Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

CHUYÊN ĐỀ 1 - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

 A. MỤC TIÊU:

* Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

* Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử

* Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử

B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP

I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:

Định lí bổ sung:

+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1

 

doc155 trang | Chia sẻ: tuananh27 | Lượt xem: 779 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
 + ax + b
Ví duï 1: Tìm dö cuûa pheùp chia x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 – 1
Caùch 1: Ta bieát raèng x2n – 1 chia heát cho x2 – 1 neân ta taùch:
x7 + x5 + x3 + 1 = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x + 1
= x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1 chia cho x2 – 1 dö 3x + 1
Caùch 2:
Goïi thöông cuûa pheùp chia laø Q(x), dö laø ax + b, Ta coù:
x7 + x5 + x3 + 1 = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b vôùi moïi x
Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân vôùi x = 1, ta coù 4 = a + b (1)
vôùi x = - 1 ta coù - 2 = - a + b (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra a = 3, b =1 neân ta ñöôïc dö laø 3x + 1
Ghi nhôù:
an – bn chia heát cho a – b (a -b)
an + bn ( n leû) chia heát cho a + b (a -b)
Ví duï 2: Tìm dö cuûa caùc pheùp chia
a) x41 chia cho x2 + 1 
b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – 1
c) x99 + x55 + x11 + x + 7 cho x2 + 1
Giaûi
a) x41 = x41 – x + x = x(x40 – 1) + x = x[(x4)10 – 1] + x chia cho x4 – 1 dö x neân chia cho 
x2 + 1 dö x
b) x27 + x9 + x3 + x = (x27 – x) + (x9 – x) + (x3 – x) + 4x 
= x(x26 – 1) + x(x8 – 1) + x(x2 – 1) + 4x chia cho x2 – 1 dö 4x
c) x99 + x55 + x11 + x + 7 = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) – 2x + 7 
chia cho x2 + 1 dö – 2x + 7
B. Sô ñoà HORNÔ
1. Sô ñoà
Ñeå tìm keát quaû cuûa pheùp chia f(x) cho x – a 
(a laø haèng soá), ta söû duïng sô ñoà hornô
Neáu ña thöùc bò chia laø a0x3 + a1x2 + a2x + a3, 
ña thöùc chia laø x – a ta ñöôïc thöông laø 
b0x2 + b1x + b2, dö r thì ta coù
Ví duï:
Ña thöùc bò chia: x3 -5x2 + 8x – 4, ña thöùc chia x – 2
Ta coù sô ñoà
1
- 5
8
- 4
2
1
2. 1 + (- 5) = -3
2.(- 3) + 8 = 2
r = 2. 2 +(- 4) = 0
Vaäy: x3 -5x2 + 8x – 4 = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0 laø pheùp chia heát
2. AÙp duïng sô ñoà Hornô ñeå tính giaù trò cuûa ña thöùc taïi x = a
Giaù trò cuûa f(x) taïi x = a laø soá dö cuûa pheùp chia f(x) cho x – a
1. Ví duï 1:
Tính giaù trò cuûa A = x3 + 3x2 – 4 taïi x = 2010
Ta coù sô ñoà:
1
3
0
-4
a = 2010
1
2010.1+3 = 2013
2010.2013 + 0
= 4046130
 2010.4046130 – 4
= 8132721296
Vaäy: A(2010) = 8132721296
C. Chöngs minh moät ña thöùc chia heát cho moät ña thöùc khaùc
I. Phöông phaùp:
1. Caùch 1: Phaân tích ña thöùc bò chia thaønh nhaân töû coù moät thöøa soá laø ña thöùc chia
2. Caùch 2: bieán ñoåi ña thöùc bò chia thaønh moät toång caùc ña thöùc chia heát cho ña thöùc chia
3. Caùch 3: Bieán ñoåi töông ñöông f(x) g(x) f(x) g(x) g(x)
4. caùch 4: Chöùng toû moïi nghieäm cuûa ña thöùc chia ñeàu laø nghieäm cuûa ña thöùc bò chia
II. Ví duï
1.Ví duï 1:
Chöùng minh raèng: x8n + x4n + 1 chia heát cho x2n + xn + 1
Ta coù: x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 - x4n = (x4n + 1)2 - x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n - x2n + 1)
Ta laïi coù: x4n + x2n + 1 = x4n + 2x2n + 1 – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n - xn + 1) 
chia heát cho x2n + xn + 1
Vaäy: x8n + x4n + 1 chia heát cho x2n + xn + 1
2. Ví duï 2:
Chöùng minh raèng: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia heát cho x2 + x + 1 vôùi moïi m, n N
Ta coù: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 = x3m + 1 - x + x3n + 2 – x2 + x2 + x + 1
 = x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x + 1)
Vì x3m – 1 vaø x3n – 1 chia heát cho x3 – 1 neân chia heát cho x2 + x + 1
Vaäy: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia heát cho x2 + x + 1 vôùi moïi m, n N
3. Ví duï 3: Chöùng minh raèng 
f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1 chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 + ....+ x + 1
Ta coù: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + ... + x11 – x + 1 – 1
 = x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + ....+ x(x10 – 1) chia heát cho x10 – 1
Maø x10 – 1 = (x – 1)(x9 + x8 + x7 +...+ x + 1) chia heát cho x9 + x8 + x7 +...+ x + 1
Suy ra f(x) – g(x) chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 +...+ x + 1
Neân f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1 chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 + ....+ x + 1
4. Ví duï 4: CMR: f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia heát cho g(x) = x2 – x
Ña thöùc g(x) = x2 – x = x(x – 1) coù 2 nghieäm laø x = 0 vaø x = 1
Ta coù f(0) = (-1)10 + 110 – 2 = 0 x = 0 laø nghieäm cuûa f(x) f(x) chöùa thöøa soá x
f(1) = (12 + 1 – 1)10 + (12 – 1 + 1)10 – 2 = 0 x = 1 laø nghieäm cuûa f(x) f(x) chöùa thöøa soá x – 1, maø caùc thöøa soá x vaø x – 1 khoâng coù nhaân töû chung, do ñoù f(x) chia heát cho x(x – 1)
hay f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia heát cho g(x) = x2 – x
5. Ví duï 5: Chöùng minh raèng
a) A = x2 – x9 – x1945 chia heát cho B = x2 – x + 1
b) C = 8x9 – 9x8 + 1 chia heát cho D = (x – 1)2
c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – 1 chia heát cho D(x) = x(x + 1)(2x + 1)
Giaûi
a) A = x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x1945 – x)
Ta coù: x2 – x + 1 chia heát cho B = x2 – x + 1
 x9 + 1 chia heát cho x3 + 1 neân chia heát cho B = x2 – x + 1
 x1945 – x = x(x1944 – 1) chia heát cho x3 + 1 (cuøng coù nghieäm laø x = - 1) 
neân chia heát cho B = x2 – x + 1
Vaäy A = x2 – x9 – x1945 chia heát cho B = x2 – x + 1
b) C = 8x9 – 9x8 + 1 = 8x9 – 8 - 9x8 + 9 = 8(x9 – 1) – 9(x8 – 1)
 = 8(x – 1)(x8 + x7 + ...+ 1) – 9(x – 1)(x7 + x6 + ...+ 1)
 = (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1)
(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia heát cho x – 1 vì coù toång heä soá baèng 0
suy ra (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia heát cho (x – 1)2
c) Ña thöùc chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) coù ba nghieäm laø x = 0, x = - 1, x = - 
Ta coù:
C(0) = (0 + 1)2n – 02n – 2.0 – 1 = 0 x = 0 laø nghieäm cuûa C(x)
C(-1) = (-1 + 1)2n – (- 1)2n – 2.(- 1) – 1 = 0 x = - 1 laø nghieäm cuûa C(x)
C(- ) = (- + 1)2n – (-)2n – 2.(- ) – 1 = 0 x = - laø nghieäm cuûa C(x)
Moïi nghieäm cuûa ña thöùc chia laø nghieäm cuûa ña thöùc bò chia ñpcm
6. Ví duï 6: 
Cho f(x) laø ña thöùc coù heä soá nguyeân. Bieát f(0), f(1) laø caùc soá leû. Chöùng minh raèng f(x) khoâng coù nghieäm nguyeân
Giaû söû x = a laø nghieäm nguyeân cuûa f(x) thì f(x) = (x – a). Q(x). Trong ñoù Q(x) laø ña thöùc coù heä soá nguyeân, do ñoù f(0) = - a. Q(0), f(1) = (1 – a). Q(1)
Do f(0) laø soá leû neân a laø soá leû, f(1) laø soá leû neân 1 – a laø soá leû, maø 1 – a laø hieäu cuûa 2 soá leû khoâng theå laø soá leû, maâu thuaån
Vaäy f(x) khoâng coù nghieäm nguyeân
Baøi taäp veà nhaø:
Baøi 1: Tìm soá dö khi
a) x43 chia cho x2 + 1
b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + 9 cho x2 + 1
Baøi 2: Tính giaù trò cuûa ña thöùc x4 + 3x3 – 8 taïi x = 2009
Baøi 3: Chöùng minh raèng
a) x50 + x10 + 1 chia heát cho x20 + x10 + 1
b) x10 – 10x + 9 chia heát cho x2 – 2x + 1
c) x4n + 2 + 2x2n + 1 + 1 chia heát cho x2 + 2x + 1
d) (x + 1)4n + 2 + (x – 1)4n + 2 chia heát cho x2 + 1
e) (xn – 1)(xn + 1 – 1) chia heát cho (x + 1)(x – 1)2
CHUYEÂN ÑEÀ 11 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ BIEÅU THÖÙC HÖÕU TÆ
A. Nhaéc laïi kieán thöùc:
Caùc böôùc ruùt goïn bieåu thöùc höûu tæ
a) Tìm ÑKXÑ: Phaân tích maãu thaønh nhaân töû, cho taát caû caùc nhaân töû khaùc 0
b) Phaân tích töû thaønh nhaân , chia töû vaø maãu cho nhaân töû chung 
B. Baøi taäp:
Baøi 1: Cho bieåu thöùc A = 
a) Ruùt goïn A
b) tìm x ñeå A = 0
c) Tìm giaù trò cuûa A khi 
Giaûi
a)Ñkxñ : 
 x4 – 10x2 + 9 0 [(x2)2 – x2] – (9x2 – 9) 0 x2(x2 – 1) – 9(x2 – 1) 0
(x2 – 1)(x2 – 9) 0 (x – 1)(x + 1)(x – 3)(x + 3) 0 
Töû : x4 – 5x2 + 4 = [(x2)2 – x2] – (x2 – 4) = x2(x2 – 1) – 4(x2 – 1) 
= (x2 – 1)(x2 – 4) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2) 
Vôùi x 1; x 3 thì 
A = 
b) A = 0 = 0 (x – 2)(x + 2) = 0 x = 2
c) 
* Vôùi x = 4 thì A = 
* Vôùi x = - 3 thì A khoâng xaùc ñònh
2. Baøi 2:
Cho bieåu thöùc B = 
a) Ruùt goïn B
b) Tìm x ñeå B > 0
Giaûi 
a) Phaân tích maãu: 3x3 – 19x2 + 33x – 9 = (3x3 – 9x2) – (10x2 – 30x) + (3x – 9) 
= (x – 3)(3x2 – 10x + 3) = (x – 3)[(3x2 – 9x) – (x – 3)] = (x – 3)2(3x – 1)
Ñkxñ: (x – 3)2(3x – 1) 0 x 3 vaø x 
b) Phaân tích töû, ta coù:
 2x3 – 7x2 – 12x + 45 = (2x3 – 6x2 ) - (x2 - 3x) – (15x - 45) = (x – 3)(2x2 – x – 15)
= (x – 3)[(2x2 – 6x) + (5x – 15)] = (x – 3)2(2x + 5)
Vôùi x 3 vaø x 
Thì B = = 
c) B > 0 > 0 
3. Baøi 3 
Cho bieåu thöùc C = 
a) Ruùt goïn bieåu thöùc C
b) Tìm giaù trò nguyeân cuûa x ñeå giaù trò cuûa bieåu thöùc B laø soá nguyeân
Giaûi
a) Ñkxñ: x 1
C = 
b) B coù giaù trò nguyeân khi x laø soá nguyeân thì coù giaù trò nguyeân 
 2x – 1 laø Ö(2) 
Ñoái chieáu Ñkxñ thì chæ coù x = 0 thoaû maõn
4. Baøi 4
Cho bieåu thöùc D = 
a) Ruùt goïn bieåu thöùc D
b) Tìm x nguyeân ñeå D coù giaù trò nguyeân
c) Tìm giaù trò cuûa D khi x = 6
Giaûi
a) Neáu x + 2 > 0 thì = x + 2 neân 
D = = 
Neáu x + 2 < 0 thì = - (x + 2) neân
D = = 
Neáu x + 2 = 0 x = -2 thì bieåu thöùc D khoâng xaùc ñònh
b) Ñeå D coù giaù trò nguyeân thì hoaëc coù giaù trò nguyeân
+) coù giaù trò nguyeân 
Vì x(x – 1) laø tích cuûa hai soá nguyeân lieân tieáp neân chia heát cho 2 vôùi moïi x > - 2
+) coù giaù trò nguyeân 
c) Khia x = 6 x > - 2 neân D = = 
Baøi taäp veà nhaø
Baøi 1:
Cho bieåu thöùc A = 
a) Ruùt goïn A
b) Tìm x ñeå A = 0; A > 0
Baøi 2:
Cho bieåu thöùc B = 
a) Ruùt goïn B
b) Tìm soá nguyeân y ñeå coù giaù trò nguyeân
c) Tìm soá nguyeân y ñeå B 1
CHUYEÂN ÑEÀ 12 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ BIEÅU THÖÙC (TIEÁP)
* Daïng 2: Caùc bieåu thöùc coù tính quy luaät
Baøi 1: Ruùt goïn caùc bieåu thöùc
a) A = 
Phöông phaùp: Xuaát phaùt töø haïng töû cuoái ñeå tìm ra quy luaät
Ta coù = Neân
A = 
b) B = 
Ta coù Neân
B = 
c) C = = 
 = 50.
d) D = = 
 = 
Baøi 2: 
a) Cho A = ; B = . Tính 
Ta coù
A = 
 = = n
b) A = ; B = 1 + 
Tính A : B
Giaûi
A = 
Baøi taäp veà nhaø
Ruùt goïn caùc bieåu thöùc sau:
a) b) 
c) 
* Daïng 3: Ruùt goïn; tính giaù trò bieåu thöùc thoaû maõn ñieàu kieän cuûa bieán
Baøi 1: Cho . TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau :
 a) ; b) ; c) ; d) .
Lêi gi¶i
 a) ;
 b) ;
 c) ;
 d) Þ D = 7.18 – 3 = 123.
Baøi 2: Cho (1); (2). 
 Tính giaù trò bieåu thöùc D = 
Töø (1) suy ra bcx + acy + abz = 0 (3)
Töø (2) suy ra 
 (4)
Thay (3) vaøo (4) ta coù D = 4 – 2.0 = 4
Baøi 3
a) Cho abc = 2; ruùt goïn bieåu thöùc A = 
Ta coù : 
A = 
 = 
b) Cho a + b + c = 0; ruùt goïn bieåu thöùc B = 
Töø a + b + c = 0 a = -(b + c) a2 = b2 + c2 + 2bc a2 - b2 - c2 = 2bc
Töông töï ta coù: b2 - a2 - c2 = 2ac ; c2 - b2 - a2 = 2ab (Hoaùn vò voøng quanh), neân
B = (1)
a + b + c = 0 -a = (b + c) -a3 = b3 + c3 + 3bc(b + c) -a

File đính kèm:

  • docBD Hsg Toan 8 Nguyen Thinh.doc