Bài tập về Hệ phương trình đại số

CHUYÊN ĐỀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) I
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I. Hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát:
, trong đó 
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và .
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et đảo tìm x, y.
Chú ý:
i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP.
ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.
iii) Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình .
GIẢI
Đặt , điều kiện . Hệ phương trình trở thành:
.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình .
GIẢI
Đặt , điều kiện Hệ phương trình trở thành:
.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình .
GIẢI
Điều kiện .
Hệ phương trình tương đương với: 
Đặt ta có:
.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình .
GIẢI
Điều kiện . Đặt , ta có: 
 và .
Thế vào (1), ta được:
Suy ra:
.
II. Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và (*).
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m.
Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện u, v.
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
.
GIẢI
Điều kiện ta có:
Đặt , Hệ phương trình trở thành:
.
Từ điều kiện ta có .
Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm thực.
GIẢI
.
Đặt S = x + y, P = xy, Hệ phương trình trở thành: .
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình 
.
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm .
Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm.
GIẢI
Đặt hệ trở thành:
.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của (*).
Hệ có nghiệm (*) có 2 nghiệm không âm
 .
Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm thực.
GIẢI
.
Đặt . Hệ phương trình trở thành:
 (S = u + v, P = uv).
Điều kiện.
BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau
1. . Đáp số: .
2. . Đáp số: .
3. . Đáp số: .
4. . Đáp số: .
5. . Đáp số: .
6. . Đáp số:
.
7. . Đáp số: .
8. (chú ý điều kiện x, y > 0). Đáp số: .
9. . Đáp số: .
10. Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình . Chứng minh .
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ phương trình 
.
Do x, y, z là nghiệm của hệ nên:
.
Đổi vai trò x, y, z ta được .
11. . Đáp số: .
12. 
HƯỚNG DẪN GIẢI
Cách 1:
.
 thế vào (2) để giải.
Cách 2:
Đặt S = x + y, P = xy. Hệ trở thành:
.
Từ điều kiện ta suy ra kết quả tương tự.
Hệ có 4 nghiệm phân biệt .
Tìm điều kiện của m để các hệ phương trình thỏa yêu cầu
1. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thực duy nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành:
.
+ m = – 3: 
 (loại).
+ m = 21: 
 (nhận).
Vậy m = 21.
2. Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm thực x > 0, y > 0.
HƯỚNG DẪN GIẢI
.
Hệ có nghiệm thực dương .
Vậy .
3. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
.
Suy ra là nghiệm (không âm) của phương trình (*).
Hệ có nghiệm (*) có 2 nghiệm không âm .
Vậy .
4. Tìm m để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.
HƯỚNG DẪN GIẢI
.
Hệ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt khi .
5. Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình . Tìm m để P = xy nhỏ nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt , điều kiện 
Từ điều kiện suy ra 
Xét hàm số .
Ta có 
Vậy .