soá laø ña thöùc chia
2. Caùch 2: bieán ñoåi ña thöùc bò chia thaønh moät toång caùc ña thöùc chia heát cho ña thöùc chia
3. Caùch 3: Bieán ñoåi töông ñöông f(x) g(x) f(x) g(x) g(x)
4. caùch 4: Chöùng toû moïi nghieäm cuûa ña thöùc chia ñeàu laø nghieäm cuûa ña thöùc bò chia
II. Ví duï
1.Ví duï 1:
Chöùng minh raèng: x8n + x4n + 1 chia heát cho x2n + xn + 1
Ta coù: x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 - x4n = (x4n + 1)2 - x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n - x2n + 1)
Ta laïi coù: x4n + x2n + 1 = x4n + 2x2n + 1 – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n - xn + 1) 
chia heát cho x2n + xn + 1
Vaäy: x8n + x4n + 1 chia heát cho x2n + xn + 1
2. Ví duï 2:
Chöùng minh raèng: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia heát cho x2 + x + 1 vôùi moïi m, n N
Ta coù: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 = x3m + 1 - x + x3n + 2 – x2 + x2 + x + 1
 = x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x + 1)
Vì x3m – 1 vaø x3n – 1 chia heát cho x3 – 1 neân chia heát cho x2 + x + 1
Vaäy: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia heát cho x2 + x + 1 vôùi moïi m, n N
3. Ví duï 3: Chöùng minh raèng 
f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1 chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 + ....+ x + 1
Ta coù: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + ... + x11 – x + 1 – 1
 = x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + ....+ x(x10 – 1) chia heát cho x10 – 1
Maø x10 – 1 = (x – 1)(x9 + x8 + x7 +...+ x + 1) chia heát cho x9 + x8 + x7 +...+ x + 1
Suy ra f(x) – g(x) chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 +...+ x + 1
Neân f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1 chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 + ....+ x + 1
4. Ví duï 4: CMR: f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia heát cho g(x) = x2 – x
Ña thöùc g(x) = x2 – x = x(x – 1) coù 2 nghieäm laø x = 0 vaø x = 1
Ta coù f(0) = (-1)10 + 110 – 2 = 0 x = 0 laø nghieäm cuûa f(x) f(x) chöùa thöøa soá x
f(1) = (12 + 1 – 1)10 + (12 – 1 + 1)10 – 2 = 0 x = 1 laø nghieäm cuûa f(x) f(x) chöùa thöøa soá x – 1, maø caùc thöøa soá x vaø x – 1 khoâng coù nhaân töû chung, do ñoù f(x) chia heát cho x(x – 1)
hay f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia heát cho g(x) = x2 – x
5. Ví duï 5: Chöùng minh raèng
a) A = x2 – x9 – x1945 chia heát cho B = x2 – x + 1
b) C = 8x9 – 9x8 + 1 chia heát cho D = (x – 1)2
c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – 1 chia heát cho D(x) = x(x + 1)(2x + 1)
Giaûi
a) A = x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x1945 – x)
Ta coù: x2 – x + 1 chia heát cho B = x2 – x + 1
 x9 + 1 chia heát cho x3 + 1 neân chia heát cho B = x2 – x + 1
 x1945 – x = x(x1944 – 1) chia heát cho x3 + 1 (cuøng coù nghieäm laø x = - 1) 
neân chia heát cho B = x2 – x + 1
Vaäy A = x2 – x9 – x1945 chia heát cho B = x2 – x + 1
b) C = 8x9 – 9x8 + 1 = 8x9 – 8 - 9x8 + 9 = 8(x9 – 1) – 9(x8 – 1)
 = 8(x – 1)(x8 + x7 + ...+ 1) – 9(x – 1)(x7 + x6 + ...+ 1)
 = (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1)
(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia heát cho x – 1 vì coù toång heä soá baèng 0
suy ra (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia heát cho (x – 1)2
c) Ña thöùc chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) coù ba nghieäm laø x = 0, x = - 1, x = - 
Ta coù:
C(0) = (0 + 1)2n – 02n – 2.0 – 1 = 0 x = 0 laø nghieäm cuûa C(x)
C(-1) = (-1 + 1)2n – (- 1)2n – 2.(- 1) – 1 = 0 x = - 1 laø nghieäm cuûa C(x)
C(- ) = (- + 1)2n – (-)2n – 2.(- ) – 1 = 0 x = - laø nghieäm cuûa C(x)
Moïi nghieäm cuûa ña thöùc chia laø nghieäm cuûa ña thöùc bò chia ñpcm
6. Ví duï 6: 
Cho f(x) laø ña thöùc coù heä soá nguyeân. Bieát f(0), f(1) laø caùc soá leû. Chöùng minh raèng f(x) khoâng coù nghieäm nguyeân
Giaû söû x = a laø nghieäm nguyeân cuûa f(x) thì f(x) = (x – a). Q(x). Trong ñoù Q(x) laø ña thöùc coù heä soá nguyeân, do ñoù f(0) = - a. Q(0), f(1) = (1 – a). Q(1)
Do f(0) laø soá leû neân a laø soá leû, f(1) laø soá leû neân 1 – a laø soá leû, maø 1 – a laø hieäu cuûa 2 soá leû khoâng theå laø soá leû, maâu thuaån
Vaäy f(x) khoâng coù nghieäm nguyeân
Baøi taäp veà nhaø:
Baøi 1: Tìm soá dö khi
a) x43 chia cho x2 + 1
b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + 9 cho x2 + 1
Baøi 2: Tính giaù trò cuûa ña thöùc x4 + 3x3 – 8 taïi x = 2009
Baøi 3: Chöùng minh raèng
a) x50 + x10 + 1 chia heát cho x20 + x10 + 1
b) x10 – 10x + 9 chia heát cho x2 – 2x + 1
c) x4n + 2 + 2x2n + 1 + 1 chia heát cho x2 + 2x + 1
d) (x + 1)4n + 2 + (x – 1)4n + 2 chia heát cho x2 + 1
e) (xn – 1)(xn + 1 – 1) chia heát cho (x + 1)(x – 1)2
CHUYEÂN ÑEÀ 11 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ BIEÅU THÖÙC HÖÕU TÆ
A. Nhaéc laïi kieán thöùc:
Caùc böôùc ruùt goïn bieåu thöùc höûu tæ
a) Tìm ÑKXÑ: Phaân tích maãu thaønh nhaân töû, cho taát caû caùc nhaân töû khaùc 0
b) Phaân tích töû thaønh nhaân , chia töû vaø maãu cho nhaân töû chung 
B. Baøi taäp:
Baøi 1: Cho bieåu thöùc A = 
a) Ruùt goïn A
b) tìm x ñeå A = 0
c) Tìm giaù trò cuûa A khi 
Giaûi
a)Ñkxñ : 
 x4 – 10x2 + 9 0 [(x2)2 – x2] – (9x2 – 9) 0 x2(x2 – 1) – 9(x2 – 1) 0
(x2 – 1)(x2 – 9) 0 (x – 1)(x + 1)(x – 3)(x + 3) 0 
Töû : x4 – 5x2 + 4 = [(x2)2 – x2] – (x2 – 4) = x2(x2 – 1) – 4(x2 – 1) 
= (x2 – 1)(x2 – 4) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2) 
Vôùi x 1; x 3 thì 
A = 
b) A = 0 = 0 (x – 2)(x + 2) = 0 x = 2
c) 
* Vôùi x = 4 thì A = 
* Vôùi x = - 3 thì A khoâng xaùc ñònh
2. Baøi 2:
Cho bieåu thöùc B = 
a) Ruùt goïn B
b) Tìm x ñeå B > 0
Giaûi 
a) Phaân tích maãu: 3x3 – 19x2 + 33x – 9 = (3x3 – 9x2) – (10x2 – 30x) + (3x – 9) 
= (x – 3)(3x2 – 10x + 3) = (x – 3)[(3x2 – 9x) – (x – 3)] = (x – 3)2(3x – 1)
Ñkxñ: (x – 3)2(3x – 1) 0 x 3 vaø x 
b) Phaân tích töû, ta coù:
 2x3 – 7x2 – 12x + 45 = (2x3 – 6x2 ) - (x2 - 3x) – (15x - 45) = (x – 3)(2x2 – x – 15)
= (x – 3)[(2x2 – 6x) + (5x – 15)] = (x – 3)2(2x + 5)
Vôùi x 3 vaø x 
Thì B = = 
c) B > 0 > 0 
3. Baøi 3 
Cho bieåu thöùc C = 
a) Ruùt goïn bieåu thöùc C
b) Tìm giaù trò nguyeân cuûa x ñeå giaù trò cuûa bieåu thöùc B laø soá nguyeân
Giaûi
a) Ñkxñ: x 1
C = 
b) B coù giaù trò nguyeân khi x laø soá nguyeân thì coù giaù trò nguyeân 
 2x – 1 laø Ö(2) 
Ñoái chieáu Ñkxñ thì chæ coù x = 0 thoaû maõn
4. Baøi 4
Cho bieåu thöùc D = 
a) Ruùt goïn bieåu thöùc D
b) Tìm x nguyeân ñeå D coù giaù trò nguyeân
c) Tìm giaù trò cuûa D khi x = 6
Giaûi
a) Neáu x + 2 > 0 thì = x + 2 neân 
D = = 
Neáu x + 2 < 0 thì = - (x + 2) neân
D = = 
Neáu x + 2 = 0 x = -2 thì bieåu thöùc D khoâng xaùc ñònh
b) Ñeå D coù giaù trò nguyeân thì hoaëc coù giaù trò nguyeân
+) coù giaù trò nguyeân 
Vì x(x – 1) laø tích cuûa hai soá nguyeân lieân tieáp neân chia heát cho 2 vôùi moïi x > - 2
+) coù giaù trò nguyeân 
c) Khia x = 6 x > - 2 neân D = = 
Baøi taäp veà nhaø
Baøi 1:
Cho bieåu thöùc A = 
a) Ruùt goïn A
b) Tìm x ñeå A = 0; A > 0
Baøi 2:
Cho bieåu thöùc B = 
a) Ruùt goïn B
b) Tìm soá nguyeân y ñeå coù giaù trò nguyeân
c) Tìm soá nguyeân y ñeå B 1
CHUYEÂN ÑEÀ 12 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ BIEÅU THÖÙC (TIEÁP)
* Daïng 2: Caùc bieåu thöùc coù tính quy luaät
Baøi 1: Ruùt goïn caùc bieåu thöùc
a) A = 
Phöông phaùp: Xuaát phaùt töø haïng töû cuoái ñeå tìm ra quy luaät
Ta coù = Neân
A = 
b) B = 
Ta coù Neân
B = 
c) C = = 
 = 50.
d) D = = 
 = 
Baøi 2: 
a) Cho A = ; B = . Tính 
Ta coù
A = 
 = = n
b) A = ; B = 1 + 
Tính A : B
Giaûi
A = 
Baøi taäp veà nhaø
Ruùt goïn caùc bieåu thöùc sau:
a) b) 
c) 
* Daïng 3: Ruùt goïn; tính giaù trò bieåu thöùc thoaû maõn ñieàu kieän cuûa bieán
Baøi 1: Cho . TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau :
 a) ; b) ; c) ; d) .
Lêi gi¶i
 a) ;
 b) ;
 c) ;
 d) Þ D = 7.18 – 3 = 123.
Baøi 2: Cho (1); (2). 
 Tính giaù trò bieåu thöùc D = 
Töø (1) suy ra bcx + acy + abz = 0 (3)
Töø (2) suy ra 
 (4)
Thay (3) vaøo (4) ta coù D = 4 – 2.0 = 4
Baøi 3
a) Cho abc = 2; ruùt goïn bieåu thöùc A = 
Ta coù : 
A = 
 = 
b) Cho a + b + c = 0; ruùt goïn bieåu thöùc B = 
Töø a + b + c = 0 a = -(b + c) a2 = b2 + c2 + 2bc a2 - b2 - c2 = 2bc
Töông töï ta coù: b2 - a2 - c2 = 2ac ; c2 - b2 - a2 = 2ab (Hoaùn vò voøng quanh), neân
B = (1)
a + b + c = 0 -a = (b + c) -a3 = b3 + c3 + 3bc(b + c) -a