Biểu thức tổ hợp – Nhị thức Newton

Û 
	Vì n là số nguyên dương nên ta được n = 1, 2 Þ các số hạng âm của dãy là x1, x2.
Bài 21.	(ĐH An ninh nhân dân khối A 2001)
	Chứng minh rằng với n là số tự nhiên, n ≥ 2, ta có:
	 = .
Bài giải
	Ta có: = n(n – 1) Þ 
	Thay n lần lượt bằng 2, 3,  ta được:
	= (đpcm)
Bài 22.	(ĐH Bách khoa HN khối AD 2001)
	Giải hệ phương trình:	
Bài giải
Đặt u = ; v = Þ 
	Mà u = y!v Þ y! = 2 Þ y = 2
	Þ Û x2 – x – 20 = 0 Û 
	Vậy 
Bài 23.	(ĐH Dân lập Duy Tân khối A 2001)
	1. Tính tích phân: I = 
	2.Tínhtổng: S = 
Bài giải
	1. I = = 
	2. Ta có: 
 	 I 	= = 
	= 
	= 
	= = S
	Vậy: S = 
Bài 24.	(ĐH Đà Lạt khối D 2001)
	MRới mọi số x ta có: xn = (n ÎN) (*) 
Bài giải
Đặt u = 2x – 1, ta được: 
	(*) Û Û (u + 1)nnnnn = . Đẳng thức đúng.
Bài 25.	(ĐH Đà Nẵng khối A 2001)
	Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng:
	S = 
Bài giải
	Có 
	Þ S = 
	= = 
	= = 
Bài 26.	(ĐH Hàng hải 2001)
	Chứng minh: 
Bài giải
	Ta có:	(1 + 3)2n = 
	(1 – 3)2n = 
	Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên, ta được:
	42n + 22n = 2
	Từ đó ta được: 
Bài 27.	(ĐH Luật TPHCM khối A 2001)
	Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:
	 = n.4n–1
Bài giải
Xét hàm số: f(x) = (x + 3)n = 
	Ta có: f¢(x) = n(x + 3)n–1 = 
	Cho x = 1, ta được:
	f¢(1) = n.4n–1 = (đpcm)
Bài 28.	(ĐHSP HN khối A 2001)
	Trong khai triển của thành đa thức:
	a0 + a1x + a2x2 +  + a9x9 + a10x10 (ak Î R)
	hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0 ≤ k ≤ 10).
Bài giải
	Ta có: ak–1 ≤ ak Û Û 
	Û k ≤ 2(11 – k) Û k ≤ 
	Vậy hệ số a7 là lớn nhất: a7 = .
Bài 29.	(ĐH Vinh khối AB 2001)
	Cho n là một số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng lớn nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá .
Bài giải
	Ta có: = và = 	
	Þ .
	Do đó: > Û Û k < 
	Bảng biến thiên: 
	Þ lớn nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá .
Bài 30.	(ĐH Vinh khối DTM 2001)
	Chứng minh rằng:
Bài giải
	Ta có: 	(x + 1)2001 = 
	(–x + 1)2001 = 
	Cộng lại ta được:
	(x + 1)2001 + (–x + 1)2001 =
	= 2
	Cho x = 3 ta được: 
	42001 – 22001 = 2
	Þ 
Bài 31.	(ĐH Y Dược TPHCM 2001)
	Cho k và n là các số nguyên thoả mãn: 9 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng: 
Bài giải
	Đặt ak = với 0 ≤ k ≤ n. Ta chứng minh rằng:
	a0 > a1 >  > an	(1)
	Thật vậy, ta có BĐT ak > ak+1 với 0 ≤ k ≤ n – 1	(2)
	Û 
	Û 	Û (2n – k)(n + k + 1) > (n – k)(2n + k + 1)
	Û 2nk + n > 0
	Ta được BĐT đúng Þ (2) đúng Þ (1) đúng.
	Do đó: ak = = a0
	Dấu “=” xảy ra Û k = 0.
Bài 32.	(ĐH khối A 2002)
	Cho khai triển nhị thức:
	(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ tư bằng 20. Tìm n và x.
Bài giải
	Từ ta có n ≥ 3 và Û Û
	Û n2 – 3n – 28 = 0 Û 
	Với n = 7 ta có:	 = 140 Û 35.22x–2.2–x = 140 
	Û 2x–2 = 4 Û x = 4.
	Vậy n = 7, x = 4.
Bài 33.	(ĐH khối B 2002)
	Cho đa giác đều A1A2A2n (n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, , A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1, A2, , A2n.	Tìm n?
Bài giải
	Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, , A2n là .
	Gọi đường chéo của đa giác đều A1A2A2n đi qua tâm đường tròn (O) là đường chéo lớn thì đa giác đã cho có n đường chéo lớn.
	Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1, A2, , A2n có các đường chéo là hai đường chéo lớn. Ngược lại, với mỗi cặp đường chéo lớn ta có các đầu mút của chúng là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Vậy số hình chữ nhật nói trên bằng số cặp đường chéo lớn của đa giác A1, A2, , A2n, tức .
	Theo giả thiết thì:
	Û Û 2n – 1 = 15 Û n = 8.
Bài 34.	(ĐH khối D 2002)
	Tìm số nguyên dương n sao cho:
	 = 243
Bài giải
	Ta có: (x + 1)n = 
	Cho x = 2 ta được: 3n = Þ 3n = 243 Û n = 5.
Bài 35.	(ĐH dự bị 2 2002)
	Tìm số n nguyên dương thoả mãn bất phương trình: ≤ 9n.
Bài giải
BPT Û Û 
	Û 3 ≤ n ≤ 4 Û n = 3 hoặc n = 4.
Bài 36.	(ĐH dự bị 4 2002)
	Giả sử n là số nguyên dương và:
	(1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 +  + akxk +  + anxn
	Biết rằng tồn tại số k nguyên (1 ≤ k ≤ n – 1) sao cho .
	Hãy tính n.
Bài giải
	Ta có: (1) (1 ≤ k ≤ n – 1)
	Û 
	Û 
	Û 2.(k – 1)!(n – k + 1)! = 9.k!(n – k)! = 24.(k + 1)!(n – k – 1)!
	Û 2.(n – k +1)(n – k) = 9.k(n – k) = 24.(k + 1)k
	Û Û 
	Để tồn tại k thoả mãn hệ thức (1), điều kiện ắt có và đủ là:
	3n – 8 = 2n + 2 Û n = 10.
Bài 37.	(ĐH dự bị 6 2002)
	Gọi a1, a2, , a11 là các hệ số trong khai triển sau:
	(x + 1)10.(x + 2) = x11 + a1x10 + a2x9 +  + a11.
	Hãy tính hệ số a5.
Bài giải
	Ta có: (x + 1)10 = x10 + 
	Þ (x + 1)10(x + 2) = x11 + + 
	+ 
	= x11 +
	+ + + 2
	= x11 + a1x10 + a2x9 +  + a11
	Vậy a5 = = 672.
Bài 38.	(ĐH khối A 2003)
	Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng:(n nguyên dương, x > 0).
Bài giải
	Ta có: Û 
	Û = 7(n + 3) 	Û n + 2 = 7.2! = 14 Û n = 12.
	Số hạng tổng quát của khai triển là:
	Ta có: = x8 Û = 8 Û k = 4.
	Do đó hệ số của số hạng chứa x8 là = 495.
Bài 39.	(ĐH khối B 2003)
	Cho n là số nguyên dương. Tính tổng:
Bài giải
	Ta có: (1 + x)n = 
	Þ 
	Û 
	Û = 
Bài 40.	(ĐH khối D 2003)
	Với n là số nguyên dương, gọi a3n–3 là hệ số của x3n–3 trong khai triển thành đa thức của (x2 + 1)n(x + 2)n. 
Tìm n để a3n–3 = 26n.
Bài giải
	Ta có: 	(x2 + 1)n = 
	(x + 2)n = 
	Dễ dàng kiểm tra n = 1, n = 2 không thoả mãn điều kiện bài toán.
	Với n ≥ 3 thì x3n–3 = x2nxn–3 = x2n–2xn–1
	Do đó hệ số của x3n–3 trong khai triển thành đa thức của: 
	(x2 + 1)n(x + 2)n 
	là: 	a3n–3 = 
	Þ a3n–3 = 26n Û Û 
	Vậy: n = 5.
Bài 41.	(ĐH khối D 2003 dự bị 2)
	Tìm số tự nhiên n thoả mãn:
	 = 100
Bài giải
	Ta có: 	 = 100
	Û 	
	Û	Û 
	Û	
	Û 	3n(n – 1) + (n2 – n)(n – 2) = 60
	Û	(n2 – n)(n + 1) = 60
	Û 	(n – 1)n(n + 1) = 3.4.5
	Û	n = 4.
Bài 42.	(CĐ Xây dựng số 3 – 2002) 
	Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có:
Bài giải
	Ta có khai triển:
	(x + 1)2n = 
	Cho x = –1 ta được:
	0 = 
	Û 
Bài 43.	(CĐ Sư phạm Bến Tre khối A 2002)
	1. Giải phương trình: = 9x2 – 14x
	2. Chứng minh rằng: = 219
Bài giải
1. Điều kiện: 
	PT Û x + = 9x2 – 14x
	Û x + 3x(x – 1) + x(x – 1)(x – 2) = 9x2 – 14x
	Û x(x2 – 9x + 14) – 0 Û Û x = 2
	2. · Cách 1: 
	* Ta có: (1 – x)20 = 
	Cho x = 1 ta có: = 0
	Þ 
	Đặt:	A = ;	B = 
	Þ A = B	(1)
	* Ta có: (1 + x)20 = 
	Cho x = 1 ta có: = 220
	Þ A + B = 220	(2)
	Từ (1) và (2) suy ra A = = 219 (đpcm).
	· Cách 2: Áp dụng công thức và , ta được:
	 =
	= 
	= (1 + 1)19 = 219.
Bài 44.	(CĐ khối AD 2003)
	Chứng minh rằng:	P1 + 2P2 + 3P3 + + nPn = Pn+1 – 1
Bài giải
· Cách 1:
	Ta có: 	Pn+1 – [nPn + (n – 1)Pn–1 +  + 2P2 + P1] =
	= (n + 1)! – n.n! – (n – 1).(n – 1)! –  – 2.2! – 1!
	= n![(n + 1) – n] – (n – 1).(n – 1)! –  – 2.2! – 1!
	= n! – (n – 1).(n – 1)! –  – 2.2! – 1!
	= (n – 1)![n – (n – 1)] –  – 2.2! – 1!
	= (n – 1)! – (n – 2)(n – 2)! –  – 2.2! – 1!
	= ..
	= 2! – 1.1! = 1
	Vậy: P1 + 2P2 + 3P3 + + nPn = Pn+1 – 1.
· Cách 2: Chứng minh bằng qui nạp:
	* Với n = 1, ta có P1 = P2 – 1 Û 1! = 2! – 1. Mệnh đề đúng.
	* Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k > 1), tức là ta có:
	P1 + 2P2 + 3P3 + + kPk = Pk+1 – 1
	* Ta cần ch. minh: P1 + 2P2 + 3P3 + + kPk + (k +1)Pk+1= Pk+2 – 1
	Thật vậy, P1 + 2P2 + 3P3 + + kPk + (k +1)Pk+1 = Pk+1 – 1 + (k +1)Pk+1 
	= (k + 2)Pk+1 – 1 = Pk+2 – 1. (đpcm)
Bài 45.	(CĐ Giao thông II 2003)
	Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 2, ta đều có:
Bài giải
Do nên ta có: 
	Áp dụng BĐT Côsi ta có:
	Áp dụng khai triển (a + b)n = với a = b = 1, ta có:
	 = 2n Þ = 2n – 2
	Suy ra: (đpcm).
Bài 46.	(CĐ Giao thông III 2003)
	1. Tính tổng:	S = (n > 2)
	2. Tính tổng:	T = 
	biết rằng n là số nguyên dương thoả điều kiện:
Bài giải
1. Ta có: (1 + x)n = 
	Đạo hàm 2 vế, ta được:
	n(1 + x)n–1 = 
	Cho x = –1
	0 = 
	Vậy S = 0.
2. Ta có: (1 + x)n = 
	Þ 
	Þ 
	Þ 
	Do đó: T = 
	Ta có: Û Û n = 12
	Vậy: T = .
Bài 47.	(CĐ Tài chính kế toán IV 2003)
	Chứng minh rằng:	 
	(với n, k Î Z+;n ≥ k + 2)
Bài giải
	Vế trái = = = .
Bài 48.	 (CĐ Tài chính kế toán IV 2003 dự bị)
	Giải bất phương trình: 
Bài giải
	Điều kiện: n Î Z, n ≥ 0.
	BPT Û Û (3n)! ≤ 720
	Ta thấy (3n)! tăng theo n và mặt khác 6! = 720 ≥ (3n)!
	Do đó: BPT có nghiệm .
Bài 49.	(CĐ Công nghiệp HN 2003)
	Cho đa thức: P(x) = (16x – 15)2003. Khai triển đa thức đó dưới dạng:
	P(x) = a0 + a1x + a2x2 +  + a2003x2003
	Tính tổng S = a0 + a1 + a2 +  + a2003.
Bài giải
	P(x) 	= (16x – 15)2003 = 
	= 
	Các hệ số trong khai triển đa thức là: ak = 
	Vậy: S = = (16 – 15)2003 = 1
Bài 50.	(CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003)
	Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức:	
Bài giải
	Điều kiện: n Î N, n ≥ 3.
	PT Û Û n(n – 1)(n – 2) + n(n – 1) = 16n
	Û n2 – 2n – 15 = 0 Û 
	vậy: n = 5.
Bài 51.	(CĐ Nông Lâm 2003)
	Tìm hệ số lớn nhất của đa thức trong khai triển nhị thức Newton của:
	.
Bài giải
	Ta có: = 
	Gọi ak là hệ số của xk trong khai triển:
	ak = ; k = 0, 1, 2, , 15.
	Xét sự tăng giảm của dãy ak:
	ak–1 < ak Û Û 
	Û k < , k = 0, 1,.., 15
	Từ đó: a0 < a1 < a2 <  < a10
	Đảo dấu BĐT trên ta được:
	ak–1 > ak Û k > Þ a10 > a11 >  > a15.
	Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: a10 = 
Bài 52.	(CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003)
	Hãy khai triển nhị thức Newton (1 – x)2n, với n là số nguyên dương. Từ đó chứng minh rằng: 
Bài giải
	Ta có: 
	(1 – x)2n = 
	Đạo hàm 2 vế theo x, ta có:
	–2n(1 – x)2n–1 =
 	= 
	Thế x = 1 vào đẳng thức trên, ta có:
	0 = 
	Vậy: .
Bài 53.	(ĐH khối A 2004)
	Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1 + x2(1 – x)]8.
Bài giải
	Ta có: [1 + x2(1 – x)]8 = +
 +
	Bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8.
	Vậy x8 chỉ có trong các số hạng thư tư, thứ năm, với hệ số tương ứng là:	
	Suy ra: a8 = 168 + 70 = 238.
Bài 54.	(ĐH khối D 2004)
	Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của:
	với x > 0
Bài giải
	Ta có: = = 
	Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng với k (k Î Z, 0 ≤ k ≤ 7) thoả mãn:	 Û k = 4
	Vậy số hạng không chứa x cần tìm là: = 35.
Bài 55.	(ĐH khối A 2005)
	Tìm số nguyên dương n sao cho:
	 = 2005
Bài giải
	Ta có: (1 + x)2n+1 = 
	Đạo hàm