Bất đẳng thức - Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất ôn thi đại học

 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT- CM BĐT
Cho 3 số dương x , y , z thay đổi và . Tìm GTLN của biểu thức 
Ta có : x + y + z = 1 
 TT: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = . Vậy 
Cho 3 số dương . Chứng minh 
HD: ttuong tự ta có được 
. Ta cần chứng minh 
Thật vậy ta có (tự chứng minh bằng phép bđtđ)
Áp dụng vì 
Cho 3 số dương . Chứng minh 
HD: BĐ Theo cô si ta có 
Vậy 
CM tương tự 
Suy ra 
Ta cần CM 
Thật vâỵ 
Cho 3 số thực a, b, c sao cho . CMR: 
HD: 
Cho 3 số thực dương a, b, c sao cho . Tìm GNNN
HD: tương tự 
Suy ra 
Suy ra 
Tương tự 
Dấu bằng xảy ra 
Cho a, b, c, d là các số thực thỏa điều kiện . Tìm GTNN của biểu thức 
HD: Cần chứng minh lại 
Khi đó 
Ta có 
Suy ra dấu cảu f’(d) là dấu của .
Từ bbt suy ra = xảy ra 
Cho x, y là các số thực thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:	.
HD: 
Vì 
Đặt x+y = t 
Ta có 
Xét với 
Bảng biến thiên suy ra 
Vậy maxP =4 
Min P = -4 
Cho ba số x, y, z dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
HD: Ta có: và 
Mà và 
Suy ra Vậy Pmin =12 khi x =y =z=1
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: a.b.c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Đặt . Khi đó theo giả thiết ta có x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn: xyz = 1 và biểu thức T đươc viết lại:
Ta luôn có Bđt đúng: 
Þ (1)
Tương tự: (2); (3)
Cộng vế theo vế các bđt (1), (2), (3) ta được: . 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1
Vậy đạt được khi a = b = c = 1
 Cho . Tìm GTNN của biểu thức 
HD: Đặt đưa về khảo sát
 Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa . Tìm GTLN của biểu thức 
HD: Ta có 
TT: 
Suy ra 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
 Cho thỏa . CM: 
HD: AD bđt cốsi ta có 
 mà 
Vậy 
Dấu bằng xảy ra 
 Cho a, b, c dương và . CM: 
HD: Ta có , TT: 
Vậy cô si .
Ta chỉ cần minh 
Luôn đúng vì = xảy ra 
 Cho a, b dương và thỏa . CM: 
HD: 
3 
Ta có ta chứng minh (*)
Đặt ta được dấu = khi x = 2
Cho a, b, c dương và thỏa . Tìm GTNN 
HD: .Đặt 
Ta có 
 Tìm GTNN của biểu thức 
Đặt . Suy ra xét dấu bằng đạo hàm cấp 2 suy ra dấu đaọ hàm cấp 1 KL: 
 Cho x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện . Tìm GTLN- GTNN của biểu thức . 
Đặt với 
Khi đó 
 Cho a, b, c dương. CMR: 
TT:  suy ra Đpcm
 Cho x, y , z là các số thực không âm.Tìm GTLN của biểu thức 
HD: . Đặt KSHS suy ra 
 Cho a, b dương và thỏa . CM: 
HD: 
Suy ra ..
Suy ra 
Cho là những số dương thỏa mãn: . Chứng minh bất đẳng thức 
	 Áp dụng bất đẳng thức 
	 Ta có: 
 Ta lại có:
	 Tương tự: 
	 Từ đó suy ra 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
 Cho 3 số dương x , y , z có tổng bằng 1. Chứng minh bất đẳng thức :
	Ta có : x + y + z = 1 
TT: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = .
 Chứng minh rằng thì Đẳng thức xảy ra khi nào ? 
 Ta có (*) (1) 
 Theo BĐT cô si và (*) ta có 
 . VËy Dấu bằng xảy ra 
 Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Đặt ta có và với 
 Suy ra do đó ..
 Cho x,y dương và thỏa . Tìm GTNN của biểu thức 
Ta biến đổi 	Do nên .
Đặt , điều kiện của t là 
Khi đó biểu thức 
ta thấy với mọi , 
suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên nửa khoảng 
Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là:.
 Cho a, b, c dương thỏa . CMR 
AD BĐT cô si ta có , TT 
Khi đó 
mà 
 do đó ta chỉ cần chứng minh với 
Theo BĐT cô si ta có 
TT suy ra điều phải chứng minh
 Cho 3 số dương a, b, c thỏa . CM: 
Theo BĐT 
Từ GT suy ra 
mà suy ra đpcm
 Cho a, b, c là 3 số thực thỏa và thỏa . Chứng minh 
Đặt đpcm tương dương 
Thật vậy 
 Mà nên suy ra đpcm
Cho 3 số thực dương a, b, c và thỏa . Tìm GTLN của biểu thức 
Ta có 
Suy ra 
Kết hợp điều kiện và giả thiết suy ra 
AD BĐT cô si cho 2048 số 
 Nhân vế theo vế suy ra 
 TT , 
 Suy ra vậy max là 
Cho a; b; c là các số dương. CMR 
Cho a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
HD: 
Để ý nên từ đó suy ra đpcm
Cho a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR 
 ( Với p là nửa chu vi) Tương tự bài 31.
 Cho ba số a, b, c thỏa . Chứng minh rằng: 
HD: 
Nhận xét Suy ra đpcm (như bài trên)
Cho. Chứng minh rằng 
 HD: 
 Cho các số dương a, b, c . CMR: 
Đặt 
 Khi đó Ta được trở thành: 
 Với 
Cho các số dương a; b; c. Chứng minh rằng 
Cho các số dương a, b, c . Chứng minh rằng 
 HD: Tương tự suy ra đpcm
Cho các số dương x; y; z thỏa mãn: CMR 
 vì 
Cho các số dương thỏa mãn : Chứng minh rằng: 
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. CMR: 
HD: 
 Tương tự 
 Cộng vế theo vế của (1); (2); (3) ta có đpcm. Dấu “ =” xảy ra khi a =b =c hay tam giác đều
Cho CMR 
 HD: Bài toán trên có thể viết lại:
 ( do x1 + x2 +...+xn = 1)
 Suy ra (*) đúng do đó ta có (16.1) đúng.
Cho x,y,z là ba số thực dương có tổng bằng 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 .
 Xét hàm số , với 0<x<3
 	 Từ bảng biến thiên suy ra MinP=7 . 
Cho là các số thực thỏa mãn .Tìm GTLN, GTNN của 
	Ta có = 
	Đặt . Ta có 
	 suy ra 
	Ta tìm max, min của f(t) trên 
	Ta có 
	Suy ra khi suy ra 
	 khi suy ra 
Cho a,b, c dương và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
	Ta có: (1)
	 (2)
 	 (3)
	Lấy (1)+(2)+(3) ta được:(4) Vì 
	Từ (4) vậy giá trị nhỏ nhất khi a = b = c = 1 
Xét các số thực a, b, c thỏa mãn Tìm GTLN của biểu thức . 
AD BĐT cô si cho 2012 số với 5 số và 2007 số 1 ta có 
. TT ta có 
Vậy 
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 
*Biến đổi 
*Từ đó 
Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương 
*áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được 
 (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Cho x, y, z là những số dương thoả mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Có x, y, z >0, Đặt : a = x3 , b = y3, c = z3 (a, b, c >0 ; abc=1) ta được :
 mà (Biến đổi tương đương)
Tương tự: 
=> (BĐT Côsi)
=> P Vậy: minP = 2 khi x = y =z =1
Cho x, y dương và . Tìm GTNN của biểu thức 
 khi 
Cho 2 số thực x, y thỏa Tìm GTLN- GTNN của biểu thức 
Mặt khác 
 Suy ra 
 Cho x,y, z dương và thỏa . CMR: 
Đặt , bđt cần chứng minh có dạng
Ta có suy ra đpcm
 Cho x, y, z không âm và . Tìm minP với 
Ta luôn có . Đặt khi đó đặt 
Xét hàm số 
 Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn . Chứng minh 
Ta có 
TT suy ra 
Ta có 
Suy ra 
 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa. CM . Tìm GTLN của biểu thức 
Cho x,y dương và . Tìm GTNN của biểu thức 
Đặt do và khi đó . KSHS suy ra 
 Cho x, y, z không âm và . Tìm GTNN của biểu thức 
 Cho x, y, z là các số thực thỏa . Tìm GTLN của biểu thức 
Ta có 
; 	
Suy ra . Dấu bằng xảy ra 
 Cho x, y, z là 3 số thực dương. CM 
Ta có 
; 
Vậy 
Cho x, y, z dương và thỏa . Tìm GTNN 
Đặt do 
Khi đó 
Ta có 
Mà ta có theo CS ;TT cho các biến còn lại nên ta có 
Cho a, b, c là các số thực dương chứng minh rằng 
Ta có Có thể CM lại đơn giản
TT cho các biểu thức khác
 suy ra 
\
Cho x,y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thỏa điều kiện: . Tìm GTLN của biểu thức 
Ta có ; Từ đó suy ra 
Cho là các số thực dương thoả mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Sử dụng bđt AM-GM, ta có 
Từ đó suy ra 
Do và nên . Từ đây kết hợp với trên ta được 
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 đạt khi x=y=z=1