Bất đẳng thức - “Thật đơn giản” - Phạm Huy Hoàng

BẤT ĐẲNG THỨC-“THẬT ĐƠN GIẢN”
I.Lý do chọn đề tài.
Khi giải các bài toán đặc biệt là các bài toán về các bất đẳng thức mình Nhận thấy các bạn thường: 
+ Các bạn thường sợ các bất đẳng thức. bỏ qua và không có hứng thú, bởi vậy mình Nhận thấy ở các bạn:
+Lúng túng thụ động không biết từ đâu,phân tích bài toán như thế nào ?.
+Không nắm vững các bất đẳng thức quan trọng cũng như các hệ quả của các bất đẳng thức như côsi, bunhiacopski ,vv
+ Không nắm được một số bất đẳng thức đơn giản thường gặp và có nhiều ứng dụng.
+Khi giải được bài toán rồi thì dừng lại, không tiếp tục tìm tòi khai thác, biến đổi thay đổi giả thuyết và giải bài toán bằng nhiều cách, từ đó nếu có thể suy ra bài toán tổng quát.
Để khắc phục được hạn chế trên, định hướng các bạn tư duy lôgíc. Mình mạnh dạn đưa ra một vài kinh nghiệm nhỏ trong bài viết này hy vọng các bạn học tập hiệu quả hơn bằng cách tiếp cận vấn đề bằng một bất đẳng thức hết sức quen thuộc, dễ chứng minh dễ nhớ và đặc biệt có rất nhiều ứng dụng ở lớp 10 cũng như ở chương trỡnh phổ thụng. 
 	Bài Toán: Với hai số dương x và y ta có: (1)
 Đẳng thức xảy ra khi x =y.
Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh ở đây đưa ra hai cách chứng minh phổ biến nhất. 
 Cách 1. Với hai số dương x và y ta có: 
 2(x + y)2
 Rừ ràng, đẳng thức xảy ra khi x = y.
 Cách 2. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có
 Từ đó: (
 Và đẳng thức xảy ra khi x =y.
Tổng Quát: Cho hai số x, y dương và a, b là hai số bất kỡ ta có: 
 hay .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . ( chứng minh bất đẳng thức này cũng có nhiều cách chứng minh xin dành cho bạn đọc).
II. Biện pháp thực hiện.
Để làm được việc này cần có nhiều việc phải làm.
	Thứ nhất: yêu cầu và rèn luyện cho học sinh nắm vững các lý thuyết cơ bản như côsi,bunhiacopski, v,vvà các cách chứng minh thông thường.
	Thứ hai: Khi cho các bạn làm bài tập mình đặc biệt hướng cho các bạn phân tích các bài toán bằng cách trả lời câu hỏi:
	-Vai trò các số hạng nhân tử có bình đẳng không?
	-Bất đẳng thức có xảy ra dấu bằng không? Nếu xảy ra thì thì các số hạng phải thoả mãn điều kiện nào. Từ đó cho phép áp dụng bât đẳng thức hợp với giả thuyết của bài toán.
	Thứ ba : Khuyến khích các bạn biến đổi các bất đẳng thức về bất đẳng thức quen thuộc. đặc biệt là bất dẳng thức (1)
	Thứ tư: Sau khi khuyến khích các bạn giải bài toán theo nhiều cách, nhiều công cụ. Tổng quát bài toán.Công việc này rất có lợi cho tư duy cũng như khả năng tổng hợp kiến thức của các bạn.
III. Thực hiện
 Bài toán 1. Cho ba số dương a, b, c, ta có:
 (2)
 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Áp dụng (1) ta có ngay điều phải chứng minh.
 * Phát triển: Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được:
 (3)
 * Kết hợp (2) và (3) ta có
 Bài toán 2. Với a, b, c là các số dương:
 (4)
 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
 Chỳ ý: Nếu theo giả thiết thỏa bài toán 2 là nội dung câu IV, Đề thi Đại học và Cao đẳng khối A, năm 2005.
 Bài toán 3. Chứng minh rằng với a, b, c dương:
 (5)
 Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có:
 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta có bất đẳng thức (5)
 Đẳng thức xảy ra khi:
 Bài toán 4. Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn đẳng thức sau:
 Giải: Đặt thế thỏa x, y, z dương và xy + yz + zx=1
 Hệ thức trở thành: 
 Ta có:
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều.
 Bài toán 5. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, y + 1 > 0, z + 4 > 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất của 
 Giải: Đặt a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0. Ta có: a + b + c = 6 và
 Theo bất đẳng thức (1) ta có: 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
 Vậy: đạt được khi .
Bài toán 6 : Chứng minh rằng : với x, y, z là các số dương. Dấu bằng xảy ra khi nào ?
Giải :
. Tương tự ta cũng có . Cộng từng vế bất dẳng thức trên ta có bất dẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1.
Bài toán 7 : Cho 3 số thực dương a, b và c thoả :ab+bc+ca = abc. chứng minh rằng :
Giải: ta có ab+bc+ca = abc . Đặt . Khi đó ta có: 
Tương tự ta có 
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có 
.
Suy ra điều phải chứng minh
 Bài toán 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 Với x, y, z, t là các số dương.
 Giải : Ta có:
 Vậy MinA=0 khi x = y = z = t.
 Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là một số bài tập tương tự:
 Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức:
 Bài 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = ab + bc + ca thỏa:
 Bài 3. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
 Bài 4. Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA = b, AB = c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
	Bài 5. Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b, c là độ dài 3 cạnh). Chứng minh rằng:
IV. Mở rộng.
Cho x, y,z là ba số dương. chứng minh rằng:
;Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z
Tổng quát:
Cho ba số a, b, c bất kỡ, x, y, z la ba số thực dương ta có:
.(Bất đẳng thức s-vac) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta có:
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
V. Áp dụng
Bài toán 1: Chứng minh rằng : với a, b, c là các số thực dương.
Giải :Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : 
. Suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Bài toán 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 
Giải :
Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : . Mặt khác theo bất
đẳng thức Bunhiacopski ta có : 
.
Vậy 
Bài toán 3 : Cho các số thực dương x, y, z, t thỏa mãn xyzt=1. chứng minh rằng 
Giải : 
đặt , theo bài ra ta có abcd = 1 và  ; tương tự ta có :
Công các vế bất đẳng thức trên ta có : 
(Mở rộng tự nhiờn bất đẳng thức (6) cho bốn số)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Bài toán 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện 
Giải : 
Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :
Xét biểu thức . Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có :
. Do đó .
Mát khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopski .
Bài toán 5 : Cho x,y,z>0 và thoả : 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
Nhận xét: Các số x, y, z có vai trò bình đẳng. dự đoán dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi chúng bằng nhau và bằng .
Giải: Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: .
Bài toán 6 : Cho a,b,c>0 và thoả : a.b.c = 1 
 Chứng minh rằng: 
Nhận xét: -Các số x, y, z có vai trò bình đẳng. dự đoán dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi chúng bằng nhau và bằng 1.
	- Để đơn giản biểu thức ta có thể đặt 
Giải: Đặt Theo giả thiết ta có: xyz = 1
Ta có ; tương tự ta có:
; . Do đó Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Bài toán 7 : Cho 3 số thực dương x,y,z >o thoả : .Tìm GTNN của 
A = 
Giải: Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : 
.Ta có. 
Do đó 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Bài toán 8 : Với x, y, z là số dương và 
Chứng minh rằng: 
 Hướng dẫn.
Đặt 
Bài toán trở thành : a, b, c là số dương và 
	Chứng minh rằng : 
Áp dụng bất đẳng thức trờn ta có 
Bỡnh phương hai vế bất đẳng thức: 
( Vỡ )
Đặt thỏa ( vỡ )
Ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1điều phải chứng minh
Tổng quát : ta có bài toán sau: với là số dương và 
Cmr: 
Bài toán 9 : chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn thì 
Giải :
Từ suy ra . đặt thì Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có : 
Tương tự ta cũng có 
Cộng ba bất đẳng thức trên ta có 
Cách2 :
Tương tự ta có:
cộng vế với vế ta có:
suy ra điều phải chứng minh.
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=3.
Bài toán 10  Cho . Cmr: 
Giải: 
Đặt từ điều kiện 
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki và Cô Si ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = đpcm.
Bài toán 11: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức: P = 
Giải:
để đơn giản đặt 
Ta có 
Mặt khác ta có . Nờn ta có:
. dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Hay 
 Một số bài tập tương tự:
 	Bài toán 1: Tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức Q = ,với x, y ,z là các số dương thoả mãn điều kiện x+y+z
VI. Kết quả thực hiện
Đây là một phần khó thực hiện trên đối tượng học sinh đa dạng nên gặp không ít khó khăn.Tuy nhiên qua tìm hiểu các bạn học sinh kết quả thu được tương đối khả quan
Kết quả như sau
Giái
Khá
TB
Yếu
Kém
Khối 10
25%
31%
10%
26%
18%
Khối 11
27%
25%
11%
29%
8%
Đây là bài viết Hoàng đã chỉnh sửa, có thể còn một số sai xót, mong mọi người đóng góp ý kiến của mình tại: huyhoang.231095@gmail.com.
 Chân thành cảm ơn mọi người!