Bài tập về Đạo hàm 11

ẬP. 
1) Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 
a) 5 34 2 3y x x x    ; b) 2 41 1 0,5
4 3
y x x x    c) 
4 3 22 4 1
2 3 5
x x xy     ; 
d)  5 23 8 3y x x  ; e) 6 4 24 3 4 1x x x x    ; f) 41 3 5 20
4
y x x
x
    . 
 Hướng dẫn: 
a) 4 25 12 2y x x    ; b) 3 12 2
3
y x x     ; c) 3 2 82 2
5
y x x x    ; 
d) 6 463 120y x x    ; e) 5 3 26 16 6
2
y x x x     ; f) 3 2
3 5y x
x
    . 
2) Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 
a)  37 25y x x  b) 2 2( 1)(5 3 )y x x   ; c) 2
2
1
xy
x


; 
d) 2
3 5
1
xy
x x


 
; e) 
3
2
ny m
x
   
 
; f) 
2
2
11
2
y
x
   
 
; 
g) ax by
cx d



; h) 
2ax bx cy
px q
 


; i) 
2
2
ax bx cy
a x b x c
 

   
. 
 Hướng dẫn: 
a) 7 2 2 6 5 5 53( 5 ) (7 10 ) 3 ( 5)(7 10)y x x x x x x x       ; 
b) 2 2 22 (5 3 ) ( 1)6 4 (3 1)y x x x x x x        ; c) 
2 2 2
2 2 2 2
2( 1) 2 ( 1) 2( 1)
( 1) ( 1)
x x x xy
x x
      
 
; 
d) 
2 2
2 2 2 2
5( 1) (3 5 )(2 1) 5 6 2
( 1) ( 1)
x x x x x xy
x x x x
         
   
 e) 
2 2
2 3 3 2
2 63 n n n ny m m
x x x x
                
     
; 
f) 2 4 3 2
1 4 2 12 1 1
2 4 2
xy
x x x x
              
    
; g) 2 2
( ) ( )
( ) ( )
a cx d c ax b ad cby
cx d cx d
     
 
; 
Chú ý: 2( )
ax b ad cb
cx d cx d
      
. 
h) 
2 2
2 2
(2 )( ) ( ) 2 ( )
( ) ( )
ax b px q p ax bx c apx aqx bq pcy
px q px q
         
 
; 
Chú ý: 
2 2
2
2 ( )
( )
ax bx c apx aqx bq pc
px q px q
     
   
. 
i) 
2 2 2
2 2 2 2
(2 )( ) ( )(2 ) ( ) 2( ) ( )
( ) ( )
ax b a x b x c ax bx c a x b ab a b x ac a c x bc a cy
a x b x c a x b x c
                       
        
; 
Chú ý: 
2 2
2 2 2
( ) 2( ) ( )
( )
ax bx c ab a b x ac a c x bc b c
a x b x c a x b x c
             
          
. 
3) Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 
a) 2 1y x x x   ; b) 22 5y x x   ; c) 
3
2 2
xy
a x


; 
d) 1
1
xy
x



; e) 1y
x x
 ; f) 
2
1
xy
x


. 
 Hướng dẫn: 
THPT Tân Bình – Bình Dương. ĐẠO HÀM 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 6 
a) 32
2
y x x   ; b) 
2
2 5
2 2 5
xy
x x
  
 
; c) 
2 2 2
2 2 3
(3 2 )
( )
x a xy
a x
 

; 
d) 
3
3
2 (1 )
xy
x
 

; e) 
2
3
2
y
x x
   ; f) 2
2( 1) 1
xy
x x
 
 
4) Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 
a)  2 3 1y x xx
    
 
; c) 2( 2) 1y x x   ; c) 36y x
x
   ; 
d) 3 22 1y x x   ; e) 
2
5 3y x
x
 
  
 
; f) 
2
2
1
y
x


. 
 Hướng dẫn: 
a)  22 1 33 1 2
xy x
x x x x
        
 
; b) 
2
2
2 2
( 2) 2 2 11
1 1
x x x xy x
x x
      
 
; 
c) 2
3 3y
xx
    ; d) 
2
3 2
3 4
2 2 1
x xy
x x
 
 
; 
e) 
2
5 4
3
3 33 5
2
y x x
x x
       
   
; f) 
2 3
2
( 1)
xy
x
  

. 
5) Cho 3 23 2y x x   . Tìm x để: 
a) 0y  ; b) 3y  ; c) 2y  ; 
 Hướng dẫn: 23 6y x x   
a) 20 3 6 0 0 2 hoaëc y x x x x        ; b) 23 3 6 3 0 1 2 1 2y x x x           ; 
c) 
2
2
2
3 6 0 1 0
3 3 6 3
2 33 6 9 0
x x x
y x x
xx x
                 
. 
6) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: 
a) 1
1
xy
x



, biết hoành độ tiếp điểm là 0 0x  ; 
b) 2 1
1
xy
x



, biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y = –4x +2011; 
c) 2y x  , biết tung độ tiếp điểm là 0 2y  . 
 Hướng dẫn: 
a) 2
2
( 1)
y
x
 

. Với 0 0x   0 2y  và hệ số góc 0( ) (0) 2k y x y    . 
Phương trình tiếp tuyến là 2( 0) 2 2 2y x y x      
b) 2
1
(1 )
y
x
 

. Hệ số góc của tiếp tuyến là 1( 4) 1
4
k k     . 
Ta có 020 0 02
00
31 1( ) (1 ) 4 1 2
1(1 ) 4
x
k y x x x
xx

             
0 0
53
2
x y     Phương trình tiếp tuyến là 1 5 1 13( 3)
4 2 4 4
y x y x      ; 
0 0
31
2
x y      Phương trình tiếp tuyến là 1 3 1 5( 1)
4 2 4 4
y x y x      ; 
c) 1
2 2
y
x
 

. Với 0 2y   0 2x  và hệ số góc  0
1( ) 2
4
k y x y    
Phương trình tiếp tuyến là 1 1 3( 2) 2
4 4 2
y x y x      
THPT Tân Bình – Bình Dương. ĐẠO HÀM 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 7 
§3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. 
1) GIỚI HẠN CỦA sin x
x
: 
 Định lý 1: 
0
sinlim 1
x
x
x
 
 1Vd Tìm giới hạn: 0
tanlim
x
x
x
 và 
0
sin 2lim
x
x
x
. 
Giải: 
Ta có 
0 0 0 0
tan sin sin 1lim lim lim .lim 1
cos cosx x x x
x x x
x x x x x   
   ; 
Ta có 
0 0 0
sin 2 2sin 2 sin 2lim lim 2lim 2
2 2x x x
x x x
x x x  
   . 
2) ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ siny x : 
 Định lý 2: Hàm số siny x có đạo hàm với mọi x thuộc R và  sin cosx x  . 
Nếu siny u và ( )u u x thì  sin cosu u u  . 
 2Vd Tìm đạo hàm của hàm số sin 3 5
y x    
 
. 
Giải: 3cos 3
5
y x     
 
. 
3) ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ cosy x : 
 Định lý 3: Hàm số cosy x có đạo hàm với mọi x thuộc R và  cos sinx x   . 
Nếu cosy u và ( )u u x thì  cos sinu u u   . 
 3Vd Tìm đạo hàm của hàm số 
3cos( 1)y x  . 
Giải: 2 33 sin( 1)y x x    . 
4) ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ tany x : 
 Định lý4: Hàm số tany x có đạo hàm với mọi 
2
x k   , kZ và   22
1tan 1 tan
cos
x x
x
    . 
Nếu tany u và ( )u u x thì   22tan (1 tan )cos
uu u u
u
    . 
 4Vd Tìm đạo hàm của hàm số 
2tan(3 5)y x  . 
Giải: 2 22 2
6 6 1 tan (3 5)
cos (3 5)
xy x x
x
      
. 
5) ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ coty x : 
 Định lý 5: Hàm số coty x có đạo hàm với mọi x k , kZ và   22
1cot (1 cot )
sin
x x
x
      . 
Nếu coty u và ( )u u x thì   22cot (1 cot )sin
uu u u
u
      . 
 5Vd Tìm đạo hàm của hàm số 
3cot (3 1)y x  . 
Giải: 
2
2
2 4
3 9cos (3 1)3cot (3 1).
sin (3 1) sin (3 1)
xy x
x x
     
 
. 
THPT Tân Bình – Bình Dương. ĐẠO HÀM 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 8 
BÀI TẬP. 
1) Tìm giới hạn sau: 
a) 
0
tan 2lim
sin 5x
x
x
; b) 
0
lim
sin 5x
x
x
; c) 
0
lim cot 2
x
x x

; 
d) 
0
tan 2lim
3x
x
x
 e) 
2
0
1 coslim
sin 2x
x
x x
 ; f) 
0
1 sin coslim
1 sin cosx
x x
x x
 
 
. 
 Hướng dẫn: 
a) 0
0 0 0
0
sin 2limtan 2 sin 2 2 1 22lim lim . .limsin 5sin 5 sin 5 cos 2 5 cos 2 5lim
5
x
x x x
x
x
x x x
xx x x x
x

  

   ; 
b) 
0
0
1 1lim sin 5sin 5 55lim
5
x
x
x
xx
x


  ; c) 0
0 0
0
limcos 2cos 2 1lim cot 2 lim sin 2sin 2 22lim
2
x
x x
x
xxx x x xx
x

 

   ; 
d) 
0 0 0 0
tan 2 sin 2 2 sin 2 1 2lim lim lim .lim
3 3 cos 2 3 2 cos 2 3x x x x
x x x
x x x x x   
   ; 
e) 
2 2
0 0 0 0
1 cos sin 1 sin 1 1lim lim lim .lim
sin 2 2 sin cos 2 cos 2x x x x
x x x
x x x x x x x   

   ; 
f) 
2
0 0 02
2sin 2sin cos sin cos1 sin cos 2 2 2 2 2lim lim lim 1
1 sin cos 2sin 2sin cos sin cos
2 2 2 2 2
x x x
x x x x x
x x
x x x x xx x  
  
   
   
. 
2) Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 
a) 1
5 2
xy
x



; b) 2 3
7 3
xy
x



; c) 
2 2 3
3 4
x xy
x
 


; 
d) 
2
2
7 3
3
x xy
x x
 


; e) 
2
2
3 2
2
x xy
x x
 

 
; f) 
2
2
1
3
xy
x



. 
 Hướng dẫn: 
a) 2
3
(5 2)
y
x
 

; b) 2
23
(7 3 )
y
x
 

; c) 
2
2
4 6 18
(3 4 )
x xy
x
   

; 
d) 
2
2 2
3 14 9
( 3 )
x xy
x x
   

; e) 
2
2 2
2 4
( 2)
xy
x x
 
 
; f) 2 2
6
( 3)
xy
x
 

. 
3) Giải các bất phương trình sau: 
a) y < 0 với 
2 2
1
x xy
x
 


; b) y  0 với 
2 3
1
xy
x



; c) y > 0 với 2
2 1
4
xy
x x


 
. 
 Hướng dẫn: 
a) 
22
2
1 3 1 12 3 02 3 0
1 1 3( 1) 1
x xx xx xy
x xx x
           
            
b) 
22
2
32 3 02 3 0
1( 1) 1
xx xx xy
xx x
               
c) 
2
2 2
2 2 9 1 19 1 190
( 4) 2 2
x xy x
x x
         
 
4) Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 
a) 5sin 3cosy x x  ; b) sin cos
sin cos
x xy
x x



; c) coty x x ; 
d) sin
sin
x xy
x x
  ; e) 1 2 tany x  ; f) 2sin 1y x  . 
THPT Tân Bình – Bình Dương. ĐẠO HÀM 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 9 
 Hướng dẫn: 
a) 5cos 3siny x x   ; b) 2
2
(sin cos )
y
x x
  

; c) 2cot sin
xy x
x
   ; 
d) 2 2
1 1( cos sin )
sin
y x x x
x x
     
 
; e) 
2
1
cos 1 2 tan
y
x x
 

 f) 
2
2
cos 1
1
x xy
x
 

. 
5) Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 
a) 3 2(9 2 )(2 9 1)y x x x    ; b) 2
16 (7 3)y x x
x
    
 
; c) 2( 2) 1y x x   ; 
d) 2 2tan coty x x  ; e) cos
1
xy
x


; f) cos 2y x . 
 Hướng dẫn: 
a) 3 2 22(2 9 1) (6 18 )(9 2 )y x x x x x        ; c) 2
2
( 2)1
1
x xy x
x

   

; 
b) 3 2
3 2 1(7 3) 7 6y x x
x xx
             
; d) 2 2 2
2 tan 2
cos sin
x xy
x x
   ; 
e) 2
1 sin
(1 ) 1
xy
x x
  
 
; f) 2
2
cos 1
1
xy x
x
  

. 
6) Tính (1)
(1)
f



, biết rằng 2( )f x x và ( ) 4 sin
2
xx x    . 
 Hướng dẫn: (x) = 2x, ( ) 4 cos
2 2
xx      do đó (1) 1
(1) 2
f




. 
7) Chứng minh hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x: 
a) 6 6 2 2sin cos 3sin cosy x x x x   ; 
b) 2 2 2 2 22 2cos cos cos cos 2sin
3 3 3 3
y x x x x x                         
       
. 
 Hướng dẫn: 
a) y 4 4 2 2 2 2 2sin cos 2sin cos (sin cos ) 1x x x x x x       y = 0. 
b) 1 2 1 2 1 11 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2
2 3 2 3 2 3 2 3
x x x x x                         
       
= 
1 2 1 2 1 2 1 21