Bình loạn hệ phương trình khối A năm 2014

 các phương thức: bình phương, liên hợp, phân tích nhân tử, ẩn phụ. 
* Với các dạng chuẩn: đẳng cấp, đối xứng, tam thức, bất đẳng thức. 
Khi học về những tư duy giải toán trên, chúng ta đã được nhấn mạnh những 
góc nhìn, phương pháp giải, tôi xin phép không nhắc lại mà đi ngay vào từng 
cách giải cụ thể. 
a. Đối xứng 
Ta có thể viết lại bài toán 1 chút: 
2 2 212 (12 ) (12 y) (12 )x y y x x y x       
Dễ dàng nhận ra ở biểu thức trên tính đối xứng với 2x và y. Gặp dạng này ta có 2 
hướng giải quyết: 
 Đặt 2S x y  và 2P x y 
 Dùng BĐT : điển hình là 
2 2 2(a b)
4 2
a b
ab
 
  
Ở đây bài toán chứa 2 căn nên việc bình phương rồi biểu diễn S,P khá công 
kềnh(kiên trì bạn vẫn có thể làm được). Do đó ta thiên về cách đánh giá. Với những bài toán 
chứa căn thì tư tưởng cấp bách trong đầu chúng ta luôn là làm thế nào mấy cái căn đó đi, 
do đó bất đẳng thức được chọn là 
2 2
2
a b
ab

 . 
Thật vậy. 
2 2
2 12 1212 (12 ) 12
2 2
x y y x
x y y x
   
      
My blog: trunghieumath.blogspot.com 
2 
Từ đánh giá trên ta thấy hệ có nghiệm 
22
12 0
1212
x y x
y xy x
   
  
   
Tác giả nghĩ việc vận dùng BĐT đối xứng cơ bản đề xử lý bài toán như trên hoàn toàn tự 
nhiên, không mang tính đánh đố, thâm chí đã xuất hiện nhiều trong các bài toán cũ. 
a1.
3
1 1 4
x y xy
x y
   

   
 a2.
2 2 2 8 2
4
x y xy
x y
   

 
a3.
2
3 2
2
23
2
2 9
2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y

  
 

   
  
 a4.
3
1 1 4
x y xy
x y
   

   
a5.
2 2
2 2
1
(y 1) ( 1) 2
3 1
x y
x
xy x y

 
 
   
 a6.
(x 1) (y 1) 2
2 2 2 2 2
y x xy
x y y x xy
    

   
a7.
2 2
1 1 2
1 21 2 1 2
2
(1 2 ) (1 2 )
9
xyx y
x x y y

    


   
b. Ẩn phụ 
Bài toán này đã nằm gọn trong dạng đối xứng thì việc nhúng tam thức hay đẳng cấp 
vào đây là rất khó xảy ra. Ta sẽ suy nghĩ bài toán theo con đường ẩn phụ. 
Triết lý ẩn phụ là đưa về dạng chuẩn hoặc đơn giản, hữu tỉ hóa. 
Với một các thực hiện đơn giản nhưng hiệu quả, ở đây cứ căn là đặt. 
Đặt 2 2
2 2
2
12 12
12
1212
y a xa bc
y b a b
c xx c
    
 
    
 
  
. 
 Nhìn thấy những tổng bình phương và tích, dễ dàng ta nghĩ đến 
2 2 2 2 2 2
22
12 0
2 2 (a x) (b c) 0
1212
x y xa x
a b c x ax bc
b c y xy x
     
              
     
Ta cùng tiếp tục thử sức với những bài toán tương tự: 
My blog: trunghieumath.blogspot.com 
3 
b1.
2 2
2 2
12
12
x y x y
x y x
    

 
 b2.
7 2 5
2 2
x y x y
x y x y
    

   
 b3.
7 2 4
2 2 5 8 2
x y x y
x y x
    

   
b4. 2 . 3 3 . 5 5 . 2x x x x x x x         
b5. 2 2 2 22 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x          
c. Bất đẳng thức 
Ở cách giải mục a (đối xứng), tôi chỉ sử dụng chùm bất đẳng thức tổng tích
2(a b)
4
ab

 
2 2
2
a b
 vì tính đơn giản mà hiệu quả. Tuy nhiên nếu lục tìm trong số những BĐT cổ điển 
cơ bản (AM-GM, BCS, Mincopxki, Jensen,..) thì chúng ta vẫn có những phát hiện mới. 
BĐT BCS cho 2 số { 2 2 2 2 2(ab cd) (a c )(b d )    } 
Ta cần: 212 (12 ) 12x y y x    thì sau khi dùng BĐT các biến số phải khử hết. Để ý là 
2 212 12x x   và 12 12y y   nên ta sử dụng nhưu sau 
 
2
2 2 2 2 212 12 (x 12 x )(12 y y) 12 12 (12 ) 12x y x y x y y x              
Dấu bằng xảy ra khi 
2
2
2
2
12
12 12
12
012
0
x y
y x yx
x y
xyx
x
 
   
   
  
Bài tập rèn luyện: 
24
4
32 3
32 6 24
x x y
x x y
     

   
d. Bình phương 
Nếu không có những cách nhìn tinh tế như những lời giải trên, chúng ta vẫn hoàn toàn có 
thể tin vào phương pháp trình thống, biến đổi bình phương. 
Để ý từ điều kiện ta có 12 12. 10 12x y   . Cho nên để tránh việc đặt đk cho phép 
bình phương ta sẽ làm như sau: 
My blog: trunghieumath.blogspot.com 
4 
2 2 2
2 2
2
(12 ) 12 12 (12 x ) 144 24x 12 (12 y)
0
2 12 12 0 (x 12 ) 0 12
12
y x x y y y x
x
x x y y y x y
y x
          

              
 
Bài tập rèn luyện: Tìm giá trị lớn nhất của 2 24 21 3 10x x x x       
e. Biến đổi nâng cao 
Phép biến đổi này dựa trên hằng đẳng thức cơ bản 2( )a b . Việc khai thác sâu vấn đề này 
tác giả sẽ trình bày trong bài viết khác. Nói một cách đơn giản là khi ta thấy 
a+b vs 
2 2a b => nghĩ đến 2( )a b . 
1
a
a
 vs 
2
2 1a
a
 => nghĩ đến ẩn phụ 
A.B => xem xét tổng bình phương có khử được gì không 
Ở đây 212 (12 )x y y x   có các tổng bình phương là 2 2 2 212 12 0x y y x      . 
Nhờ điều này ta biến đổi như sau: 
   
   
2 2 2 2
22
2
22
2 12 2 (12 ) 24 2 12 12 2 (12 ) 12 0
12 0
x 12 12 0
1212
x y y x x x y y y y x x
x y x
y y x
y xy x
              
   
         
   
Bài tập rèn luyện 
2 2
2 2
5 5 4 1
5 5 4 2
x x y y
x y x y
    

    
3. Hoàn thiện bài toán 
Sau khi xử lý xong pt1 ta thu được 
2
0
12
x
y x


 
Thế 212y x  vào pt2 ta được 3 28 1 2 10x x x    , điều kiện 0 10x  
Phương trình trên đơn giản đến đang sợ(những dạng điển hình như đẳng cấp, ẩn phụ hoàn 
toàn k có hiệu lực) => phải dùng công cụ sơ khai để giải. Đưa về tích nhờ liên hợp. 
My blog: trunghieumath.blogspot.com 
5 
Gặp bài toán liên hợp thì điều căn bản là ta phải đoán được nghiệm, vấn đề này dễ thôi, cứ 
nhẩm sao cho cái căn nó đẹp là được. 210 0,1,2,3... ...x x    rồi thử lại. Cuối cùng ta 
có x=3. Trình bày nhé: 
 
 
3 2 2
2
2(x 3)
8 3 2 10 1 (x 3) 3 1 0
10 1
x x x x x
x
 
 
           
  
 
. Với 0 10x  thì 
pt trên có nghiệm duy nhất x=3, suy ra y=3. 
Vậy hệ có nghiệm (3;3). 
Phần liên hợp này tác giả đã có bài viết riêng, các bạn có thể đọc ở đây: 
4. Tạm kết 
Thay cho lời kết, tác giả xin trích dẫn lời bình luận đề đại học năm nay trên 1 
fanpage của facebook [Sputnik Education] 
[Tiêu điểm] Nhận xét về đề thi đại học môn Toán khối A năm 2014. 
Sáng hôm qua thí sinh cả nước đã bước vào buổi thi đầu tiên với môn Toán. Ngay sau kỳ 
thi, nhiều hướng dẫn giải đã được các cá nhân và tập thể cung cấp cho bạn đọc. Bộ giáo 
dục cũng đã công bố đáp án chính thức. Cũng đã có nhiều ý kiến khen chê về đề thi năm 
nay. 
Bài viết này sẽ không nhằm cung cấp cách giải các đề thi, cũng không tổng hợp lại các ý 
kiến về đề thi mà đưa ra những nhận xét của tôi (TND) về đề thi năm nay, cũng như cách 
mà chúng ta đang dạy toán ở trường phổ thông. 
Những điểm mới của đề thi: 
1. Không còn phần tự chọn 
2. Phần số phức và xác suất được đưa lên trước. 
3. Bài tích phân là một bài toán ứng dụng tích phân. Chỉ cần thuộc công thức là làm được, 
không nặng về kỹ thuật tính tích phân. 
Đây cũng là những điểm hay của đề thi năm nay. Về mặt học thuật, bài số phức và xác suất 
như thế là được (rất căn bản). Tất nhiên là về mặt ý nghĩa thì hai bài này còn xa mới được 
gọi là bài toán tốt. 
Nhận xét chung về đề thi. 
Các bài toán thi được chia thành 3 nhóm. 
Nhóm 1: Các bài toán cơ bản, cho điểm gồm các câu 1, 2, 3, 4, 5. 
Nhóm 2: Các bài toán trung bình khó gồm các câu 6, 7. 
Nhóm 3: Các bài toán khó gồm câu 8, 9. 
Với nhóm 1, ngoài 2 câu 3, 4 đã được nói đến ở trên các câu còn lại là khá nhạt nhẽo, 
nghèo nàn. Có lẽ đã đến lúc cần phá bỏ cái cấu trúc gò bó: khảo sát hàm số, phương trình 
lượng giác, viết mấy cái linh tinh trong không gian. 
My blog: trunghieumath.blogspot.com 
6 
Các bài toán thuộc nhóm 2 có nội dung như vậy là đạt yêu cầu. Bài toán 7 thú vị và có nhiều 
cách tiếp cận. Về học thuật đó cũng là bài toán hay, giới thiệu tốt về phương pháp tọa độ, 
các tính toán đại số trong hình học. 
Nhóm 3 là nhóm có vấn đề nhất. Có vẻ các thầy càng ngày càng làm rắc rối vấn đề lên, 
giống như chạy đua vũ trang vậy. Phương pháp căn bản trong hệ phương trình là các phép 
đặt ẩn phụ và các phép thế nhưng bây giờ dường như chúng ta đang quên điều căn bản ấy 
và sa đà vào phương pháp bất đẳng thức, tách nghiệm, phương pháp hàm số. Những 
phương pháp vốn chỉ giải được những trường hợp đặc biệt hay những hệ nhân tạo (sản 
phẩm "sáng tạo" của các thầy). Và cụm từ chạy đua vũ trang rất phù hợp với bài 8 ở đây. 
Với 1 hệ, người ta lồng cả bất đẳng thức (ở pt 1) và tách nghiệm đặc biệt, nhân liên hợp (từ 
pt 2). Thật là quá rắc rối đối với 1 câu 1 điểm. Ngày trước bài như thế này được coi là bài 
khó: 
x^2 + y^2 + 1/x^2 + 1/y^2 = 9 
x + y + 1/x + 1/y = 5 
Bài bất đẳng thức cũng là một sản phẩm không được tốt. Nhìn biểu thức P quả thật rất chán 
nản. Tôi cũng đã cố gắng đọc các lời giải, đặc biệt là đáp án chính thức để tìm ra cái hay 
của bài toán này nhưng quả thật là không tìm được gì ngoài những biến đổi rối rắm, thiếu tự 
nhiên. Chính cách ra đề bất đẳng thức kiểu này đã làm cho bất đẳng thức trở thành nỗi kinh 
hoàng của học sinh (và cả thầy cô giáo nữa). Tại sao người ta cứ phải ra những đề toán rắc 
rối, khủng khiếp và chẳng có ý nghĩa gì như thế, thay vì ra những đề toán chân phương như 
thế này: Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện xy = 4x + 9y. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức P = x + y. 
Cuối cùng, tôi muốn nói thêm rằng chúng ta dạy bao nhiêu là khái niệm, bao nhiêu là kiến 
thức nhưng chẳng dạy một tí gì về ứng dụng, cho nên ngay cả những chủ đề nhiều tính ứng 
dụng như lượng giác, xác suất, bài toán cực trị cũng không thể có được một đề bài mang 
tính ứng dụng nào cả. Đến bao giờ trong đề thi của Việt Nam mới có một bài toán đại loại 
như. 
Một công ty cần chuẩn bị một số tiền để vào dịp cuối mỗi năm trong vòng 10 năm trao học 
bổng tổng trị giá 50.000.000 đồng cho sinh viên. Hiện nay Ngân hàng đang huy động tiền 
gửi với lãi suất 10% năm. Hỏi công ty đó cần gửi bao nhiêu tiền vào ngân hàng để vừa đủ 
thực hiện nhiệm vụ? 
hay là: 
Bốc n