Bài tập về Chuyên đề Hàm số - Nguyễn Ngọc Tuấn

Chuyªn ®Ò 1: Sù t­¬ng giao cña hai ®å thÞ
I . Bµi to¸n c¬ b¶n :
 VD1: Cho hµm sè y = cã ®å thÞ lµ ( C )
T×m m ®Ó ®­êng th¼ng (d): y = mx + 1 c¾t ( C ) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt.
T×m m ®Ó (d) c¾t ( C ) t¹i 2 ®iÓm thuéc hai nh¸nh cña ( C).
VD2: Cho hµm sè y = mx3 – x2 – 2x + 8m cã ®å thÞ lµ ( C).
 T×m m ®Ó ( C) c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é tho¶ m·n: x < -1.
VD3: Cho hµm sè: y = x4 –(3m + 4 )x2 + m2 cã ®å thÞ lµ ( C ) 
T×m m ®Ó ( C ) c¾t trôc hoµnh t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt.
T×m m ®Ó ( C ) c¾t trôc hoµnh t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é lËp thµnh mét cÊp sè céng.
VD4: T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè y = x3 –m(x – 1) – 1 tiÕp xóc víi trôc hoµnh.
VD5: T×m m ®Ó (d) : y = m – x c¾t ( C) : y = t¹i 2 ®iÓm ®èi xøng víi nhau qua ®­êng ph©n gi¸c thø nhÊt.
Chuyªn ®Ò 2: TiÕp tuyÕn víi ®å thÞ
I. Bµi to¸n c¬ b¶n:
 Cho hµm sè y = f(x) cã ®å thÞ lµ ( C ) . H·y viÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ( C ).
 D¹ng 1 : BiÕt tiÕp ®iÓm M(xo,yo) ( C ) ( TiÕp tuyÕn t¹i M cña ( C) ).
 Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ: y – yo = (xo)(x – xo) ( y0 = f(xo) ).
D¹ng 2 : TiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc k cho tr­íc.
C¸ch gi¶i 1: - Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®Ó t×m hoµnh ®é tiÕp ®iÓm xo
 - ThÕ xo vµo c«ng thøc d¹ng 1.
C¸ch gi¶i 2: - PT ®­êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc k lµ : y = kx + b 
 - (d) tiÕp xóc víi ( C ) hÖ cã nghiÖm.
 - Gi¶i hÖ trªn t×m ®­îc b tõ ®ã suy ra ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn.
D¹ng 3: TiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm cho tr­íc ( hoÆc ph¶i t×m).
C¸ch gi¶i 1: - PT ®­êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc k qua M lµ: y = k(x-) + 
 - (d) tiÕp xóc víi ( C ) hÖ (1) cã nghiÖm.
 - Gi¶i hÖ ta t×m ®­îc k tõ ®ã ta cã ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn.
Chó ý: Sè nghiÖm cña (1) chÝnh lµ sè tiÕp tuyÕn cña ( C ) qua M 
C¸ch gi¶i 2: - Gäi tiÕp ®iÓm lµ (xo,yo) khi ®ã PT tiÕp tuyÕn lµ: y –yo= (xo)(x - xo)
 - V× tiÕp tuyÕn qua M nªn ta cã (2) 
 - Gi¶i (2) ®Ó t×m xo tõ ®ã ta ®­îc ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn.
 Chó ý: Sè nghiÖm cña (2) chÝnh lµ sè tiÕp tuyÕn cña ( C ) qua M 
II. C¸c vÝ dô :
VD1: ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ ( C ) cña hµm sè y = x3 – 3x2 + 2 t¹i c¸c giao ®iÓm víi trôc ox.
VD2: Cho hµm sè y = cã ®å thÞ lµ ( C ).
 ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ( C ) biÕt tiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc lµ - 1.
VD3: Cho hµm sè y = x3 + x2 + x + 2 . CMR trªn ®å thÞ cña hµm sè kh«ng thÓ cã hai tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi nhau.
VD4: T×m trªn ®å thÞ cña hµm sè y = x3 + 3x + 2 nh÷ng ®iÓm mµ tõ ®ã kÎ ®­îc ®óng mét tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ cña hµm sè.
VD5: Cho hµm sè y = cã ®å thÞ lµ ( C ). CMR t¹i c¸c giao ®iÓm cña ( C ) víi trôc hoµnh , c¸c tiÕp víi ( C ) vu«ng gãc víi nhau.
VD6: ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ ( C ) cña hµm sè y = biÕt tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm M( 2, 2).
VD7: Cho hµm sè y = cã ®å thÞ lµ ( C ).
T×m m ®Ó ( C ) c¾t trôc hoµnh t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A vµ B .
CMR t¹i A vµ B ®¹o hµm cña hµm sè tho¶ m·n c«ng thøc 
CMR tiÕp tuyÕn cña ( C ) t¹i A vµ B lu«n vu«ng gãc víi nhau.
VD8: a) CMR tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm uèn cña ®å thÞ cña hµm sè y = x3 + 3x2 + 2x + 3 cã hÖ sè gãc nhá nhÊt.
 b) CMR tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm uèn cña ®å thÞ cña hµm sè y = - x3 + 3x + 2 cã hÖ sè gãc lín nhÊt.
VD9: Cho hµm sè y = 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ ( C ) cña hµm sè.
CMR trªn ( C ) cã v« sè cÆp ®iÓm mµ ë ®ã tiÕp tuyÕn song song víi nhau vµ c¸c cÆp ®iÓm nµy ®èi xøng nhau qua t©m cña ( C ).
VD10: Cho hµm sè y = x3 – 3x + 2 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ ( C ) cña hµm sè.
T×m trªn ®­êng th¼ng y = 4 c¸c ®iÓm sao cho tõ ®ã kÎ ®­îc 3 tiÕp tuyÕn víi ( C )
T×m trªn ®­êng th¼ng y = 4 c¸c ®iÓm sao cho tõ ®ã kÎ ®­îc 2 tiÕp tuyÕn víi ( C ) vu«ng gãc víi nhau.
VD11: Cho hµm sè y = 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ ( C ) cña hµm sè
CMR trªn ®­êng th¼ng y = 7 cã 4 ®iÓm sao cho tõ mçi ®iÓm ®ã kÎ ®­îc 2 tiÕp tuyÕn víi ( C ) vµ t¹o víi nhau mét gãc 45o.
Chuyªn ®Ò 3: Bµi to¸n quü tÝch.
I. C¸c vÝ dô ¸p dông:
VD1: Cho ®å thÞ ( C ) cña hµm sè y = x2 – 4x + 3 vµ ®­êng th¼ng ( d) : y = mx trong ®ã m lµ tham sè.
T×m m ®Ó (d) c¾t ( C ) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A vµ B.
T×m quü tÝch trung ®iÓm cña AB.
VD2: T×m quü tÝch t©m ®èi xøng cña ®å thÞ cña hµm sè y = 
VD3: T×m quü tÝch ®iÓm uèn cña ®å thÞ hµm sè: y = 2x3 - 3(m -2)x2 - (m - 1)x + m
VD4: Cho hµm sè y = víi m lµ tham sè.
T×m m ®Ó hµm sè cã cùc trÞ.
T×m quü tÝch c¸c ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ cña hµm sè.
 VD5: Cho hµm sè y = 
 a) T×m k ®Ó ®­êng th¼ng y = kx + 1 c¾t ®å thÞ cña hµm sè t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A ,B
 b)T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n AB khi k thay ®æi.
Chuyªn ®Ò 4: PhÐp ®èi xøng ®å thÞ
II. C¸c vÝ dô.
VD1: Cho ( C ) : y = x2 + 2x +1 vµ ( C/) : y = x2 – 6x + 9 . CMR ( C ) vµ ( C/ ) ®èi xøng víi nhau qua ®­êng th¼ng x = 1.
VD2 : Chøng minh ( C ) : y = x2 + 2x + 3 vµ ( C/ ) : y = -x2 + 6x - 10 ®èi xøng nhau qua ®iÓm I .
VD3: (§HQG Hµ Néi –95): X¸c ®Þnh hµm sè y = f(x) sao cho ®å thÞ cña nã ®èi xøng víi ®å thÞ cña hµm sè y = g(x) = qua ®iÓm M(1,1).
VD4(§HBK Hµ Néi –90) : T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè y = cã Ýt nhÊt mét cÆp ®iÓm ®èi xøng qua gèc to¹ ®é.
VD5(§HQG-97):T×m c¸c cÆp ®iÓm M1 vµ M2 ë trªn ®å thÞ cña hµm sè y = ®èi xøng víi nhau qua ®iÓm I(0,).
VD6:T×m 2 ®iÓm A , B n»m trªn ®å thÞ cña hµm sè y = vµ ®èi xøng víi nhau qua ®­êng th¼ng y = x – 1.
chuyªn ®Ò 5 : kho¶ng c¸ch
Kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm ®Õn mét ®­êng th¼ng.
VD1(HVKTQS-95). T×m trªn ®å thÞ cña hµm sè y = ®iÓm M cã tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn hai trôc to¹ ®é lµ nhá nhÊt.
VD2(HVQY-95). T×m ®iÓm M thuéc ®å thÞ cña hµm sè y = sao cho tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn hai trôc to¹ ®é lµ nhá nhÊt.
VD3(§HAN-97).T×m M trªn ®å thÞ cña hµm sè y = sao cho tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn hai ®­êng tiÖm cËn lµ nhá nhÊt.
VD4(HVQHQT-99). T×m ®iÓm M trªn ®å thÞ y = sao cho kho¶ng c¸ch tõ M tíi c¸c tiÖm cËn ®øng vµ ngang b»ng nhau.
VD5(§HQG Hµ Néi –98). T×m M thuéc ®å thÞ cña hµm sè y = sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn trôc hoµnh b»ng hai lÇn kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn trôc tung.
VD6(§HQG-HCM-2000). T×m ®iÓm M trªn ®å thÞ y = sao cho tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn hai ®­êng tiÖm cËn lµ nhá nhÊt.
VD7(§H Ngo¹i Ng÷-2000). CMR tÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm K tuú ý thuéc ®å thÞ cña hµm sè y = tíi hai ®­êng tiÖm cËn lu«n lµ mét h»ng sè.
VD8(HVKTQS-2000). T×m ®iÓm M trªn ®å thÞ y = f(x) = cã kho¶ng c¸ch ®Õn ®­êng th¼ng y + 3x + 6 = 0 lµ nhá nhÊt.
VD9(§H Ngo¹i Th­¬ng –2001). T×m ®iÓm M trªn ®å thÞ y = f(x) = sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn giao ®iÓm cña hai ®­êng tiÖm cËn lµ nhá nhÊt.
VD10(§HSP –2001). T×m m ®Ó hµm sè y = cã cùc ®¹i , cùc tiÓu vµ kho¶ng c¸ch tõ hai ®iÓm ®ã ®Õn ®­êng th¼ng x + y + 2 = 0 (d) b»ng nhau.
2)Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm. 
VD1(§H LuËt –95). T×m hai ®iÓm E , F thuéc hai nh¸nh kh¸c nhau cña ®å thÞ cña hµm sè y = sao cho ®o¹n EF ng¾n nhÊt.
VD2(§H N«ng NghiÖp –2000). CMR ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm I(0,k) cã hÖ sè gãc b»ng (-1) lu«n c¾t ®å thÞ y = t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt E vµ F . T×m k ®Ó ®o¹n EF cã ®é dµi nhá nhÊt.
3)Kho¶ng c¸ch ng¾n nhÊt gi÷a 2 ®å thÞ.
VD1(§H Má §C –99) . Cho ®­êng cong ( C ) : y = 2x4 – 3x2 +2x +1 vµ ®­êng th¼ng (d) cã PT : y = 2x – 1.
CMR (d) vµ ( C ) kh«ng cã ®iÓm chung.
T×m ®iÓm A trªn ( C ) cã kho¶ng c¸ch ®Õn (d) lµ nhá nhÊt.
CHUYÊN ĐỀ 7: BIỆN LUẬN SỐ ĐỒ THỊ ĐI QUA MỘT ĐIỂM
Bài 1: CMR đồ thị hàm số luôn tồn tại ba điểm cố định thẳng hàng. 
Bài 2: Cho hàm số . Viết pt tt tại điểm cố định mà dths luôn đi qua với mọi m
Bài 3 . Cho hs .Tìm điểm cố định mà dths luôn đi qua với mọi .
Bài 4: Cho hàm số . Tìm các điểm trên Oy sao cho không có bất kỳ đồ thị nào của hàm số đi qua.