Bài tập tự luyện về Đạo hàm có đáp án

BÀI TẬP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1.2: Chứng minh rằng : 
a) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
b) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó
Giải : 
a) Tập xác định 
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng 
b) Tập xác định 
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng xác định , tức khoảng 
1.3 Chứng minh hàm số sau đồng biến trên tập R:
a) 
b) 
Giải : 
a) tập xác định R
Y’ là tam thức bậc hai có biệt số nên y’ luôn cùng dấu với hệ số a với mọi giá trị x hay : 
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên R
b) Tập xác định R
( vì và đẳng thức không xảy ra vì )
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên R
1.4: Với giá trị nào của a thì hàm số nghịch biến trên R
Giải : Tập xác định D = R
Y’ = 0 nhiều lắm cũng tại 2 điểm ( hữu hạn )
Vậy hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi , điều này xảy ra khi và chỉ khi 
1.5 Tìm các giá trị của tham số a để hàm số đồng biến trên R
Giải : Tập xác định D = R
chỉ tại hữu hạn điểm ( nhiều lắm là hai điểm )
Vậy điều kiện để hàm số đồng biến trên R là : 
Vậy đáp số :  
 đáp số : 
1.6 Xét chiều biến thiên của hàm số
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f ) 
Giải: 
1.7 Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên R
Giải : 
Tập xác đnhj D = R
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy trên mỗi đoạn thì và bằng 0 chỉ tại hai điểm ( hữu hạn )
Vậy trên mỗi khoảng đó hàm số nghịch biến. Mà các khoảng này liền kề nhau Vậy hàm số nghịch biến trên R
1.8 Chứng minh các đẳng thức :
a) với mọi 
Xét hàm số : 
do đó hàm số nghịch biến trên nửa khoảng 
Vậy với 
Tương tự ta chứng minh được 
b) với mọi 
Giải : Ta xét hàm số , với 
với ( theo câu a )
Vậy hàm số đồng biến trên 
Do đó : với ( đ.p.c.m )
Trên nửa khoảng còn lại ta chứng minh tương tự
c)
1.9 Chứng minh rằng : với mọi 
Giải : Xét hàm số 
Ta có : 
Dấu = xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm ( 1 điểm x = 0 )
Vậy hàm số nghịch biến trên nửa khoảng 
Do đó với thì ( đ.p.c.m)
1.10 11 Tìm cực trị của hàm số : 
a) b) 
c) d) 
e) f) 
Giải : 
a) tập xác định D= R
, 
đổi dấu từ + sang – khi x đi qua điểm x = -3, và đổi dấu từ - sang + khi x đi qua điểm x=-3
Vậy hàm số đạt cực đại tại , hàm số đạt cực tiểu tại 
b) tập xác định D = R
. Vậy hàm số đồng biến trên R , nên hàm số không có cực trị
c) tập xác định 
, 
đổi dấu từ + sang – khi x đi qua điểm x = -1, và đổi dấu từ - sang + khi x đi qua điểm x = 1
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 và đạt cực tiểu tại x = 1
d) tập xác định D = R
Ta có 
Đạo hàm đổi dấu từ + sang – khi x đi qua điểm x = -1
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1
e) tập xác định D = R
, 
đổi dấu từ + sang – khi x đi qua điểm x = -1 và từ - sang + khi x đi qua điểm x = 1
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 và đạt cực tiểu tại x =1
f) tập xác định 
Đạo hàm đổi dấu từ + sang - khi x đi qua điểm x= 0 và đổi dấu từ - sang + khi x đi qua điểm x = 2
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x =2
1.11 Tìm cực trị của các hàm số sau : 
a) 
b) 
c) 
d) 
Giải : 
a) tập xác định 
Đạo hàm đổi dấu từ - sang + khi x đi qua và đổi dấu từ + sang – khi x đi qua 
vậy hàm số đạt cực tiểu tại , đạt cực đại tại 
b) Tập xác định 
đạo hàm : , 
y’ đổi dấu từ + sang – khi x đi qua 0. Vậy hàm số đạt cực đại tại 
c) Tập xác định D = R
, 
Ta có : , nên các điểm là điểm cực tiểu của hàm số 
, nên các điểm là điểm cực tiểu của hàm số 
d) Tập xác định D = R 
, vậy là các điểm cực tiểu.
, vậy là các điểm cực đại.
, vậy là các điểm cực đại. 
1.12 Tìm các hệ số a,b,c,d của hàm số sao cho hàm số f đạt cực tiểu tại điểm và đạt cực đại tại điểm 
Giải : Tập xác định D = R
Hàm số đạt cực trị tại x = 0 và x = 1 nên ta có 
Mặt khác theo bài ra ta có : 
Từ đó ta giải được : 
Thử lại : Với ta có : 
đổi dấu từ - sang + khi x qua 0 và từ + sang – khi x đi qua 1
vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = 1 ( thỏa mãn yêu cầu bài toán ) 
1.13 Xác định hệ số a, b ,c sao cho hàm số đạt cực trị bằng 0 tại điêm và đồ thị đi qua điểm 
Giải : đồ thị hàm só đi qua điểm khi và chỉ khi 
Hàm số đạt cực trị bằng 0 tại điểm nên ta có 
Từ các pt trên giải được 
Thử lại ta thấy đúng yêu cầu bài toán .  
1.14 Chứng minh với mọi tham số m hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu.
Giải : Tập xác định 
Và y’ đổi dấu từ + sang – khi x đi qua và đổi dấu từ - sang + khi x đi qua 
Vậy hàm số đạt cực đại tại và đạt cựt tiểu tại với mọi m ( đ.p.c.m )  
1.15 Tìm GTNN,LN của hàm số : 
Giải : Tập xác định 
Cách 1: 
Ta có : 
Do 
Vậy đạt được tại 
Cách 2: Do hàm số tuần hoàn với chu kì , nên ta chỉ cần tìm GTLN,NN trên đoạn 
Ta có: 
Vì xét trên đoạn nên ta có 
Mà : 
Vậy 
Cách 3: đặt 
Ta đưa về bài toán tìm GTLN,NN của hàm số trên đoạn 
, 
Ta có : 
Vậy  
1.16 Tìm GTLN,NN của hàm số sau :
a) trên đoạn 
Hàm số liên tục trên đoạn 
Ta có : 
vậy 
b) trên đoạn 
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn 
Ta có : ( thuộc ) 
Vậy 
c) trên khoảng 
Hàm số liên tục trên khoảng 
Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng , từ đó suy ra 
, giá trị lớn nhất không tồn tại
d) trên đoạn 
Hàm số liên tục trên đoạn 
Vậy 
e) trên đoạn 
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn 
vậy 
f) trên nửa khoảng 
Hàm số liên tục trên nửa khoảng 
Hàm số đồng biến trên nửa khoảng 
vậy không tồn tại , 
18. Tìm GTLN,NN của hàm số sau :
a) b) 
Giải : 
a) đặt 
đưa về bài toán : tìm GTLN,NN của hàm số 
Vậy 
b) Ta có : 
đặt 
Ta có hàm số trên đoạn 
Vậy  
1.17 Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC,AB. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, tính giá trị lớn nhất đó
Giải : 
Đặt 
Vậy diện tích hình chữ nhật là : 
Xét hàm số trên khoảng 
Ta có : 
Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng , ta suy ra được diện tích lớn nhất đạt được khi 
1.18 Tìm cực trị của các hàm số sau : 
a) b) 
c) d) 
Giải : 
a) Tập xác định 
, 
Lập bảng biến thiên của hàm số , ta thấy :
Hàm số đạt cực đại tại , và hàm số đạt cực tiểu tại 
b) Tập xác định : 
, 
Lập bảng xét dấu đạo hàm, ta thấy : 
Hàm số đạt cực tiểu tại 
c) Tập xác định 
, 
Lập bảng xét dấu đạo hàm , ta thấy : Hàm số đạt cực đại tại 
d) Tập xác định 
, 
Lập bảng xét dấu đạo hàm ta thấy hàm số đơn điệu trên hai nửa khoảng . Vậy hàm số không có cực trị nào.  
1.19 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
Giải : Tập xác định : 
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi đạo hàm có hai nghiệm phân biệt khác 1 
1.20 Tìm GTNN,GTLN của các hàm số sau : 
a) trên đoạn 
b) 
c) 
d) trên đoạn 
Giải : 
a) Hàm số liên tục trên đoạn 
Vậy hàm số giảm trên đoạn 
Vậy , 
b) Tập xác định 
, 
vậy 
c) đặt 
Ta có : 
Ta đưa về bài toán tìm GTNN,LN của hàm số 
vậy , 
d) Hàm số liên tục trên đoạn 
, 
Với thì ta có các nghiệm : 
Ta có : , 
Vậy , 
1.21 . Xét tính đơn điệu của hàm số :
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Giải: 
a) tập xác định D= R
Ta có : 
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng và nghịch biến trên khoảng 
b) tập xác định D= R
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng và nghịch biến trên khoảng 
c) Tập xác định : 
Đạo hàm : 
, 
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng và nghịch biến trên các khoảng 
d) Tập xác định : 
Đạo hàm : 
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng 
e) Tập xác định D= R
Xét dấu y’ ta có hàm số đồng biến trên các khoảng và nghịch biến trên các khoảng 
f) Tập xác định 
Rõ ràng và . Hàm số liên tục trên đoạn [-2;2]
Vậy hàm số đồng biến trên nửa khoảng và nghịch biến trên nửa khoảng 
1.22 
Đặt : hệ viết lại như sau : 
Chứng minh được hàm số 
Vậy hàm số f(x) đồng biến trên R
Do hệ hoán vị vòng quanh nên ta có quyền giả sử :
Từ đó suy ra 
Vậy 
1.23 cho hình chóp SABCD có(SAB)(SAD)cùng vuông góc với đáy.SA=a.ABCD là hình thoi cạnh a.góc A=120.tính khoảng cách từ D den mặt phẳng SBC
1.24 Tìm gtln,gtnn của hàm số: