Bài tập về Xét tính liên tục của hàm số

XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại một điểm xo
B1: Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Xét sự tồn tại của f(xo)
B3: Xét sự tồn tại của 
B4: So sánhvà f(xo)
Nếu hàm số có dạng thì tìm 
Nếu hàm số liên tục tại xo.
Nếu hàm số gián đoạn tại xo.
Nếu hàm số có dạng thì tìm 
VD: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a) tại x = 4 b) tại x = 0
c) tại x= 1
Giải
Tập xác định: D=R
 Ta có: f(4) = 8
limx→4fx=limx→4x2-16x-4=limx→4 x-4x+4x-4=limx→4 x+4=8
Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 4.
Tập xác định: D=R\0
Ta có hàm số fx không xác định tại x = 0 nên không tồn tại f0
Vậy hàm số fx không liên tục tại x= 0.
Tập xác định: D=R
 Ta có: f1 = 1 (1)
limx→1+fx=limx→1+x2+4x-4=1
limx→1-fx=limx→1- x2=1
⇒limx→1+fx=limx→1-fx=1
⇒limx→1fx=1 (2)
 Từ (1) và (2) ta có 
 Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 1.
Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên một khoảng (một đoạn)
Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x0 Î (a; b) Þ f(x) liên tục trên (a; b)
Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x0 Î (a; b) và Þ f(x) liên tục trên [a; b]
VD : Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
Giải. Tập xác định: D=R
Với x >3: f(x) =là hàm phân thức hữu tỉ nên có tập xác định là R\3 do đó hàm số
 f(x) =liên tục trên R\3 Þ f(x) liên tục trên (3; +¥) 	(1)
Với x < 3: f(x) = 2x+1 là hàm số đa thức nên có tập xác định là R do đó hàm số f(x)= 2x+1 liên tục trên R 
Þ f(x) liên tục trên (-;3) .
Với x = 3: 
 * 
 * 
 Vì nên hàm số đã cho không có giới hạn hữu hạn khi x3. 
 Do đó nó không liên tục tại x = 3.
Vấn đề 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM.
Phương pháp: Dùng định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm.
VD1:Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục tại x= -1: 
Giải.Tập xác định: D=R 
Ta có: f-1=m 
 Hàm số trên liên tục tại x = -1
VD2: Định a để hàm số liên tục: trên R
Giải
Tập xác định: D=R
Với x >2: fx=5-ax2 là hàm đa thức nên có tập xác định là R do đó hàm số fx=5-ax2 liên tục trên RÞ f(x) liên tục trên (2; +¥) 	(1)
Với x < 2: f(x) = x+1 là hàm số đa thức nên có tập xác định là R do đó hàm số f(x) = x+1 liên tục trên R 
Þ f(x) liên tục trên (-;2) (2)
Với x =2: f(2) = 3
Từ (1) và (2) Þ Hàm số f(x) liên tục trên R\{2}Þ (f(x) liên tục trên R Û f(x) liên tục tại x = 2
Vậy a = thì f(x) liên tục trên R.
Vấn đề 4: Chứng minh phương trình có nghiệm trên đoạn [a; b]
B1: Biến đổi để vế phải là số 0. Đặt f(x) là vế trái.
B2: Tìm tập xác định của f(x). Chứng tỏ f(x) là hàm số liên tục trên [a; b].
B3: Tìm 2 số c, d thuộc [a; b] (c < d) sao cho f(c).f(d)<0.
Þ có xo Î (c; d): f(xo) = 0.
Kết luận phương trình có nghiệm thuộc [a; b].
Chú ý: Muốn chứng minh f(x) = 0 có 2, 3, … nghiệm trên [a; b] thì cần tìm 2, 3, …khoảng rời nhau mà trên mỗi khoảng f(x) = 0 đều có nghiệm. 
Để chứng minh phương trình có nghiệm, cần tìm hai số a và b sao cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] 
và f(a).f(b)<0.
Nếu phương trình chứa tham số,thì chọn a và b sao cho:
+ Các giá trị f(a),f(b) không chứa tham số,hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi.
 + Hoặc cả f(a) và f(b) đều chứa tham số nhưng tích f(a).f(b)<0.
Để chứng minh phương trình có ít nhất k nghiệm, cần tìm được k cặp số ai và bi sao cho các khoảng (ai;bi) rời nhau, f(ai).f(bi)<0 và hàm số y = f(x) liên tục trên tất cả các đoạn [ai;bi].
VD1: Chứng tỏ phương trình
a) 3x4 + 4x3 – x2 + 2x – 1 = 3x +4 có nghiệm thuộc (-1; 3)
b) x4 – x2 + 4x = 2x2 + 6 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2)
Giải
Ta có: 3x4 + 4x3 – x2 + 2x – 1 = 3x +4 Û 3x4 + 4x3 – x2 – x – 2 = 0
Đặt f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 – x – 2
TXĐ: D=R
Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R Þ f(x) liên tục trên [-1; 3]
Ta lại có: f(0) = 2 ; f(1) = 3
Þ f(0).f(1) = - 6 < 0
Þ f(x) có nghiệm xo Î (0; 1).
Vậy phương trình có nghiệm thuộc (-1;3)
Ta có: x4 – x2 + 4x = 2x2 + 6 Û x4 – 3x2 + 4x – 6 = 0
Đặt f(x) = x4 – 3x2 + 4x – 6
 TXĐ: D=R
Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R Þ f(x) liên tục trên [1; 2]
Ta lại có: f(1) = - 4 ; f(2) = 6
Þ f(1).f(2) =- 24 < 0
Þ f(x) có nghiệm xo Î (1; 2).
Vậy phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1; 2)
VD2: Chứng minh rằng phương trình 2x3 – 3x2 – 3x + 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2)
Giải: Đặt f(x) = 2x3 – 3x2 – 3x + 2 
 TXĐ: D=R
Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên RÞ f(x) liên tục trên các đoạn [-2;0], [0;1], [1; 2].
Ta lại có: f(- 2) = - 19; f(0) = 3; f(1) = - 1; f(2) = 1
nên f(-2).f(0) = -57 < 0 Þ f(x) có nghiệm x1 Î (-2; 0)
 f(0).f(1) = -3 < 0 Þ f(x) có nghiệm x2 Î (0; 1)
 f(1).f(2) = -1 < 0 Þ f(x) có nghiệm x3 Î (1; 2)
Vậy phương trình 2x3 – 3x2 – 3x + 2= 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2).
VD3: CMR phương trình: 2x3- 5x2 +x +1=0 có ít nhất hai nghiệm.
Giải: Xét hàm số f(x)= 2x3-5x2+x+1.
TXĐ: D=R
Ta có f(x) liên tục trên R,suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [0;1] và [1;3]. 
Ta lại có: f(0)=1; f(1)= -1; f(3)=13.
Do đó f(0).f(1)<0 Þ f(x) có nghiệm x1 Î 0; 1)
 f(1).f(3)<0 Þ f(x) có nghiệm x2 Î (1; 3) 
Vậy phương trình: 2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.
VD4. Chứng minh phương trình sau có nghiệm: (m2- 4)(x-1)6+ 5x2 -7x+1=0
 Giải. Xét hàm số f(x)=(m2-4)(x-1)6+5x2-7x+1. 
Ta có f(x) liên tục trên R, suy ra f(x) liên tục trên [1;2]. 
 Ta có f(1)= -1; f(2) = m2+3.
 Do đó f(1).f(2)<0 
 Vậy phương trình (m2-4)(x-1)6+5x2-7x+1= 0 có một nghiệm thuộc khoảng (1;2), nghĩa là có nghiệm.
BÀI TẬP
Bài 1. Phải chọn A bằng bao nhiêu để hàm số sau liên tục trên R. 
Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó.
Bài 3.Chứng minh rằng phương trình:
2x5 +3x4 +3x2 -1= 0 có ít nhất 3 nghiệm. c) 2x3 +3x2 +10x +200= 0 luôn có nghiệm.
4x4 +2x2 –x -28= 0 luôn có nghiệm
Bài 4	:Cho hàm số . Tìm a để hàm số liên tục tại .
Bài 5: Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = –1	
Bài 6: Cho hàm số f(x) = . Xác định m để hàm số liên tục trên R..
Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số sau tại : 
Bài 8: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
1, tại x = -2	 2, f(x) = tại x = 3
Bài 9: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
a) 	b) 
Bài 10: Tìm điều kiện của số thực a sao cho hàm số sau liên tục tại x0. với x0 = 2
Bài 11:a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 
b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: 
c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
d) Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm . 
e) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.