Bài tập về Đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm

1. ĐẠO HÀM.
Bài 1: Dùng định nghĩa để tính đạo hàm các hàm số sau.
 	a. y = sin x	b. y = cos x	c. y = ln x	d. y = ex 
Bài 2: Chứng minh rằng 
 a. Nếu y = xsinx thì xy – 2(y’ – sinx) + xy’’ = 0.	b. Nếu y = ecosx thì y’sinx + ycosx + y” = 0	
 c. Nếu y = esinx thì y’cosx – ysinx – y’’= 0.	d. Nếu y = ln(sinx) thì y’ + y’’sinx + tg = 0.
Bài 3: Cho hàm số y = sin6x + cos6x.
 a. Tính đạo hàm y’.	b. Giải phương trình: 2y’ + 3 = 0.
Bài 4: Cho hàm số f(x) = cos2x.
 a) Tính đạo hàm y’.	b) Giải phương trình: f(x) – (x – 1)f’(x) = 0.
Bài 5: Cho hàm số f(x) = 2x2 + 16cosx – cos2x.
 a) Tìm f’(x) và f”(x).	b) Giải phương trình f’’(x) = 0.
Bài 6: Cho hàm số y = . Tìm x để y”’ > 0.
Bài 7: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số:
 a. y = sin(ax)	b. y = cos(ax)	c. y = ln(1+x)
2. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
I. Tính đơn điệu của hàm số.
Bài 8: (ĐHSPHP – 2001). Cho hàm số y = x3 – 3mx2 +3(m2 – 1) x + 1 – m2 với m là tham số.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0.
Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đồng biến trong khoảng : và .
Bài 9: (CĐSPKTV – 2001). Cho hàm số y = x3 – 3mx2 +3(2m – 1) x + 1 với m là tham số.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. 
Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
Xác định m để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu. Tính tọa độ điểm CĐ và CT đó.
Bài 10: (ĐHHĐ – 2001). Cho hàm số y = x3 + mx2 – x – m có đồ thi (Cm),với m là tham số.
Chứng minh rằng với mọi m, hàm số luôn đạt cực đại, cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu.
Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đồng biến trong khoảng :.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
Bài 11: (ĐHQGHN – 2000). Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m (Cm).
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
Bài 12: (ĐHHH – 2000). Cho hàm số y = x3+ (m – 1)x2 + (m+3)x – 4 , với m là tham số.
Xác định m để hàm số đồng biến trong khoảng 0 < x < 3. 
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0.
Chứng tỏ rằng đồ thị đã khảo sát nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Bài 13: (ĐHNN – 2000). Cho hàm số y = 2x3 + 3mx2 – 2m +1.
Khảo và vẽ đồ thị khi m = 1.
Tìm trên (C) điểm mà tại đó hệ số góc tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ nhất.
Với giá trị nào của m hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1;2).
Bài 14: (ĐHMBC – 1999). Cho hàm số : y = x3 – 3x2 + 3mx + 2. (Cm)
Khảo và vẽ đồ thị (C) khi m = 0.
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M thuộc (C) có hoành độ xM = 1.
Xác định m để đồ thị (Cm) của hàm số đã cho có hai điểm cực trị, gọi x1, x2 là hoành độ của hai điểm cực trị, hãy tìm m để : .
Bài 15: (). Cho hàm số , trong đó m là tham số.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
Xác định tất cả các giá trị của m sao cho hàm số (Cm) luôn nghịch biến trong các khoảng xác định của nó.
II. Cực đại và cực tiểu
Bài 16: Định m để các hàm số sau đạt cực đại và cực tiểu.
 a. 	b.
Bài 17: Xác định m để hàm số :
y = mx3 + 3x2 + 5x + 2 đạt cực đại tại x = 2.
 đạt cực đại tại x = .
Bài 18: (HVCTQG – 2001). Cho hàm số : y = (m+2).x3 + 3x2 + mx – 5 với m là tham số.
Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 0 .
Chứng minh rằng từ điểm A(1 ; -4) có thể kẻ 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Bài 19: (ĐHDHN – 2001). Cho hàm số y = x3 – 3(a – 1)x2 + 3a(a – 2) x + 1, a là tham số.
Khảo và vẽ đồ thị hàm số khi a = 0.
Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp cá giá trị của x sao cho .
Bài 20: (ĐHĐN – 2001) . Cho hàm số y = x3 – (2m+1)x2 + (m2 – 3m + 2)x + 4 .
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
Trong trường hợp tổng quát, hãy xác định tất cả các tham số m để đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía của trục tung.
Bài 21: (HVNH – 2001). Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m2x + m.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0.
Tìm tất cả các tham số m để đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đt :
Bài 22: (HVNH TPHCM – 2001). Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m+1)x2 + 6m(m+1) x + 1. (1)
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
Chứng minh rằng, với mọi m hàm số (1) luôn đạt cực trị tại x1 , x2 với x2 – x1 không phụ thuộc m.
Bài 23: (HVQHQT – 2001). Cho hàm số y = x3 – mx2 – x + m+1, với m là tham số.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0.
Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã khảo sát. Hãy tìm tt có hệ số góc nhỏ nhất.
Chứng minh rằng với mọi m, hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu. Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu nhỏ nhất.
Bài 24: (ĐHQG TPHCM – 2001). Cho hàm số y = 2x3 + 3(m – 3)x2 + 11 – 3m.
Cho m = 2. Tìm các phương trình đường thẳng qua A() và tiếp xúc với (C2) của hàm số.
Tìm m để hàm số có cực trị, gọi M1 , M2 là các điểm cực trị. Tìm m để các điểm M1 , M2 và 
 B(0 ; -1) thẳng hàng.
Bài 25: (ĐHĐL – 2001). Cho hàm số có đồ thị (Cm).
Xác định m sao cho hàm số có hai cực trị trong miền x > 0.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 1.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với đt y = -x.
Bài 26: (HVQY – 2001). Cho hàm số .
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
Chứng minh rằng tại một điểm của đồ thị (C) tiếp tuyến luôn cắt hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.
III. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 
Bài 27: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
 a. y = x3 – 6x2 + 9x , 	b. y = 1 + 4x – x2 , 
 c. y = 3x + 	d. y = 
 e. y = 2x + 	e. y = sin2x – x , với 
 f. y = cosx(1 + sinx), với 
Bài 28: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.
 a. y = 1 + 8x – 2x2 b. y = 4x3 – 3x4 c.
IV. Lồi lõm và điểm uốn.
Bài 29: Xác định a, b để I(1;-2) là điểm uốn của đồ thị hàm số: y = ax3 + bx2.
Bài 30: Xác định a, b để I(1;-2) là điểm uốn của đồ thị hàm số: y = ax3 + bx2 + x + 1.
Bài 31: Cho hàm số : y = x3 – 3(m – 1)x2 + 3x – 5 
Tìm m để hàm số lồi trên khoảng (-5;2).
Định m để đồ thị có điểm uốn với hoành độ xo > m2 – 2m – 5.