Bài tập về quan hệ vuông góc trong không gian

Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
	c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, , SO ^ (ABCD), 
 	. Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE.
	a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC).
	b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC).
	c) Gọi () là mặt phẳng qua AD và vuông góc (SBC). Xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (). Tính góc giữa () và (ABCD).
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH.
	1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
	2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).
 	3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông cân tại C. AC = a, SA = x.
	a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC).
	b) Chứng minh . Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
	c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB).
	d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC
Bài 6: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).
	a) Chứng minh:	BC ^ (SAB).
	b) Giả sử SA = và AB = a, tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).
	c) Gọi AM là đường cao của DSAB, N là điểm thuộc cạnh SC. Chứng minh: (AMN) ^ (SBC).
Bài 7: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a, , . 
 	1) Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
 	2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC.
	3) Tính góc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD).
Bài 8: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = SB = SC = SD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SO. Kẻ OP vuông góc với SA.
 	a) CMR: SO ^ (ABCD), SA ^ (PBD).
 	b) CMR: MN ^ AD.
 	c) Tính góc giữa SA và mp (ABCD).
 	d) CMR: 3 vec tơ đồng phẳng. 
Bài 9: (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B, ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a. Gọi I là trung điểm của BC.
	a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng AI ^ (MBC).
	b) (1,0 điểm) Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC).
	c) (1,0 điểm) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAI).
Bài 10: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ^ (ABCD).
	a) Chứng minh BD ^ SC.
	b) Chứng minh (SAB) ^ (SBC).
	c) Cho SA = . Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
Bài 11: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC.
	a) Chứng minh AC ^ SD.
	b) Chứng minh MN ^ (SBD).
	c) Cho AB = SA = a. Tính cosin của góc giữa (SBC) và (ABCD).
Bài 12: (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ACD.
	a) Chứng minh:	CD ^ BH.
	b) Gọi K là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABH. Chứng minh AK ^ (BCD).
	c) Cho AB = AC = AD = a. Tính cosin của góc giữa (BCD) và (ACD).
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = .
	1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
	2) Chứng minh rằng: (SAC) (SBD) .
	3) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
	4) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) .
Bài 15. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a, I là trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: (OAI) (ABC).
	2) Chứng minh rằng: BC (AOI).
	3) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI). 
	4) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB .
Bài 16. Cho hình chóp S.ABC có DABC vuông tại A, góc = 600 , AB = a; hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = a. Hạ BH ^ SA (H Î SA); BK ^ SC (K Î SC).
	1) Chứng minh: SB ^ (ABC)
	2) Chứng minh: mp(BHK) ^ SC.
	3) Chứng minh: DBHK vuông .
	4) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK).
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA = 2a.
	1) Chứng minh ; 
	2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).
	3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))
Bài 18. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, và SA = SB = SD = a.
	a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD).
	b) Chứng minh tam giác SAC vuông.
	c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).
Bài 19. Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC= , I là trung điểm cạnh AC, AM là đường cao của DSAB. Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho IS = a.
	a) Chứng minh AC ^ SB, SB ^ (AMC).
	b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC).
	c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC). 
Bài 20. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi O là tâm của đáy ABCD.
	a) Chứng minh rằng (SAC) ^ (SBD), (SBD) ^ (ABCD).
	b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC).
	c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC.
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, , đường cao SO = a. 
	a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC. Chứng minh rằng: BC (SOK)
	b) Tính góc giữa SK và mp(ABCD). 
	c) Tính khoảng cách giữa AD và SB.
Bài 21. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA (ABC), SA= a. M là một điểm trên cạnh AB, , hạ SH CM.
	 a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên đoạn AB.
	 b) Hạ AK ^ SH. Tính SK và AH theo a và .
Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; SA = SB = SC = SD = . Gọi I và J lần lượt là trung điểm BC và AD.
	a) Chứng minh rằng: SO (ABCD).
	b) Chứng minh rằng: (SIJ) (ABCD). Xác định góc giữa (SIJ) và (SBC).
	c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
Bài 23. Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH.
	1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
	2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).
 	3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = . Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD). Thiết diên cắt bởi (P) và hình chóp là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó.
Bài 25. Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, .
	a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.
	b) Chứng minh OA vuông góc BC.
	c) Gọi I, J là trung điểm OA và BC. Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung OA và BC.
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ (ABCD) và ABCD là hình thang vuông tại A, B . AB = BC = a, .
	a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
	b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD).
	c) Tính khoảng cách giữa AD và SC.
Bài 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, và .
	1) Chứng minh : .
	2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
	3) Tính góc giữa SC và (ABCD)
Bài 28. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD¢ và B¢C.
Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông góc với (ABCD). Gọi I, K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD.
	a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông.
	b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK).
	c) Tính góc giữa SC và (SAB).
	d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
Bài 30. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy.
	a) Chứng minh tam giác SBC vuông.
	b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh (SAC) ^ (SBH).
	c) Cho AB = a, BC = 2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
Bài 31. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA ^ (ABC), SA = .
	a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BC ^ (SAM).
	b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC).
	c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 32. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, đường cao SO = . Gọi I là trung điểm của SO.
	a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).
	b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD).
	c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.
Bài 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA ^ (ABCD), . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.
	a) Chứng minh rằng MN // BD và SC ^ (AMN). 
	b) Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc.
	c) Tính góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD).
Bài 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Cạnh SA = a và SA(ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD. 
	a) Chứng minh BC (SAB), CD (SAD).
	b) Chứng minh (AEF) (SAC).
	c) Tính tan j với j là góc giữa cạnh SC với (ABCD).
Bài 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = , SD= và SA (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
	a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
	b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
	c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND).
Bài 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = .
	a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
	b) Chứng minh rằng: (SAC) (SBD) .
	3) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
Bài 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD).
	a) Chứng minh: (SAB) ^ (SBC).
	b) Chứng minh: BD ^ (SAC).
	c) Cho SA = . Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
Bài 38. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh bằng a, nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của AB.
	a) Chứng minh tam giác SAD vuông.
	b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC.
	c) Gọi F là trung điểm của AD. Chứng minh (SID) ^ (SFC). Tính khoảng cách từ I đến (SFC).
Bài 39. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có AB = BC = a, AC = .
	a) Chứng minh rằng: BC ^ AB¢.
	b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh (BC¢M) ^ (ACC¢A¢).
	c) Tính khoản