Bài tập về Hệ tọa độ trong không gian môn Hình học lớp 12

tại B và C sao cho OB = 1 + OC (B, C không trùng với gốc O).
b) Tìm phương trình mp(Q) đi qua M và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A0, B0, C0 sao cho:
9. Cho tứ diện ABCD với các đỉnh A(7; 9; 1), B(-2; -3; 2), C(1; 5; 5), D(-6; 2; 5). G là trọng tâm của tứ diện, I là điểm cách đều 4 đỉnh của tứ diện. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm B, G, I.
10. Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; -2; 1), C(-4; 1; 1), D(1; 1; -3). Gọi I là điểm cách đều 4 đỉnh của tứ diện, U, V, R lần lượt là những hình chiếu vuông góc của I lên các trục Ox, Oy, Oz. Tìm phương trình của mặt phẳng (UVR).
11. Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Xác định toạ độ hình chiếu H của O lên mặt phẳng (ABC). Tính OH.
c) Tính diện tích S của tam giác ABC.
d) Giả sử a, b, c thay đổi nhưng thoả mãn không đổi. Khi nào S đạt giác trị lớn nhất? Chứng tỏ rằng khi đó OH cũng lớn nhất.
12. Cho tứ diện ABCD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
a) Viết phương trình các mặt của tứ diện.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua CD và song song với AB.
13. Tìm phương trình của mp(P) biết phương trình pháp dạng của nó là: và A0, B0, C0 thoả mãn điều kiện: 
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng - chùm của mặt phẳng.
1. Xác định m, n, để các cặp đường thẳng sau song song với nhau:
a) 3x + my - 2z - 7 = 0; nx + 7y - 6z + 4 = 0.	b) 5x - 2y + mz - 11 = 0; 3x + ny + z - 5 = 0.
c) 2x + my + 3z - 5 = 0; nx - 6y - 6z + 2 = 0.	d) 3x - y + mz - 9 =0; 2x + ny + 2z - 3 = 0.
e) 2x + y + 3z - 5 = 0; mx - 6y - 6z - 2 = 0.	 f) (-2)x + (+1)y+z+=0; x+my+(m+)z+1=0
g) 3x - 5y + mz - 3 = 0; 2x +y - 3z + 1 = 0.	h) mx + 3y - 2z - 1 = 0; 2x - 5y -z = 0.
2. Viết phương trình mặt phẳng:
a) Qua M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x + 2y - 5z + 1 = 0
b) Qua gốc toạ độ và song song với mặt phẳng 6x - 5y + z - 7 = 0.
c) Qua M(2; -3; 1) và song song với mặt phẳng (Oyz).
d) Qua M(1; 3; -2) và vuông góc với 2 mp x - 3y + 2z + 5 = 0; 3x - 2y + 5z + 4 = 0.
e) Qua M(3; -3; 1) và vuông góc với 2 mp 3y - 2z + 11 = 0; z = 0.
f) Qua M(3; -2; -7) và song song với mặt phẳng 2x + y - 3z + 5 = 0.
g) Qua M(1; 4; -2) và song song với mp (Oxz).
h) Qua M (3; -1; -5) và vuông góc với 2 mp: 3x - 2y + 2z + 7 = 0; 5x - 4y + 3z + 1 = 0.
i) Qua A(2; -1; 1) và vuông góc với 2 mp: 2x - z + 1 = 0; y = 0.
3. Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc:
a) 2x - 7y + mz + 2; 3x + y - 2z + 15.	b) 4x - 3y - 3z = 0; mx + 2y - 7z - 1 = 0.
c) 3x - 5y + mz - 3 = 0; x + 3y + 2z + 5 = 0.	d) 7x - 2y - z = 0; mx + y - 3z - 1 = 0.
4. Cho ba mp:(P):(4 -)x- (-5)+z+= 0,(Q):2x + 3y + mz + 5 = 0,(R):
a) Định m, để (P)//(Q).	b) Định , để (P)//(R).
5. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng có phương trình sau:
a) x + 2y - z + 5 = 0; 2x + 3y - 7z - 4 = 0.	b) x - 2y + z + 3 = 0; 2x - y + 4z - 2 = 0.
c) x + y + z - 1 = 0; 2x + 2y - 2z + 3 = 0.	d) 3x - 2y -3z + 5 = 0; 9x - 6y -9z - 5 = 0.
e) x - y + 2z + 4 = 0; 10x - 10y + 20z + 40 = 0.	f) 5x + 6y - 3z + 8 = 0; -5x + 6y - 12 = 0.
g) 2x - 2y - 4z + 5 = 0; 5x - 5y - 10z + 25/2 = 0.	h) 3x - 4y + 3z + 6 = 0; 3x - 2y + 5z - 3 = 0.
6. Cho hai mặt phẳng có phương trình: 2x - my + 3z - 6 = 0; (m+3)x - 2y + (5m+1)z - 10 = 0.
Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó: a) Song song? 	b) Trùng nhau?	c) Cắt nhau?
Tương tự với hai mặt phẳng: 3x - (m-3)y + 2z - 5 = 0; (m+2)x - 2y + mz - 10 = 0.
7. Viết phương trình của mặt phẳng trong các trường hợp sau đây:
a) Đi qua điểm M(1; 2; -3) và qua giao tuyến của hai mp 2x - 3y + z - 5 = 0; 3x - 2y + 5z - 1 = 0
b) Qua giao tuyến của hai mp: 2x + 3y - 4 = 0; 2y - 3z - 5 = 0 và vuông góc mp: 2x + y - 3z - 2 = 0.
c) Đi qua trục Oz và điểm M(2; 3; -1).
d) Đi qua giao tuyến của hai mp: x - 4y +2z - 5 = 0; y + 4z- 5 = 0 và s song với mp: 2x - y+ 19 = 0.
e) Đi qua M(2; 1; -1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng sau: x - y + z - 4 = 0; 3x - y + z - 1 = 0.
f) Qua giao tuyến của hai mp: y + 2z - 4; x + y - z + 3 và vuông góc với mp: x + y + z - 2 = 0.
g) Đi qua trục Oy và điểm M(1; 1; -1).
h) Qua giao tuyến của hai mp: 3x- y+ z- 2 = 0; x + 4y - 5 = 0 và s song với hai mp: 2x - z + 7 = 0.
i) Qua M(0; 0; 1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng: 5x - 3y + 2z - 5 = 0; 2x - y - z - 1 = 0.
j) Qua M(3; 4; 1) và qua giao tuyến của hai mp: 19x - 6y - 4z + 27 = 0; 42x - 8y + 3z + 11 = 0.
k) Qua giao tuyến của 2mp: x +2y - z - 4 = 0; 2x +y +z + 5 = 0 và vuông góc với mp: x- 2y- 3z = 0.
8. Cho hình tứ diện ABCD với các đỉnh A(3; 2; 1), B(1; 3; 2), C(1; -2; 3), D(-1; 2; 2).
a) Tìm phương trình của mặt phẳng (ABC).
b) Tìm phương trình của mặt phẳng (P) qua C và có cặp vectơ chỉ phương , 
c) Với giá trị nào của thì 
d) Định để (P) song song với mặt phẳng 
9. Chứng tỏ bốn mặt phẳng sau đây là bốn mặt bên của hình hộp chữ nhật:
	7x + 4y - 4z + 30 = 0, 	36x - 51y + 12z + 17 = 0
	14x + 8y - 8z - 12 = 0, 	 12x - 17y + 4z - 3 = 0
10. Cho mặt phẳng (P) qua (-1; ; 0) có vectơ pháp tuyến và mặt phẳng (Q) qua 3 điểm (-3; 2; 1), (1; 3; -4), (3; -1; ).
a) Tìm phương trình tổng quát của (P) và (Q).
b) Định , m để (P)//(Q).
c) Tìm hệ thức giữa , m để 
III. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
1. Cho bốn điểm A(-1; -2; 4), B(-4; -2;0), C(3; -2; 1), D(1; 1; 1). Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện ABCD.
2. Cho hình hộp chữ nhật với các đỉnh A(3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và D là đỉnh đối diện với O. Xác định toạ độ đỉnh D. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABD). Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng (ABD).
3. Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng:
a) x - 2y + 3z + 1 =0 và 2x - y + 3z + 5 = 0.	b) 6x - 2y + z + 1 = 0 và 6x - 2y + z - 3 = 0.
c) 2x - y + 4z + 5 = 0 và 3x + 5y - z - 1 = 0.	d) 4x - y + 8z + 1 và 4x - y + 8z + 5 = 0.
e) 2x - y + 4z + 5 = 0 và 3x + 5y - z - 1 = 0.	f) 3x + 6y - 3z + 7 và x + 2y - z + 1 = 0.
4. a) Tìm điểm M trên trục Oz cách đều điểm (1; 2; -2) và mặt phẳng 2x + 2y + z - 5 = 0.
b) Tìm M trên trục Oy và cách đều hai mặt phẳng: x + y - z + 1 = 0 và x - y + z - 5 = 0.
c) Tìm M trên trục Oz cách đều điểm (2; 3; 4) và mặt phẳng 2x + 3y + z - 17 = 0.
d) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: 7x - 5y + 11z - 3 = 0 và 7x - 5y + 11z - 5.
e) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: 5x - 2y + 3z = 0 và 5x - 2y + 3z - 11 = 0.
f) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D’ = 0.
g)Tính khoảng cách từ các điểm M1(1; -1; 2), M2(3; 4;1), M3(-1;4; 3) đến mặt phẳng x +2y +2z -10= 0.
h) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng (P): 2x + y - z - 6 = 0.
i) Tính khoảng cách từ S(1; 3; -2) đến đi qua 3 điểm A(3; 6; -7). B(-5; 2; 3), C(4; -7; -2). Tính 
j) Tìm khoảng cách từ M(-1; 1; -2) đến mặt phẳng đi qua ba điểm 
A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2).
k) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng 2x - y + 2z + 9 = 0 và 4x - 2y + 4z - 21 = 0.
5. Cho phương trình họ mặt phẳng (Pm): 2x + y + z -1 + m(x + y + z + 1) = 0 ( m là tham số).
a) Chứng minh rằng với mọi m, mặt phẳng (Pm) luôn đi qua một đường thẳng cố định.
b) Tìm m để (Pm) vuông góc với mặt phẳng (P0)có phương trình 2x + y + z - 1 = 0. Tính 
6. Cho mặt phẳng đi qua các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c >0. 
a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng .
b) Chứng minh hệ thức: 
7. Cho mặt phẳng : 2x - 3y + z - 7 = 0 và các điểm M(0; 2; -1), N(2; 1; 8), P(-1; -3; 0).
a) Hai điểm nào cùng phía đối với .
b) Hai điểm nào khác phía đối với .
8. Xét xem các cặp điểm sau đây cùng phía hay khác phía đối với mặt phẳng .
a) M(2; 1; -3), N(2; 3; -1), mp: 2x - y - z + 4 = 0.
b) M(2; 0; 1), N(-1; 2; 0), mp qua P(1; 3; 2) và có cặp vectơ chỉ phương ; 
IV. Góc giữa hai mặt phẳng.
1. Tính cosin góc tạo bởi các vectơ sau:
a) ; 	c) ; 	
b) ; 	d) ; 	
2. Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng :
a) x - 2y - z - 3 = 0, 2x + y + 2z + 10 = 0.	b) 3y - z - 9 = 0, 2y + z = 0.
c) x + 2y + 2z - 3 = 0, 16x + 12y - 15z - 1 = 0.	d) x - y+ z - 1 = 0, x + y- z + 3 = 0.
e) 6x + 3y - 2z = 0, x + 2y + 6z - 12 = 0.	f) x + 2y + z + 4 = 0, -x +y + 2z + 3 = 0.
g), 	h) , 
g) (HIK) và (Oxy) với H(1/2; 0; 0), I(0;1/2; 0), K(1; 1;1/3).
3. a) Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng:: 3y - z - 1 = 0, 2y + mz = 0 bằng 45o.
b) Tìm phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm (0; 2; 0), (2; 0; 0) và tạo với mp(Oyz) một góc 60o.
4. Cho tứ diện ABCD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
a) Tìm cosin của góc tạo bởi các cặp vectơ: và , và .
b) Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (ABD).
5. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là các tam giác vuông đỉnh O. Gọi là góc lần lượt hợp bởi các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt phẳng (ABC). Bằng phương pháp toạ độ, chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC có ba góc nhọn.	b) .
V. Hình chiếu vuông góc - Điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng.
1. Tìm toạ độ của điểm A’ đối xứng với:
a) A(2; 3; -1) qua mặt phẳng 2x - y - z - 5 = 0.	b) A(-2; 1; 3) qua mặt phẳng 2x + y - z - 3 = 0.
c) M(2; -3; 1) qua mặt phẳng x + 3y - z + 2 = 0. d) M( 2; 4; 6) qua mặt phẳng 2x - 2y + 3z + 10 = 0.
2. Tìm hình chiếu H của:
a) M(1; -1; 2) lên mặt phẳng 2x - y + 2z + 12 = 0.	b) A( 2; 4; 6) lên mặt phẳng 2x - 2y + 3z + 10 = 0.
c) B(3; 1; 4) lên mặt phẳng 3x - 2y + 2z + 8 = 0.
VI. Đường thẳng, mặt phẳng đối xứng qua mặt phẳng.
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Tìm phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với (d) qua mặt phẳng với:
a) (d): x = t, y = 1 - t, z = 1 + 2t và : 2x + y - 2z + 5 = 0.
b) (d): 	 và : 2x + y - 3z - 5 = 0.
2. Tìm phương trình mặt phẳng (P’) đối xứng với (P) qua mặt phẳng với:
a) (P): 2x - y - z - 5 = 0 và : 2x - 3y + z - 7 = 0. b) (P): x - 2y - z - 1 = 0 và : 3x - 2y - z + 5 = 0.
VII(*). Tổng khoảng cách nhỏ nhất - Hiệu khoảng cách lớn nhất
A. Lý thuyết cần nhớ
Cho hai điểm và và mp 
1. Tìm sao cho MA + MB nhỏ nhất.
a) Nếu A và B khác phía vớithì M là giao điểm của đường thẳng AB với mp.
b) Nếu A và B cùng phía thì M là giao điểm của đường thẳng AB’ với mp, B’đối xứng B qua .
2. Tìm sao cho |NA - NB| lớn nh