Bài tập về Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân

; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2
5.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un + 1= un + 7 " n ≥ 1
a)Tính u2, u4 và u6
b)Chứng minh rằng: un = 7n – 6 "n ≥ 1
6.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un + 1= – un2 + un + 1 " n ≥ 1
a)Tính u2, u3 và u4
b)Chứng minh rằng: un = un + 3 "n ≥ 1
7.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1= 5un " n ≥ 1
a)Tính u2, u4 và u6
b)Chứng minh rằng: un = 2.5n – 1 "n ≥ 1
8.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1= 3un + 2n – 1 " n ≥ 1
 Chứng minh rằng: un = 3n – n "n ≥ 1
9.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1= " n ≥ 1
Chứng minh rằng: (un) là một dãy không đổi
9. Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = và un + 1= 4un + 7 " n ≥ 1
a)Tính u2, u3 và u4
b)Chứng minh rằng: un = "n ≥ 1
10.Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a) un = b) un = 
c) un = n – d) un = 
 3. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
 a) un = b) un = n2 – 5 c) un = d) un = (– 1)n.n e) un = 2n 
 f) un = g) un = h) un = i) un = n + cos2n
h) un = 1 – 
 4. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau :
 a) un = b) un = c) un = d) un = 
 e) un = n dấu căn f) un = 2n + cos
 f) un = – 2 g) un = h) un = (– 1)n(2n + 1) k) un = 
l) un = 2n + m) un = 
 5.Cho dãy số (un) xác định bởi un = a là một số thực.Hãy xác định a để: a) (un) là dãy số giảm b) (un) là dãy số tăng
 5.Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
 a) un = b) un = c) un = 
 d) un = e) un = f) un = 
 g) un = n dấu căn
6. Chứng minh rằng dãy số sau tăng và bị chặn trên:
 un = + + + 
6. Chứng minh rằng dãy số sau giảm và bị chặn : un = 
 6.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức
 u1 = 0 và un +1 = un + 4
 a)Chứng minh rằng un < 8 " n
 b)Chứng minh rằng dãy (un) tăng và bị chặn
 7.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức
 u1 = 1 và un +1 = 
 a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số
 b)Chứng minh rằng (un) bị chặn dưới bởi số 1 và
 bị chặn trên bởi số 3/2
 8.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1 = và un +1= 
 Chứng minh rằng un < 3 " n
 9.Cho dãy số (un) xác định bởi un = 
 a)Tìm 5 số hạng đầu tiên
 b)Chứng minh rằng (un) bị chặn
10. Chứng minh rằng dãy số xác định bởi : u1 = ; un +1= 
tăng và bị chặn trên 
10. Chứng minh rằng:các dãy số sau
a) un = + +  + (un) là dãy tăng và bị chặn trên bởi 1
b) un = 1 + + + + tăng và bị chặn trên bởi 2
c) u1 = ;un + 1 = tăng và bị chặn trên bởi 2
d) u1 = 1;un + 1 = tăng và bị chặn trên bởi 
11.Tìm số hạng lớn nhất của dãy số (un) với un = 
Cấp số cộng
 1.Cho cấp số cộng thoả mãn a10 = 15 ; a5 = 5 .Tính a7
 2.Cho cấp số cộng thoả mãn Tính a5 ;S9
 3.Cho cấp số cộng thoả mãn Tính a10 ;S100
 4. Tìm cấp số cộng biết
 a) b)
5.Một cấp số cộng có số hạng thứ nhất là 5, số hạng cuối là 45 và tổng tất cả các số hạng là 400.Hỏi cấp số cộng có mấy số hạng,xác định cấp số cộng đó
 5. Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số cộng . Chứng minh rằng : 
 a) a2 + 2bc = c2 + 2ab
 b) 3 số a2 + ab + b2 ; a2 + ac + c2 ; b2 + bc + c2 cũng tạo 
 thành 1 cấp số cộng 
 c) a2 + 8bc = (2b + c)2
 d) 3(a2 + b2 + c2) = 6(a – b)2 + (a + b + c)2
 6. Bốn số a,b,c,d tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 10,
 tích = – 56.Tìm 4 số đó
 7. Năm số a,b,c,d,e tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 10,
 tích = 320.Tìm 5 số đó
 8. Ba số a ,b ,c lập thành một cấp số cộng có tổng = 27 và tổng bình phương của chúng là 293.Tìm 3 số đó
 8. Ba số a ,b ,c lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là 5 và tích của chúng là 1140.Tìm 3 số đó
 8. Ba số a,b,c tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 12,
 tổng nghịch đảo của chúng = .Tìm 3 số đó
9.Tìm các nghiệm của phương trình x3 – 15x2 + 71x – 105 = 0 biết rằng chúng tạo thành một cấp số cộng 
 9.Bốn số a,b,c,d tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 8,
 tổng nghịch đảo của chúng = .Tìm 3 số đó
 10.Giữa các số 7 và 35 hãy thêm vào 6 số nữa để được 1 cấp 
 số cộng 
 11.Cho các số a,b,c > 0. Chứng minh rằng :
 a)các số a2 , b2 , c2 lập thành 1 cấp số cộng 
 Û các số , , lập thành 1 cấp số cộng 
 b)các số a,b,c lập thành 1 cấp số cộng Û các số 
 , , lập thành 1 cấp số cộng 
 12.Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 3 cạnh a,b,c lập 
 thành 1 cấp số cộng Û tg. tg= 
 13. Chứng minh rằng nếu cotg, cotg , cotg tạo thành 
 1 cấp số cộng thì 3 cạnh a,b,c cũng tạo thành 1 cấp số cộng 
 theo thứ tự đó
 14.Môt đa giác có chu vi là 158cm,độ dài các cạnh lập thành 
 1 cấp số cộng với công sai d = 3.Biết cạnh lớn nhất là 44cm 
 Tính số cạnh của đa giác 
 14.Một đa giác lồi có 9 cạnh và các góc lập thành một cấp số cộng có công sai d = 3o. Tính các góc của đa giác đó
15.Tìm 4 số nguyên khác nhau,biết rằng chúng lập thành 1 
 cấp số cộng và số hạng đầu bằng tổng các bình phương 
 của 3 số còn lại 
 16.Cho cấp số cộng (un). Chứng minh rằng :
 a) + ++ = un ¹ 0 " n 
 b) + + + = 
 17.Tìm m để phương trình x4 – (3m + 5)x2 + (m+1)2 = 0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành 1 cấp số cộng 
 18.Cho 2 cấp số cộng (un) : 4,7,10,13,16,.... 
 (vn) : 1,6,11,16,21,...
Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng đó có bao nhiêu số hạng chung
19.Một xe máy xuất phát từ A với vận tốc 24km/giờ.Sau hai giờ một xe máy khác đuổi theo với vận tốc trong giờ đầu là 30km/giờ và cứ mỗi giờ sau tăng vận tốc lên 4 km so với giờ trước.Hỏi sau mấy giờ thì hai người gặp nhau và khi đó cách A bao nhiêu km 
20.Cho dãy số (un) mà tổng của n số hạng đầu tiên của nó,kí hiệu là Sn được xác định theo công thức sau: Sn = 
a)Hãy tính u1,u2,u3
b)Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (un)
c)Chứng minh rằng: (un) là một cấp số cộng ,xác định công sai
21.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un + 1 = "n ≥ 1
a)Chứng minh rằng: dãy số (vn) mà vn = un2 "n ≥ 1 là một cấp số cộng , hãy xác định cấp số cộng đó
b)Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (un)
c)Tính tổng S = u12 + u22 + u32 + + u1002 
22.Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1 và un +1 = un + n "n ≥ 1
Xét dãy số (vn) mà vn = un + 1 – un " n ≥ 1
a)Chứng minh rằng: với mọi số nguyên dương k,tổng của k số hạng đầu tiên của dãy số (vn) bằng uk + 1 – u1 
b)Chứng minh rằng: dãy số (vn) là là một cấp số cộng ,hãy xác định cấp số cộng đó
23.Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1 và un +1 = un + 2n – 1 "n ≥ 1
Xét dãy số (vn) mà vn = un + 1 – un " n ≥ 1
a)Chứng minh rằng: dãy số (vn) là là một cấp số cộng ,hãy xác định cấp số cộng đó
b)Cho số nguyên dương k,hãy tính tổng của k số hạng đầu tiên của dãy số (vn) theo k.Từ đó suy ra số hạng tổng quát của (un)
24.Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = – 2 và un +1 = "n ≥ 1
a)Chứng minh rằng: un < 0 "n Î N
b) Đặt vn = . Chứng minh rằng: (vn) là một cấp số cộng .Từ đó suy ra biểu thức của un và vn 
24.Cho hai cấp số cộng (un) và (vn) lần lượt có tổng của n số hạng đầu tiên là Sn = 7n + 1 và Sn’ = 4n + 27. Tính tỉ số 
25. Xác định cấp số cộng biết rằng tổng của n số hạng đầu tiên được tính bởi công thức Sn = 4n2 + 5n , "n Î N
26.Cho cấp số cộng (un) biết Sp = q và Sq = p. Hãy tính Sp + q 
27.Cho cấp số cộng (un) biết up = q và uq = p. Hãy tính un 
28.Cho cấp số cộng (un) biết Sn = 2n + 3n2 Tìm uq 
28.Cho cấp số cộng (un) biết Sn = n2 và Sm = m2 . Chứng minh rằng: 
 um = 2m – 1 và un = 2n – 1
29.Cho cấp số cộng (un) biết Sn = n(5n – 3). Tìm số hạng up 
Cấp số nhân
 1.Cho cấp số nhân có u2 = – 8; u5 = 64.Tính u4 ; S5
 2.Cho cấp số nhân thoả:
 a) tìm a6 ; S4 b) tìm a4 ; S5
 c) tìm a2 ; S5 d)
 3.Cho cấp số nhân (un) có 3.u2 + u5 = 0 và u32 + u62 = 63.Tính tổng 
S = |u1| + |u2| + |u3| + .+|u15| 
4.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1 = 3.un2 – 10 "n ≥ 1
Chứng minh rằng: (un) vừa là cấp số cộng ,vừa là cấp số nhân 
 3.Cho tứ giác ABCD có 4 góc tạo thành 1 cấp số nhân có 
 công bội bằng 2 . Tìm 4 góc ấy
 4.Một cấp số nhân có số hạng đầu là 9 số hạng cuối là 2187, công bội q = 3 Hỏi cấp số nhân ấy có mấy số hạng
4. Xác định cấp số nhân có công bội q = 3, số hạng cuối là 486 và tổng các số hạng là 728
 5.Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu bằng 
 31 và tổng của 5 số hạng sau bằng 62 
 6.Tìm cấp số nhân có 4 số hạng, biết rằng tổng của số hạng đầu và số 
 hạng cuối bằng 27 và tích của hai số hạng còn lại bằng 72 
 5. Trong 1 hồ sen số lá sen ngày sau bằng 3 lần số lá sen 
 ngày trước.Biết rằng nếu ngày đầu tiên có 1 lá sen thì 
 tới ngày thứ 10 thì hồ đầy lá sen
 a)Khi đầy hồ có mấy lá sen
 b)Nếu ngày đầu tiên có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy đầy hồ
 6.Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số nhân .Chứng minh rằng 
 a) (a + b + c)(a – b + c) = a2 + b2 + c2 
 a) (bc + ca + ab)3 = abc(a + b + c)3
 b) (a2 + b2)(b2 + c2) = (ab + bc)2
 c) 3 số ; ; tạo thành 1 cấp số cộng 
 d) 3 số (a + b + c); ; cũng lập thành một cấp số nhân vứi a ,b ,c > 0
 7.Tìm x để 3 số x + 1 ; x + 4 ; 5x + 2 tạo thành 1 cấp số nhân 
 8.Cho 3 số tạo thành 1 cấp số nhân .Nếu thêm 4 vào số hạng 
 thứ hai tađược 1 cấp số cộng .Nếu thêm 32 vào số hạng 
 thứ 3 ta được 1 cấp số nhân .Tìm 3 số hạng đó
 9.Tìm cấp số nhân a,b,c biết 
 a) b)
 10.Biết rằng 3 số a,b,c lập thành 1 cấp số nhân và 3 số a,2b,3c lập thành 1 cấp số cộng .Tìm công bội của cấp số nhân 
 11. Tìm cấp số nhân a,b,c biết rằng tổng a + b + c = 26,đồng 
 thời chúng lần lượt là số hạng thứ nhất,thứ ba và thứ chín 
 của một cấp số cộng khác
 12.Tìm cấp số nhân a,b,c biết rằng tổng a + b + c = 21,
 đồng thời chúng lần lượt là số hạng thứ nhất,thứ hai và thứ 
 tư của 1 cấp số cộng khác
 13.Tính các góc của 1 tam giác vuông có độ dài 3 cạnh
 lập thành 1 cấp số nhân 
 14.Cho 2 số a,b > 0.Giữa các số và hãy thêm vào 5 
 số nữa để được 1 cấp số nhân 
 15.Hãy xác định 1 cấp số nhân có 6 số hạng,biết rằng tổng 
 3 số hạmg đầu bằng 168, tổng 3 số hạng sau bằng 21
 16.Khoảng cách giữa 1 người đi xe máy và 1 người đi bộlà 1km .Vận tốc của xe máy = 10 lần vận tốc người đi bộ.Hỏi xe máy
 cần vượt 1 quãng đường dài bao nhiêu để đuổi kịp người đi bộ
 17.Tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 4.Trung điểm của 
 các cạnh tam giác ABC lập thành tam giác A1B1C1,trung điểm 
 các cạnh của A1B1C1 lập thành tam giác A2B2C2 trung điểm 
 các cạnh của A2B2C2 lập thành tam giác A3B3C3 ....Tính tổng 
 chu vi của tất cả các tam