Bài tập về Phương pháp tọa độ trong không gian - Đinh Văn Thắng

 1 2 3 2 11
6
a b c
u a u b u c
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
, , .
      

   
c) 
2 3 1 1 2 1 2 4 3
3 4 2
a b c
a u b u c u
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
. , . , .
      

  
 d) 
5 3 2 1 4 3 3 2 4
16 9 4
a b c
a u b u c u
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
. , . , .
      

   
e) 
7 2 3 4 3 5 11 1
5 7
a b c
a u b u c u
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
. , . ,
     

    
Bài 9. Cho hai vectơ a b, . Tìm m để: 
a) 
2 1 2 0 2 2
2 3
a b
u a mb và v ma b vuông góc
( ; ; ), ( ; ; )    

   
 b)
3 2 1 2 1 1
3 3 2
a b
u ma b và v a mb vuông góc
( ; ; ), ( ; ; )    

   
c) 
3 2 1 2 1 1
3 3 2
a b
u ma b và v a mb cùng phương
( ; ; ), ( ; ; )    

   
PP Toạ độ trong không gian Đinh Văn Thắng 
Trang 30 
Bài 10. Cho hai vectơ a b, . Tính X, Y khi biết: 
a) 
4 6a b
X a b
,  

 
 b) 
2 1 2 6 4a b a b
Y a b
( ; ; ), ,      

 
c) 
  04 6 120a b a b
X a b Y a b
, , ,
,
   

   
 d) 
  02 1 2 6 60a b a b
X a b Y a b
( ; ; ), , ,
,
     

   
Bài 11. Cho ba vectơ a b c, , . Tìm m, n để  c a b, : 
a)      3 1 2 1 2 5 1 7a b m c; ; , ; ; , ; ;     
b)      6 2 5 3 6 33 10a m b n c; ; , ; ; , ; ;     
c)      2 3 1 5 6 4 1a b c m n; ; , ; ; , ; ;   
Bài 12. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a b c, , trong mỗi trường hợp sau đây: 
a)      1 11 0 1 2 4 2 3a b c; ; , ; ; , ; ;    b)      4 3 4 2 1 2 1 2 1a b c; ; , ; ; , ; ;    
c)      3 1 2 111 2 2 1a b c; ; , ; ; , ; ;      d)      4 2 5 3 1 3 2 0 1a b c; ; , ; ; , ; ;   
e) 2 3 1 1 2 0 3 2 4a b c( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )     f) 5 4 8 2 3 0 1 7 7a b c( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )      
g) 2 4 3 1 2 2 3 2 1a b c( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )      h) 2 4 3 1 3 2 3 2 1a b c( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )       
Bài 13. Tìm m để 3 vectơ a b c, , đồng phẳng: 
a)      1 2 1 2 1 0 2 2a m b m c m; ; , ; ; , ; ;     
b) 2 11 2 1 1 2 2 2 1 2a m m b m m c m m( ; ; ); ( ; ; ), ( ; ; )        
c)      1 2 1 2 1 2 2a m m m b m m m c; ; , ; ; , ; ;       
d)      1 3 2 1 2 1 0 2 2a b m m m c m; ; , ; ; , ; ;        
Bài 14. Cho các vectơ a b c u, , , . Chứng minh ba vectơ a b c, , không đồng phẳng. Biểu diễn 
vectơ u theo các vectơ a b c, , : 
a) 
     2 1 0 1 1 2 2 2 1
3 7 7
a b c
u
; ; , ; ; , ; ;
( ; ; )
     

 
 b) 
     1 7 9 3 6 1 1 7
4 13 6
a b c 2
u
; ; , ; ; , ; ;
( ; ; )
      

  
c) 
     1 0 1 0 11 11 0
8 9 1
a b c
u
; ; , ; ; , ; ;
( ; ; )
    

 
 d) 
     1 0 2 2 3 0 0 3 4
1 6 22
a b c
u
; ; , ; ; , ; ;
( ; ; )
     

  
e) 
     2 3 1 1 2 5 2 2 6
3 1 2
a b c
u
; ; , ; ; , ; ;
( ; ; )
      


 f) 
     2 11 1 3 2 3 2 2
4 3 5
a b c
u
; ; , ; ; , ; ;
( ; ; )
       

 
Bài 15. Chứng tỏ bốn vectơ a b c d, , , đồng phẳng: 
a)      2 6 1 4 3 2 4 2 2 2 111a b c d; ; , ; ; , ; ; , ( ; ; )            
b)      2 6 1 2 1 1 4 3 2 2 11 1a b c d; ; , ; ; , ; ; , ( ; ; )        
Bài 16. Cho ba vectơ a b c, , không đồng phẳng và vectơ d . Chứng minh bộ ba vectơ sau không 
đồng phẳng: 
a) b c d ma nb, ,   (với m, n ≠ 0) b) a c d ma nb, ,   (với m, n ≠ 0) 
c) a b d ma nb pc, ,    , (với m, n, p ≠ 0) d) b c d ma nb pc, ,    , (với m, n, p ≠ 0) 
e) a c d ma nb pc, ,    , (với m, n, p ≠ 0) 
Đinh Văn Thắng PP Toạ độ trong không gian 
Trang 31 
VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. 
Diện tích – Thể tích. 
 – Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian. 
 – Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian. 
 – Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt. 
 – Tính chất hình học của các điểm đặc biệt: 
  A, B, C thẳng hàng  AB AC, cùng phương  AB k AC  0AB AC,    
  ABCD là hình bình hành  AB DC 
  Cho ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ABC 
trên BC. Ta có: 
AB
EB EC
AC
.  , 
AB
FB FC
AC
. 
  A, B, C, D không đồng phẳng  AB AC AD, , không đồng phẳng  0AB AC AD, .    
Bài 1. Cho điểm M. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M: 
  Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz  Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz 
 a) 1 2 3M( ; ; ) b) 3 1 2M( ; ; ) c) 11 3M( ; ; )  d) 1 2 1M( ; ; ) 
 e) 2 5 7M( ; ; ) f) 22 15 7M( ; ; ) g) 11 9 10M( ; ; ) h) 3 6 7M( ; ; ) 
Bài 2. Cho điểm M. Tìm tọa độ của điểm M đối xứng với điểm M: 
  Qua gốc toạ độ  Qua mp(Oxy)  Qua trục Oy 
 a) 1 2 3M( ; ; ) b) 3 1 2M( ; ; ) c) 11 3M( ; ; )  d) 1 2 1M( ; ; ) 
 e) 2 5 7M( ; ; ) f) 22 15 7M( ; ; ) g) 11 9 10M( ; ; ) h) 3 6 7M( ; ; ) 
Bài 3. Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau: 
 a) 1 3 1 0 1 2 0 0 1A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) b) 111 4 3 1 9 5 1A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )  
 c) 10 9 12 20 3 4 50 3 4A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )    d) 1 5 10 5 7 8 2 2 7A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )    
Bài 4. Cho ba điểm A, B, C. 
  Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. 
  Tìm toạ độ trọng tâm G của ABC. 
  Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. 
  Xác định toạ độ các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của 
 ABC trên BC. Tính độ dài các đoạn phân giác đó. 
  Tính số đo các góc trong ABC. 
  Tính diện tích ABC. Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của ABC. 
 a) 1 2 3 0 3 7 12 5 0A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) b) 0 13 21 11 23 17 1 0 19A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) 
 c) 3 4 7 5 3 2 1 2 3A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )    d) 4 2 3 2 1 1 3 8 7A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )  
 e) 3 1 2 1 2 1 11 3A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )    f) 4 1 4 0 7 4 3 1 2A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )  
 g)      1 0 0 0 0 1 2 11A B C; ; , ; ; , ; ; h) 1 2 6 2 5 1 1 8 4A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )  
Bài 5. Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách đều hai điểm: 
a) 3 1 0A( ; ; ) , 2 4 1B( ; ; ) b) 1 2 1 11 0 7A B( ; ; ), ( ; ; ) c) 4 1 4 0 7 4A B( ; ; ), ( ; ; ) 
d) 3 1 2 1 2 1A B( ; ; ), ( ; ; )  e) 3 4 7 5 3 2A B( ; ; ), ( ; ; )   f) 4 2 3 2 1 1A B( ; ; ), ( ; ; )  
Bài 6. Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách đều ba điểm: 
a) 111 11 0 3 1 1A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )  b) 3 2 4 0 0 7 5 3 3A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )  
c) 3 1 2 1 2 1 11 3A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )    d) 0 13 21 11 23 17 1 0 19A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) 
PP Toạ độ trong không gian Đinh Văn Thắng 
Trang 32 
e) 1 0 2 2 11 1 3 2A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )   f) 1 2 6 2 5 1 1 8 4A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )  
Bài 7. Cho hai điểm A, B. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M. 
  Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ?  Tìm tọa độ điểm M. 
a)    2 1 7 4 5 2A B; ; , ; ;  b) 4 3 2 2 11A B( ; ; ), ( ; ; )  c) 10 9 12 20 3 4A B( ; ; ), ( ; ; ) 
d) 3 1 2 1 2 1A B( ; ; ), ( ; ; )  e) 3 4 7 5 3 2A B( ; ; ), ( ; ; )   f) 4 2 3 2 1 1A B( ; ; ), ( ; ; )  
Bài 8. Cho bốn điểm A, B, C, D. 
  Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. 
  Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD. 
  Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD. 
  Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. 
  Tính diện tích tam giác BCD, từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A. 
a) 2 5 3 1 0 0 3 0 2 3 1 2A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )    b)        1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ;  
c)        11 0 0 2 1 1 0 2 111A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; d)        2 0 0 0 4 0 0 0 6 2 4 6A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; 
e) 2 3 1 4 1 2 6 3 7 5 4 8A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )   f) 5 7 2 3 1 1 9 4 4 1 5 0A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )   
g) 2 4 1 1 0 1 1 4 2 1 2 1A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )   h) 3 2 4 2 5 2 1 2 2 4 2 3A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )   
i) 3 4 8 1 2 1 5 2 6 7 4 3A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )  k) 3 2 6 2 4 4 9 9 1 0 0 1A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )    
Bài 9. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. 
  Tìm toạ độ các đỉnh còn lại. 
  Tính thể tích khối hộp. 
 a)        1 0 1 2 1 2 1 11 4 5 5A B D C; ; , ; ; , ; ; , ' ; ;  b) 2 5 3 1 0 0 3 0 2 3 1 2A B C A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )   
c) 0 2 1 1 11 0 0 0 11 0A B D A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ;), '( ; ; )  d) 0 2 2 0 1 2 111 1 2 1A B C C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )   
Bài 10. Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0). 
 a) Chứng minh SA  (SBC), SB  (SAC), SC  (SAB). 
 b) Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều. 
 c) Xác định toạ độ chân đường cao H của hình chóp. Suy ra độ dài đường cao SH. 
Bài 11. Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4). 
 a) Chứng minh SA  (SBC), SB  (SAC), SC  (SAB). 
 b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh SMNP là tứ diện đều. 
 c) Vẽ SH  (ABC). Gọi S là điểm đối xứng của H qua S. Chứng minh SABC là tứ diện đều. 
Bài 12. Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp. 
a) Phân tích các vectơ OI AG, theo các vectơ OA OC OD, , . 
b) Phân tích vectơ BI theo các vectơ FE FG FI, , . 
Bài 13. Cho hình lập phương ABCD.EFGH. 
a) Phân tích vectơ AE theo các vectơ AC AF AH, , . 
b) Phân tích vectơ AG theo các vectơ AC AF AH, , . 
Bài 14. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và