Bài tập Vectơ trong không gian quan hệ vuông góc

 22A – PHẠM NGỌC THẠC – TP .QUY NHƠN 
GIA SƯ 
 
ỨC KHÁNH 
 ‘‘Thắp sỏng ngọn lửa thành cụng’’ 
• Chuyờn luyện thi ðại Học 
 Khối A - B 
• Nhận dạy kốm tất cả cỏc lớp 
22A - Phạm Ngọc Thạch – TP.Quy Nhơn 
 Liờn hệ : Thầy Khỏnh – 0975.120.189 
VECT TRONG KHễNG GIAN 
QUAN H VUễNG GểC 
I - VECT TRONG KHễNG GIAN 
Bài 1: Cho hai đ−ờng thẳng d, d’ cắt ba mặt phẳng song song (α) , (β), (γ) lần l−ợt tại A, B, C và A’, B’, 
C’. Với điểm O bất kỳ trong không gian, đặt OI=AA';OJ=BB';OK=CC'


 


 

 


 


 



. Chứng minh ba điểm I, J, K 
thẳng hàng. 
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần l−ợt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho 
1 2 1AM= AB;BN= BC;AQ= AD;DP=kDC
3 3 2




 


 


 


 


 


 


 



. Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên 
một mặt phẳng. 
Bài 3: Cho hình chap S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) bất kỳ không đi qua S cắt 
các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần l−ợt tại các điểm A’, B’, C’, D’. 
Chứng minh rằng : 
SA SC SB SD
+ = +
SA' SC' SB' SD'
Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. M là một điểm trên đ−ờng thẳng AB sao cho MA mAB=



 



. Tìm 
điểm N trên đ−ờng thẳng B’C và điểm P trên đ−ờng thẳng A’C’ sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng 
( 0)m ≠ 
Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là giao điểm của hai đ−ờng chéo của mặt phẳng ABB’A’. 
M là một điểm trên OB’. Mặt phẳng (MD’C) cắt BC’ ở I và DA’ ở J. Chứng minh ba điểm I, M, J thẳng 
hàng. 
Bài 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi B’, C’, D’ lần l−ợt là trọng tâm của các tam giác ACD, ADB và ABC. 
Gọi G và G’ lần l−ợt là trọng tâm của tam giác BCD và B’C’D’. Chứng minh ba điểm A, G’, G thẳng 
hàng. 
Bài 7: Trong không gian cho hai hình bình hành bất kỳ 1 1 1 1A B C D và 2 2 2 2A B C D . Trên các đoạn 
1 2 1 2 1 2 1 2A A ;B B ;C C ;D D lần l−ợt lấy các điểm A, B, C, D sao cho : 
1 1 1 1
2 2 2 2
AA BB CC DD
= = =
AA BB CC DD
k= . Chứng 
minh rằng ABCD cũng là một hình bình hành. 
Bài 8: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi E, F lần l−ợt là những điểm nằm trên các đ−ờng 
chéo CA’ và AB’ của các mặt bên sao cho EF//BC’. Tìm tỷ số 
'
EF
BC
, xác định vị trí của E và F. 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠC – TP .QUY NHƠN 
Bài 9: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Ba điểm M, N, P lần l−ợt nằm trên các cạnh bên AA’, 
BB’, CC’ sao cho 
AM B'N C'P 3
= = =
AA' BB' CC' 4
. Hai điểm E, F lần l−ợt nằm trên các đoạn thẳng CM, A’N sao 
cho EF//B’P. Tìm tỷ số 
1
EF
B P
Bài 10: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng tồn tại điểm M duy nhất thuộc đ−ờng thẳng 
AC và điểm N duy nhất thuộc DC’ sap cho MN//BD’. Tính tỷ số 
'
MN
BD
Bài 11: Cho hình lập ph−ơng ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần l−ợt là trung điểm của AD và BB’. Chứng 
minh rằng MN vuông góc với A’C 
Bài 12: Trên các đ−ờng chéo D’A, A’B, B’C, C’D của các mặt của hình lập ph−ơng ABCD.A’B’C’D’ 
lần l−ợt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho 
D'M BN B'P DQ
= = = =λ
BA' DC'D'A B'C
 . Biết MN PQ⊥ . Tính λ . 
Bài 13: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q lần l−ợt là trung điểm của các cạnh AC, BD. Chứng minh rằng : 
2 2 2 2 2 2 2AB +BC +CD +DA =AC +BD +4PQ 
Bài 14: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K, E, F lần l−ợt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD, 
AC, BD. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 2 2 2AB +CD +AC +BD +BC +AD =4(IJ +HK +EF ) 
II - HAI uchoaNG THNG VUễNG GểC 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi , cạnh bên SA=AB và SA vuông góc với BC 
a) Tính góc giữa hai đ−ờng thẳng SD và BC 
b) Gọi I, J lần l−ợt là các điểm thuộc Sb và SD sao cho IJ//BD. Chứng minh rằng góc giữa AC và IJ 
không phụ thuộc vào vị trí của I và J. 
Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a, góc BAD bằng 060 , 0BAA'=DAA'=120 
1) Tính góc giữa các cặp đ−ờng thẳng AB với A’D và AC’ với B’D 
2) Tính diện tích các hình A’B’CD và ACC’A’. 
3) Tính góc giữa đ−ờng thẳng AC’ và các đ−ờng AB, AD và AA’ 
Bài 3: Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác 
nhau. 
1) Chứng minh rằng AD vuông góc với CB 
2) Gọi M và N lần l−ợt là các điểm thuộc các đ−ờng thẳng AB và DB sao cho 
MA=kMB ; ND=kNB




 


 


 



. Tính góc giữa hai đ−ờng thẳng MN và BC. 
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có BC AD a, AC BD b, AB CD c= = = = = = . Đặt α là góc giữa BC và AD, β 
là góc giữa AC và BD, γ là góc giữa AB và CD. Chứng minh rằng trong ba số hạng 
2 2 2
a cosα ; b cosβ ; c cosγ có một số hạng bằng tổng của ba số hạng còn lại. 
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M, N lần l−ợt là trung điểm của AB và CD. 
Lấy các điểm I, J, K lần l−ợt thuộc các đ−ờng thẳng BC, AC, AD sao cho 
IB=kIC ; JA=kJC ; KA=kKD


 

 

 

 


 



, trong đó k là số d−ơng cho tr−ớc. Chứng minh rằng 
1) MN IJ ; MN JK 2) AB CD⊥ ⊥ ⊥ 
III - uchoaNG THNG VUễNG GểC VI MT PHNG 
Bài 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành và SA = SC, SB = SD. Gọi O là giao điểm của 
AC và BD 
1) Chứng minh rằng ( )SO ABCD⊥ 
2) Gọi d là giao tuyến của (SAB) và (SCD), d’ là giao tuyến của (SBC) và (SAD). Chứng minh 
( , ')SO d d⊥ 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠC – TP .QUY NHƠN 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi 
B’, C’ lần l−ợt là hình chiếu vuông góc của A xuống SB, SC. Chứng minh rằng 
1) BC (SAB) 2) AB' (SBC)⊥ ⊥ 3) Tứ giác BCC’B’ nội tiếp. 
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều có 
2SC a= . Gọi H và K lần l−ợt là trung điểm của các cạnh AB và AD. 
1) Chứng minh rằng : SH (ABCD)⊥ 
2) Chứng minh rằng AC SK ; CK SD⊥ ⊥ 
Bài 4: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc 
của O trên mặt phẳng (ABC) 
1) Chứng minh rằng BC (OHA) ; CA (OBH) ; AB (OCH)⊥ ⊥ ⊥ 
2) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC. 
3) Chứng minh rằng 2 2 2 2
1 1 1 1
= + +
OH OA OB OC
4) Chứng minh rằng các góc của tam giác ABC đều nhọn 
Bài 5: Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình vuông cạnh bằng a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là 
tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần l−ợt là trung điểm của AB và CD 
1) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng SI (SCD) ; SJ (SAB)⊥ ⊥ 
2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng SH AC⊥ 
3) Tính độ dài SH 
4) Gọi M là một điểm thuộc CD sao cho BM SA⊥ . Tính độ dài AM theo a 
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), ∆ ABC vuông tại A 
1) Chứng minh ACS là tam giác vuông 
2) Tính SA, SB, SC biết rằng các góc ACB=α ; ACS=β ; BC=a 
Bài 7: Cho hình tứ diện S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA = 2a và vuông góc với mặt 
phẳng (ABC). Gọi α là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC. Tìm thiết diện của tứ diện với α và tính 
diện tích của thiết diện này. 
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a, 
SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là một điểm trên cạnh AB, α là mặt phẳng qua 
M vuông góc với AB. Đặt x = AM với 0 < x < a 
1) Tìm thiết diện của hình chóp với α . Thiết diện là hình gì ? 
2) Tìm diện tích của thiết diện theo a và x 
IV - HAI MT PHNG VUễNG GểC 
Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và (SAB) 
vuông góc với (ABCD) 
1) Chứng minh : ( ) ( ) ; ( ) ( )SAB SAD SAB SBC⊥ ⊥ 
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) 
3) Gọi H và I lần l−ợt là trung điểm của AB và BC. Cmr : ( ) ( )SHC SID⊥ 
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC), (ABD) cùng vuông góc với mặt phẳng (BDC). Vẽ đ−ờng 
cao BE, DF của tam giác BCD và đ−ờng cao DK của tam giác ACD 
1) Chứng minh ( )AB BCD⊥ 
2) Chứng minh ( ) ( ) ; ( ) ( )ABE ADC DFK ADC⊥ ⊥ 
3) Gọi O và H lần l−ợt là trực tâm của tam giác BCD và ACD. Cmr ( )OH ACD⊥ 
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD với tâm O. AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong không gian sao cho SO 
vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đặt SO = h. Gọi M, N lần l−ợt là trung điểm của AB và CD. 
1) Tính góc giữa mp(SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm hệ thức liên hệ giữa a và h để 
mp(SMN) vuông góc với các mặt phẳng (SAB), (SCD). 
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) 
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với 
mặt đáy, SA = a. Tính 
1) Các góc giữa các mặt phẳng chứa các cạnh bên và mặt đáy của hình chóp. 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠC – TP .QUY NHƠN 
2) Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai cạnh bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình chóp. 
Bài 5: Trong mặt phăngt (P), cho hình chữ nhật ABCD với AB = b, BC = a. Gọi E, F lần l−ợt là trung 
điểm của AD và BC. Trong mặt phẳng qua EF và vuông góc với (P) vẽ nửa đ−ờng tròn đ−ờng kính EF. 
Gọi S là điểm bất kỳ trên nửa đ−ờng tròn đó 
1) Chứng minh (SEF) (SAD) ; (SEF) (SBC) ; (SAD) (SBC)⊥ ⊥ ⊥ 
2) Gọi H’, K’ lần l−ợt là hình chiếu của các trực tâm H, K của các tam giác SAD và SBC xuống (P). 
Chứng minh HH’.KK’ không phụ thuộc vào vị trí của điểm S 
Bài 6: Cho hình lập ph−ơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh a 
1) Tính góc tạo bởi hai đ−ờng thẳng AC’ và A’B 
2) Gọi M, N, P lần l−ợt là trung điểm của các cạnh A’B’, BC và DD’. Cmr: ' ( )AC MNP⊥ 
Bài 7: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’có tất cả các cạnh bằng a.Gọi 1C là trung điểm của 
CC’ 
1) Tính góc giữa hai đ−ờng thẳng 1BC và A’B’. Tính góc giữa hai mặt phẳng 1( )BC A và ( )ABC 
2) Chứng minh hình chóp 1. ' 'C ABB A là hình chóp tứ giác đều 
3) Một mặt phẳng (P) chứa cạnh AB tạo với mặt đáy (ABC) góc ϕ và cắt hình lăng trụ đã cho theo 
hình có diện tích khác 0. Tính diện tích thiết diện đó theo a và ϕ 
Bài 8: Trên các cạnh Ox, Oy, Oz của tam diện vuông Oxyz lấy các điểm A, B, C sao cho OA = a, OB = 
b, OC = c. Gọi H, G lần l−ợt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. 
1) Chứng minh tam giác ABC nhọn 
2) Tính OH, OG và diện tích tam giác ABC theo a, b, c 
3) Chứng minh 
2 2 2 2
ABC OAB OBC OCAS =S +S +S 
4) Gọi α ; β ; γ là góc tạo bởi OH với OA, OB, OC. Chứng minh :