Bài tập về Phương pháp tọa độ trong không gian - Đỗ Trung Kiên

0; 2) và D(1; -2; 3) 
Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
(d) qua M(-1; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng(P): 2x – y + 3z + 1 = 0
(d) qua N(0; 2; 3 ) và vuông góc với mặt phẳng(Q): x + y - z = 0
Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) qua K(-2; -1; 3) và song song đường thẳng 
b) (d) qua K(0; 3; -2) và song song đường thẳng
Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng :
(P): x + 2y – 2z + 1= 0 và (Q): x – y + z – 4 = 0
(P): 3x - y – z + 2 = 0 và (Q): x + 2z + 1 = 0
Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2; -1; 3) và vuông góc với hai đường thẳng: và 
(TN năm 2007) Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y – 2z – 4 = 0.Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua M và vuông góc với (P). Tìm toạ độ giao điểm của d và mp(P)
 (TN năm 2008)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P) : 2x – 2y + z – 1 = 0. Viết phương trình của đường thẳng đi qua A và vuông góc với mp(P)
(TN năm 2009) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x +2y + 2z + 18 = 0. Viết phương trình tham số của d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)
(ĐH- Khối A- 2005)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: và mp(P): 2x + y – 2z + 9 = 0. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mp (P) bằng 2.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
	Cho qua M(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương 
 ’ qua M’(x’0; y’0; z’0) và có vectơ chỉ phương 
	có PTTS là:
	*) Nếu thấy thì lấy tọa độ điểmthế vào phương trình đường thẳng ’. Xảy ra 2 khả năng:
	TH1: thì hai đường thẳng trên trùng nhau
	TH2: thì 2 đường thẳng trên song song
	*) Nếu thấy thì giải hệ phương trình gồm hai phương trình của 2 đường thẳng
	TH3: hệ có duy nhất nghiệm thì hai đường thẳng trên cắt nhau
	TH4: hệ vô nghiệm thì hai đường thẳng trên chéo nhau
	*) Nếu aa’+ bb’ + cc’ = 0 thì hai đường thẳng trên vuông góc.
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 
Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình: 
Tìm tọa độ giao điểm của d và d’
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng đó.
Cho 2 đường thẳng 
Chứng minh d và d’ chéo nhau
Viết phương trình mặt phẳng(P) chứa d và song song d’. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d’ và song song d. Từ đó suy ra vị trí tương đối giữa (P) và (Q).
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GI ỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẰNG
Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d:
Xét hệ phương trình 
Thay (1), (2), (3) vào (4), ta có phương trình : A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = 0 (*)
TH1: (*) vô nghiệm thì d và (P) không có giao điểm hay d và (P) song song
TH2: (*) có 1 nghiệm t duy nhất thì d và (P0 có 1 giao điểm hay d và (P) cắt nhau tại 1 điểm 
TH3: (*) có vô số nghiệm thì d và (P) có vô số giao điểm hay d nằm trong mặt phẳng (P)
Chú ý: 
Trong trường hợp d // (P) hoặc thì VTCP của d và VTPT của (P) vuông góc
Khi d // (P) thì khoảng cách giữa d và (P) chính là khoảng cách từ một điểm trên d đến mặt phẳng (P)
 Tìm số giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P):
a) 	b) 
c) 	d) 
CÁC DẠNG TOÁN VỀ MẶT CẦU:
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
+ (1)	+ Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
+ Tâm I là trung điểm AB	+ Bán kính 
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mpa 
	Mc
Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
	Cách 1 : Ptr mc có dạng 
	 A,B,C,D Î mc(S) hệ pt, giải tìm a, b, c, d
	Cách 2: I là tâm mặt cầu Giải hệ pt tìm I, bán kính R= IA
Dạng 5: Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I ϵ (α) 
 Mc(S) có ptr: (2)
A,B,C Î mc(S): thế tọa độ các điểm A, B, C vào (2). Thế toạ độ tâm m/c I(a, b, c) vào pt (α)
 Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d 
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A( mặt tiếp diện) 
Tiếp diện (a) của mc(S) tại A : a qua A,
Dạng 7: Tìm tiếp điểm H của mặt phẳng và mặt cầu : (là hình chiếu của tâm I trên mpa)
+ Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mpa : ta có 
+ Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (a)
 Dạng 8: Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn giao tuyến giữa m/c S(I ;R) và mp(a):
+ bán kính 
+ Tìm tâm H ( là h chiếu của tâm I trên mp(a))
*Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mpa : ta có 
*Tọa độ H là nghiệm của hpt : 
CÁC DẠNG TOÁN VỀ MẶT PHẲNG:
	Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :Qua A ( B hoặc C). vtpt 
A
Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
B
Dạng 3: Mặt phẳng a qua M và ^ d (hoặc AB)
Dạng 4: Mp (a) qua M và // b: Ax + By + Cz + D = 0 
	Dạng 5: Mp (a) chứa (d) và song song (d/): (Trong đó (d) và (d/) chéo nhau)
	+Tìm 1 điểm M trên (d)	+ Mp(a) chứa (d) nên (µ) đi qua M và có 1 VTPT 
	Dạng 6 Mp(a) qua M,N và ^(b) : mp qua M ( hay N), vtpt 
 	Dạng 7: Mp(a) chứa (d) và đi qua A:
	+ Tìm .	+ ) đi qua A, vtpt .
Dạng 8: Lập pt mp(P) chứa hai đường thẳng (d) và (d/) cắt nhau :
Đt(d) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) và có VTCP .
Đt(d/) có VTCP 
Ta có là VTPT của mp(P).
Lập pt mp(P) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) và nhận làm VTPT.
Dạng 9: Lập pt mp(P) chứa đt(d) và vuông góc mp(Q) :
Đt(d) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) và có VTCP .
Mp(Q) có VTPT 
Ta có là VTPT của mp(P).
Lập pt mp(P) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) và nhận làm VTPT.
 Dạng 10: Phương trình mp (P) chứa 2 đường thẳng song song d1 và d2
	B1: Lấy A d1 ; B d2 ; tìm 	B2: Ptmp (P): 
 Dạng 11: Viết phương trình mp ( P ) đi qua điểm M và song song với 2 đường thẳng chéo nhau d1, d2
 	Ptmp ( P) : 
 Dạng 12: (a) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (b), (g):
	– Xác định các VTPT của (b) và (g).
	– Một VTPT của (a) là: .
VÍ DỤ ÁP DỤNG: Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (b), (g) cho trước, với: 
	a) 	
	b) 
	c) 
	d) 
CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG:
Dạng 1: Đường thẳng (d) đi qua A,B : (d) qua A ( hay B) và vtcp 
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (D): ( d) qua A và 
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp(a): (d) qua A và 
Dạng 4: Tìm tọa độ H là hình chiếu của M trên mp(a)
Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp(a) : ta có 
Tọa độ H là nghiệm của hpt : 
Dạng 5: PT d’ hình chiếu của d lên a : 
+Trường hợp d cắt tại điểm A:
	- Tìm giao điểm A của (a) và (P).
	- Tìm B Î(a) 
	- Viết phương trình của đường thẳng qua B và vuông góc (P).
	- Tìm giao điểm B’ của (d) và (P).
	- Viết phương trình của đường thẳng AB’
+ Trường hợp d // :
Tìm điểm M’ là hình chiếu của M lên mp
d’ đi qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương 
+ Cách khác: d là hình chiếu của đường thẳng D lên mặt phẳng (P):
	· Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa D và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách:
	– Lấy M Î D.
	– Vì (Q) chứa D và vuông góc với (P) nên .
	Khi đó d = (P) Ç (Q).
VÍ DỤ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (a):’Viết phương trình hình chiếu vuông góc (a’) của (a) lên:
a) mpOxy	b) mp(P):2x-3y+z-2=0
GIẢI:
là hình chiếu của B lên mpOxy
b)Gọi A là giao điểm của (a) và mp(P).Tọa độ của A là :
B(1;-1;0)Î(a) .Gọi (d) là đường thẳng qua B và vuông góc với (P) =>(d):x=1+2t ; y=-1-3t ; z = t;
B’ là giao điểm của (d) và (P)=>tọa độ của B’ là nghiệm của hệ :
(a’) là đường thẳng qua A;B’=>
BÀI TẬP:
Viết phương trình của đường thẳng (a’) là hình chiếu của (a) lên mp(P)
1)(a):	 (P):3x+5y-z-2 = 0 DS:x=8t ; y = -7t ; z =-2-11t
2)(a):x =1+2t ; y ==2+3t ; z = 3+t (P)ºmp(Oyz) DS: (a’) :x = 0;y = =2+3t ; z = 3+t
3)(a): x ==2+t ; y = 7-9t ; z =-2 –t (P):2x – 3y +z – 1 = 0DSLa’):x = 2+t ;y = 1+t ; z = t
4)(a):x= 2t ; y = 1+2t ; z =-2+t (P):2x –y +z+4=0 DS: x=2t ; y = -6 +5t ; z= -2+t
Dạng 6 : Tìm điểm M / đối xứng với điểm M qua mp(P) :
Lập pt đt (d) đi qua điểm M và vuông góc mp(P).
Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P) .
A/ đối xứng với A qua (P) Û H là trung điểm của MM/ nên : 
Dạng 7: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d1),(d2):	
Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2
	B1: Gọi A là giao điểm của đường thẳng d và d1 toạ độ điểm A ( theo t) 
	 Gọi B là giao điểm của đường thẳng d và d2 toạ độ điểm B ( theo t’) 
	B2 : Do A (P) t A( ; ; )
	 Do B (P) t’ B ( ; ; )
	B3: Phương trình đường thẳng d : 
VÍ DỤ:
Trong không gian Oxyz cho mp(P):y+2z = 0 và 2 đường thẳng (d): x=1+2t ; y = t ; z= 4t và (d’): x= 2-t’ ; y = 4+2t’ ; z= 1.Viết phương trình (a) nằm trong (P) và cắt cả 2 đường thẳng (d) và (d’).
GIẢI:
BÀI TẬP:
Viết phương trình của đường thẳng (a) năm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng (d) ; và (d’)
a)(P):6x+3y-13z+39 = 0 (d):x=1+t ;y=5+2t ;z =1-t (d’):x = 2; y= -3+t’ ; z= 5+2t’
b) (P):2x – 3y +6z -11 = 0 (d):x= 1+2t ; y = -1 +t ;z = 1 (d’):x=4 ;y= -5 +t’ ;z= -2 + 2t’;
c)(P):5x – 4y +2z = 0 (d):x = 2t ; y= 1+t ;z= 2 -2t (d’) : x= 2+t’ ;y = 3 – 3t’ ; z= 1;
d)(P):x – 9y +2z +11 = 0 (d): x= 6+t ; y= -7 -9t ;z = 3+2t (d’): 
Dạng 9 : CM sự song song:
 a/ Cm đt(d) // đt(d/) :
đt(d) đi qua điểm M1(x1 , y1 , z1) và có VTCP 
đt(d/) đi qua điểm M2( x2 , y2 , z2) và có VTCP .
Ta tính .
đt(d) // đt(d/) .
 b/ Cm đt(d) // mp(P) :
đt(d) đi qua điểm M1(x1 , y1 , z1) và có VTCP 
mp(P) : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT .
đt(d) // mp(P) 
Dạng 10: Viết phương trình giao tuyến (c) của 2 mp cắt nhau:
(P): A1x +B1y +C1z+D = 0 (Q): A2x +B2y +C2 z+D = 0
Phương pháp :
· Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.
	– Tìm toạ độ một điểm A Î d: bằng cách giải hệ phương trình (với việc chọn giá trị cho một ẩn)
	– Tìm một VTCP của d: 
· Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
VÍ DỤ: Trong không gian Oxy z cho 2 mp(P):2x–y+z+2 = 0 và mp(Q):x+y+2z–1 = 0 .Viết phương trình của giao tuyến (c) của (P) và (Q) .
GIẢI
 là vec tơ pháp tuyến của (P) là vec tơ pháp tuyến của (Q)
.
BÀI TẬP:
1. Viết phương trình đường thẳng (c) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) sau:
a)(P):2x–y+3z +1 = 0 (Q)x-y+z+5=0 	ĐS:x=4 -2t ; y=9-t z = t 
b)(P): x–3y +z = 0 	 (Q):x+y-z +4 = 0 	ĐS:x