Bài toán xác định điểm thoả mãn điều kiện cho trước

Trang 1 
 BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐIỂM THOẢ MÃN 
ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC. 
I. MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ 
Chuyên đề sẽ giúp bạn nắm chắc các bài toán về tìm điểm trên mp Oxy mà thoả mãn thêm 
điều kiện cho trước 
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
Thí dụ 1. Cho họ đường cong: 
 y = x3 + 2(m-1)x2 + (m2 - 4m + 1)x - 2(m2 +1) . 
Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà họ đường cong đi qua với mọi m. 
Giải: Gọi 0 0( , )x y l
m
à điểm cần tìm .Khi đó ta có : 
 , hay 3 2 2 20 0 0 02( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + − + − + − + ∀
 m2(x0 - 2) + 2m (x02 - 2x0) + x03 - 2 x02 + x0 - 2 - y0 = 0 ∀m. 
Từ đó suy ra hệ phương trình sau đây để xác định (x0, y0) 
x0 - 2 = 0 (1) 
x02 - 2x0 = 0 (2) 
x30 - 2x20 + x0 - 2 - y0 = 0 (3) 
Từ (1) có x0 = 2. Thay vào (3) có y0 = 0. Thay x0 = 2 vào (2) thấy thoả mãn. Vậy, họ 
đường cong đã cho đi qua một điểm cố định duy nhất (2.0). 
Nhận xét: 
1. Như vậy lược đồ chung đê giải bài toán tìm điểm mà họ đường cong luôn đi qua là: 
Gọi (x0, y0) là điểm mà họ đường cong y = f(x, m) luôn đi qua với mọi m. Từ hệ thức: y0 = f(x0, 
m) với mọi m và dựa vào tính chất. Một đa thức P (x) = a0 + a1x + a2x2 +. với mọi x 
Ù tất cả các hệ số a0, a1.am = 0. Từ đó suy ra một hệ phương trình để xác định x0, y0. Số 
nghiệm của hệ này là số điểm cố định cần tìm. 
0mma x =
2. Ta nhận thấy (2, 0) là điểm cố định trong thí dụ trên. Điều đó có nghĩa là: 
Phương trình x3 + 2(m - 1)x2 + (m2 - 4m + 1)x - 2 (m2 + 1) = 0 
với mọi m luôn có một nghiệm là x = 0. Từ đó suy ra trong nhiều trường hợp có thể sử 
dụng việc tìm điểm cố định để nhẩm một nghiệm của phương trình bậc cao có tham số: 
Giả sử ta phải biện luận (hoặc giải) phương trình bậc cao có tham số sau: 
y = f(x, m) = 0 
Như ta đã biết nếu biết trước một nghiệm x0 của nó, thì ta có thể hạ bậc phương trình, khi 
đó mọi việc sẽ đơn giản hơn. Ta có thể làm như sau: Tìm điểm cố định (x0, y0) củ họ y = f(x, m) 
theo cách trên. Nếu như tồn tại điểm cố định (x0, 0), thì x = x0 chính là một nghiệm. Dĩ nhiên 
không phải điều này lúc nào cũng có. Nếu có thì ta đã áp dụng việc tìm điểm cố định của một họ 
đường cong phụ thuộc tham số để nhẩm nghiệm một phương trình bậc cao với tham số. 
Thí dụ 2 (Bài toán ba điểm cố định thẳng hàng) 
Chứng minh rằng các họ đường cong sau với mọi m luôn đi qua ba điểm cố định thẳng 
hàng. 
1. y = (m + 2)x3 + 2(m + 2)x2 - (m + 3)x - 2m + 1 
2. y = (m + 1)x3 - (2m - 1)x - m + 1 
3. y = (m - 3)x3 - 4 (m - 3)x2 - (m + 1)x + m 
Bài giải 
1. Xét họ đường cong y = (m + 2)x3 + 2(m + 2)x2 - (m + 3)x - 2m + 1 
Gọi (x0, y0) là điểm cố định cần tìm. Khi đó ta có: 
y0 = (m + 2)x03 + 2(m + 2)x20 - (m + 3)x0 - 2m + 1 ∀m. 
Từ đó lập luận như trên suy ra hệ phương trình sau đây để xác định x0, y0. 
x30 + 2x02 - x0 - 2 = 0 (1) 
y0 - 2x30 - 4x20 + 3x0 - 1 = 0 (2) 
Dễ thấy (1) (x0 + 2) (x20 - 1) = 0 
 x0 = -2 , x0 = 1 hoặc x0 = -1 
Vậy có 3 điểm cố định. A (-2, 7); B (1, 4); C (-1, 6) 
Ta có ; (3, 3)AB
−−> = − (1, 1)AC−−> = − . 
Vì 3AB AC
−−> −−>= ; nên A, B, C thẳng hàng. 
Nhận xét: (2) có thể viết lại dưới dạng: 
y0 = 2 (x03 + 2x02 - x0-2) -x0 +5 = 0 
Từ (1) suy ra y0 +x0 -5= 0 (*) 
Vậy nếu (1) có 3 nghiệm phân biệt, thì từ (*) suy ra 3 điểm cố định thẳng hàng vì chúng 
cùng nằm trên đường thẳng y – x-5 
 = 0 
Dĩ nhiên với đường cong đã cho, thì cách làm trực tiếp là đơn giản (vì mọi tính toán ở đó 
là dễ dàng). Tuy nhiên không phải lúc nào cách làm trực tiếp cũng suôn sẻ. 
2. Xét họ đường cong y = (m + 1)x3 - (2m - 1)x - m + 1 
Gọi (x0, y0) là điểm cố định cần tìm. Tính toán như trên dẫn đến hệ phương trình sau để 
tìm x0, y0. 
3
0 0
3
0 0 0
2 1 0(3)
1 0(4)
x x
y x x
⎧ − − =⎪⎨ − + − =⎪⎩
Trang 2 
Trang 3 
 (4) y0 - (x30 - 2x0 - 1) - x0 - 2 = 0 
Do (3) suy ra y0 - x0 - 2 = 0 
Vì (3) Ù (x0 + 1) (x20 - x0 - 1) = 0, nên nó có 3 nghiệm phân biệt. 
Vậy đường cong đã cho có 3 điểm cố định cùng nằm trên đường thẳng y- x - 2 = 0, nên 
chúng thẳng hàng. 
Nhận xét: Dĩ nhiên có thể giải trực tiếp bằng cách tìm nghiệm của (3) 
(3) Ù x0 = - 1, x0 = 1 52
±
Việc tìm y0 theo x0 ở đây để phức tạp hơn vì x0 có nghiệm dưới dạng căn. Sau đó lại phải 
dùng các phép tính về véc tơ để được 3 điểm cố định thẳng hàng. 
Rõ ràng giải trực tiếp là có thể, nhưng chắc chắn phức tạp hơn hẳn cách ta trình bày ở 
trên. 
3. Xét họ đường cong y = (m - 3) 3 4( 3) 2x m x− − - (m + 1)x + m 
Gọi (x0, y0) là điểm cố định cần tìm. Ta có hệ sau đây để xác định x0, y0 
3 2
0 0 0
3 2
0 0 0 0
4 1
3 12
x x x
y x x x
⎧ − − + =⎪⎨ + − + =⎪⎩
0
0
Viết lại (6) dưới dạng 
y0 + 3 (x30 - 4x20 - x0 + 1) + 4x0 - 3 = 0 
Từ (5) suy ra y0 + 4x0 - 3 = 0 
Bây giờ chứng minh (5) có 3 nghiệm phân biệt 
Xét f(x) = x3 - 4x2 - x + 1, ta có: 
f(-1) = -3 0, f(1) = -3 0 
Từ tính liên tục của f(x) suy ra phương trình (5) có 3 nghiệm phân biệt. 
Vậy đường cong có 3 điểm cố định thẳng hàng (vì cùng nằm trên đường thẳng y + 4x - 3 
= 0) 
Nhận xét: Trong thí dụ này phương pháp tìm các điểm cố định cụ thể, rồi chứng minh 
chúng thẳng hàng là hoàn toàn không thể làm được (vì mặc dù ta biết (5) có 3 nghiệm phân biệt, 
nhưng làm sao tìm được các nghiệm ấy.) 
- Bây giờ ta chuyển sang xét bài toán: Cho họ đường cong phụ thuộc tham số y = f(x,m). 
Tìm các điểm trên mặt phẳng toạ độ sao cho mọi đường của họ đều không đi qua các điểm ấy 
với mọi giá trị của tham số m. 
Lược đồ chung để giải chúng như sau: Gọi (x0, y0) là điểm phải tìm, thì phương trình 
sau đây (ẩn m) 
y0 = f (x0, m) (1) vô nghiệm. 
Như vậy ta qui bài toán về việc tìm điều kiện để phương trình (1) (ẩn m) vô nghiệm. Tuỳ 
dạng của (1), mà ta có các điều kiện vô nghiệm tương ứng. Từ các điều kiện này sẽ cho ta lời 
giải của bài toán. 
Lưu ý với các bạn để làm sáng tỏ các kết quả tìm được, trong các trường hợp có thể được 
, bạn hãy biểu diễn hình học các kết quả tìm được trên mặt phẳng toạ độ. Để làm được điều này, 
bạn chỉ cần nắm được cách biểu diễn miền trên mặt phẳng toạ độ từ các hệ thức cho trước. 
Ta hãy lần lượt xét các thí dụ sau đây: 
Thí dụ 3. Cho họ đường cong y = mx3 + (1 - m)x phụ thuộc tham số m. Tìm các điểm trên mặt 
phẳng toạ độ sao cho không có đường nào của họ đi qua. 
Giải : Gọi: (x0, y0) là điểm phải tìm. Khi đó phương trình sau đây (ẩn m) 
y0 = mx30 + (1 - m)x0 (1) vô nghiệm. 
Dễ thấy: (1)Ù y0 - x0 = m(x03 - x0) (2) 
(1) Ta có phương trình (2) (ẩn m) vô nghiệm khi và chỉ khi hệ sau thoả mãn. 
x30 - x0 x0 = 0 hoặc x0 = 1, hoặc x0 = -1 
y0 - x0 0 y0 ≠ ≠ x 
Vậy các điểm cần tìm gồm 3 đường thẳng x = 0, x = 1, x = -1 bỏ đi 3 điểm A(0, 0) ; B 
(1; 1) ; C (-1, -1). 
Ù 
Thí dụ 4. Cho họ đường cong y = x3 - + 2mx + m2 - 1 3 2m x
Tìm các điểm trên mặt phẳng toạ độ mà họ đường cong không đi qua với mọi m. 
Bài giải 
Gọi (x0, y0) là điểm phải tìm khi đó phương trình sau (ẩn m) 
y0 = x30 - m3x20 + 2mx0 + y0 + m2 - 1 (1) vô nghiệm. 
Viết lại (1) dưới dạng: 
m3x20 - - 2mx0 + y0 + 1 - x03 = 0 (2) 2m
Nếu x0 0, thì (2) là phương trình bậc ba. Ta biết rằng mọi phương trình bậc ba đều có 
ít nhất một nghiệm. Vì thế để (2) (ẩn m) vô nghiệm, trước hết cần có 
≠
 x0 = 0. 
Khi đó (2) có dạng : - m2 + y0 + 1 = 0 
 m2 = y0 + 1 (3) 
Vì thế (3) vô nghiệm Ù y0 + 1 < 0 
Ù y0 < - 1 
Vậy các điểm (x0, y0) phải tìm thoả mãn hệ sau: 
x0 = 0 
y0 < - 1 
Đó là phần trục tung với tung độ < -1 
Thí dụ 5. Cho họ đường cong 
y = x3 + 2(m - 1)x2 + (m2 - 4m + 1)x - 2(m2 + 1) 
Giải: Tìm các điểm trên mặt phẳng toạ độ sao cho mọi đường của họ đều không đi qua 
các điểm ấy. 
Gọi (x0, y0) là điểm cần tìm. Phương trình sau đây (ẩn m): 
y0 = x30 + 2(m - 1)x20 + (m2 - 4m + 1)x0 - 2(m2 + 1) (1) vô nghiệm. 
Trang 4 
Trang 5 
Viết lại (1) dưới dạng sau: 
(x0 - 2)m2 + 2x0 (x0 - 2)m + x30 - 2x20 + x0 - 2 - y0 = 0 (2) 
Xét các khả năng sau: 
1. Nếu x0 = 2. Khi đó (2) Ù y0 = 0 
Vậy trong trường hợp này phương trình (1) vô nghiệm khi 
 . 0
0
2
0
x
y
=⎧⎨ ≠⎩
2. Nếu x0 2. Khi đó (2) vô nghiệm khi ≠Δ ’ = x20 (x0 - 2)2 - (x30 - 2x20 + x0 - 2 - y0) (x0 - 2) < 0 
Ù (x0 - 2) [x20(x0 - 2) - x30 + 2x20 - x0 + 2 + y0 ] < 0 
Ù (x0 - 2) (-x0 + 2 + y0) < 0 
Ù hoặc x0 > 2 x0 < 2 
y0 < x0 - 2 y0 < x0 - 2 
Tóm lại những điểm trên mặt phẳng toạ độ mà mọi đường của họ không đi qua được biểu 
diễn bằng hai góc đối đỉnh, kể cả một cạnh x = 2, nhưng không kể đỉnh A (2, 0) ,và cạnh kia y = 
x - 2. Nó được biểu diễn bằng đồ thị (các bạn tự vẽ nhé) 
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 
Bài 1. Tìm điểm M trên đồ thị hàm số: 2
3
xy
x
+= − sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng 
bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. 
Bài 2. Tìm trên đồ thị hàm số: 
2 3 6
2
x xy
x
+ += + các điểm có toạ độ nguyên. 
Bài 3. Tìm trên đồ thị 
3
2 113
3 3
xy x x= − + + − hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục 
tung. 
Bài 4. Tìm trên đồ thị 
2 2
1
x xy
x
+ += − hai điểm M, N đối xứng nhau qua điểm 
50;
2
I ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Bài 5. Tìm trên đồ thị 
2 4
2
x xy 5
x
+ += + của hàm số những điểm có tổng khoảng cách từ đó đến 
đường thẳng (d):y + 3x + 6 = 0 là nhỏ nhất. 
Bài 6. Tìm tọa độ điểm M thuộc 2
1
xy
x
= + (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy 
tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 1
4
hoặc