Bài tập tổng hợp về Chuyên đề Lượng giác

Chuyªn ®Ị sè 3: L­ỵng gi¸c
Bµi 1: Ph­¬ng tr×nh vµ hƯ ph­¬ng tr×nh l­ỵng gi¸c
Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí
C¸c c«ng thøc biÕn ®ỉi l­ỵng gi¸c
Mét sè d¹ng ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n
Ph­¬ng tr×nh bËc 2,bËc 3 theo mét hµm sè l­¬ng gi¸c
Ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc nhÊt víi sinx,cosx: asinx+bcosx=c
Ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 2 víi sinx,cosx:
 a.sin2x+ b.sinx.cosx+c.cos2x+d=0 
Ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 3 víi sinx,cosx: 
 a.sin3x+b.sin2x.cosx+
c.sinx.cos2x+d.cos3x=0
a.sin3x+b.sin2x.cosx+
 c.sinx.cos2x+d.cos3x+m=0
Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng víi sinx,cosx a.(sinx±cosx)+b.sinx.cosx+c=0
Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng víi tgx,cotgx
Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng víi sin2nx,cos2nx 
C¸c vÝ dơ
Bµi 1: 
	HD: ®Ỉt §K x= ± pi/3 +k.pi
Bµi 2: 
	HD: Sư dơng c«ng thøc h¹ bËc
§S 3 hä nghiƯm
Bµi 3: 
HD: Nhãm , nh©n lªn vµ t¸ch 2 thµnh 2 nhãm
Bµi 4: 
 	HD: §Ỉt §K rĩt gän MS=1
	AD c«ng thøc nh©n 3
§S x=-pi/6+k.pi
Bµi 5:
	HD: BiÕn ®ỉi theo sin vµ cos
	§S x=± pi/3+k.pi
Bµi 6: 
HD: nh©n (1) víi (2) rĩt gän ®Ỉt 
t=0, t= ± can 3
Bµi 7: 
	HD : B§ tÝch thµnh tỉng rĩt gän
Bµi 8: 
 	HD: nh©n 2 vÕ víi 2.sin(x/2) chĩ y xet tr­êng hỵp b»ng 0
NX: Trong bµi to¸n chøa tỉng 
 thùc hiƯn rĩt gän b»ng c¸ch trªn
Bµi 9: 
	HD: B§ sau ®ã ®Ỉt t=tg(x/2)
Bµi 10 
	HD: 
Bµi 2: Gi¸ trÞ lín nhÊt nhá nhÊt, ph­¬ng tr×nh cã tham sè
Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí
Ph­¬ng ph¸p hµm sè: Bµi to¸n Max,Min trªn 1 kho¶ng vµ mét ®o¹n
Ph­¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc, nhËn xÐt ®¸nh gi¸ 
C¸c vÝ dơ
Bµi 1: T×m GTLN,GTNN
	HD: t=cos2x, t×m Max,Min trªn 1 ®o¹n
	M=8/5 m=4/3
Bµi 2: Cho ph­¬ng tr×nh 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m=1
T×m m ®Ĩ ph­¬ng tr×nh cã nghiƯn thuéc ®o¹n [0; pi/3]
	HD: t=tgx, t thuéc [0; c¨n 3]
LËp BBT f(t) §S 
Bµi 3: : T×m GTLN,GTNN
	HD: t=cos2x, -1≤t≤1 t×m Max,Min trªn 1 ®o¹n
	M=3 m=1/27
Bµi 4: : T×m GTLN,GTNN
Bµi 5: Cho ph­¬ng tr×nh 
T×m m ®Ĩ ph­¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiƯn thuéc ®o¹n [0; pi/2]
	HD: [-10/3;-2] 
Bµi 6: Cho ph­¬ng tr×nh 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi a=1/3
T×m a ®Ĩ ph­¬ng tr×nh cã nghiƯm
	HD: §­a vỊ d¹ng 
	(2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1
	§S [-1/2,2]
Bµi 7: T×m nghiƯm trong kho¶ng (0, pi)
Bµi 3: HƯ thøc l­ỵng trong tam gi¸c
Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí 
*Mét sè phÐp biÕn ®ỉi th­êng dïng
+ Cung liªn kÕt
+ C«ng thøc cÇn nhí
*Mét sè hƯ thøc trong tam gi¸c cÇn nhí 
tgA+tgB+tgC=tgA.tgB.tgC
cotgA.cotgB+cotgB.cotgC+cotgC.cotgA=1
Sin2A+Sin2B+Sin2C=4SinA.SinB.SinC
Cos2A+Cos2B+Cos2C=-1-4CosACosBCosC
C¸c vÝ dơ
Bµi 1: 	Cho tam gi¸c ABC, CMR 
Bµi 2:Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän CMR:
	tgA+tgB+tgC=tgA.tgB.tgC
dÊu “=” x¶y ra khi nµo?
HD: ¸p dơng b®t cosin
lËp ph­¬ng hai vÕ thay trë l¹i ph­¬ng tr×nh ®Çu ta ®­ỵc ®pcm.
Bµi 3: CMR: trong mäi tam gi¸c ABC, ta lu«n cã 
HD: BiÕn ®ỉi liªn tiÕp tÝch thµnh tỉng ë VP.
VP= [cos(B-C) – cos(B+C)].cosA + [cos(C-A) – cos(A+C)].cosB + [cos(A-B) – cos(A+B)].cosC
=Cos(B-C).cosA + Cos2A + Cos(C-A).cosB +Cos2B + Cos(A-B).cosC + cos2C.
thùc hiƯn nh©n ph¸ ngoỈc xuÊt hiƯn cos2A, cos2B, cos2C sư dơng c«ng thøc nh©n ®«i thay bëi cos2A, cos2B, cos2C suy ra ®pcm.
Bµi 4:CMR víi mäi tam gi¸c ABC ta cã
Tõ ®ã suy ra tam gi¸c ABC cã mét gãc tï khi vµ chØ khi 
Bµi 5:Cho tam gi¸c ABC tho¶ m·n ®k:
2tgA=tgB + tgC
CMR tgB.tgC = 3 Vµ Cos(B-C) = 2CosA
HD: xuÊt ph¸t: ®pcm
Tõ tgB.tgC=3 khi vµ chØ khi sinA.sinB=3cosB.cosC (*)
Mµ cos(B-C) =2.cos[] khai triĨn suy ra ®¼ng thøc (*)
Bµi 6:CMR víi mäi tam gi¸c ABC ta cã
HD: thay 
¸p dơng c«ng thøc nh©n ®«i 
Bµi 7:CMR trong mäi tam gi¸c ABC ta cã
Bµi 8:	Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc A, B, C 
Tho¶ m·n ®k 4A=2B=C. CMR:
Bµi 9:CMR trong mäi tam gi¸c ABC ta ®Ịu cã:
Bµi 10:Cho tam gi¸c ABC tho¶ m·n ®k: 
, CMR tam gi¸c ABC c©n
Bµi 11:Cho tam gi¸c ABC tho¶ m·n ®k
CMR tam gi¸c ABC c©n
Bµi 12CMR nÕu tam gi¸c ABC cã th× tam gi¸c vu«ng
Bµi 13: Cho tam gi¸c ABC víi BC=a, AC=b, AB=c
CMR tam gi¸c ABC vu«ng hoỈc c©n t¹i A khi vµ chØ khi 
Bµi 14:	Cho tam gi¸c ABC cã c¸c gãc tho¶ m·n ®k:
3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) =15
CMR tam gi¸c vu«ng
Bµi 15:C¸c gãc tam gi¸c ABC tho¶ m·n ®k
CMR tam gi¸c ABC vu«ng.
Bµi 16: Cho tam gi¸c ABC tho¶ m·n ®k
CMR tam gi¸c ABC ®Ịu.
Bµi 17: Tam gi¸c ABC tho¶ m¸n ®k:
CMR tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Ịu
Bµi 18: Tam gi¸c ABC tho¶ m·n ®k
CMR tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Ịu
Bµi 19: tam gi¸c ABC cã c¸c gãc tho¶ m·n hƯ thøc: 
Bµi 20:CMR nÕu trong tam gi¸c ABC ta cã
th× tam gi¸c ®Ịu
Bµi 21: Cho tam gi¸c ABC tho¶ m·n ®k:
8(p-a)(p-b)(p-c)=abc
CMR tam gi¸c ®Ịu
Bµi 22: Cho tam gi¸c ABC tho¶ m·n ®k
Bµi 23: 
Bµi 24: 
Bµi 25: T×m GTNN biĨu thøc
Bµi 26: Tam gi¸c ABC bÊt kú t×m GTLN cđa:
P= cosA+ cosB +cosC
Bµi 27: 
Cho tam gi¸c ABC bÊt kú. T×m GTLN cđa biĨu thøc
Bµi 28: Cho tam gi¸c ABC tho¶ m·n hƯ thøc:
Hái tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c gi? CM?
Bµi tËp ¸p dơng
 chĩ y §K x=-pi/4+k.pi/2
Mét sè ®Ị thi tõ n¨m 2002
T×m nghiƯm thuéc kho¶ng cđa ph­¬ng tr×nh KA 2002 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (DB 2002)
T×m nghiƯm thuéc kho¶ng cđa ph­¬ng tr×nh KB 2003
T×m x nghiƯm ®ĩng thuéc kho¶ng cđa ph­¬ng tr×nh KB 2003 
X¸c ®Þnh m ®Ĩ ph­¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiƯm thuéc ®o¹n (DB 2002)
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh (DB 2002)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (DB 2002)
Cho ph­¬ng tr×nh 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (2) khi 
T×m a ®Ĩ ph­¬ng tr×nh cã nghiƯm 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (DB 2002)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (KA 2003)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (DBKA 2003)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (DBKA 2003)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (DBKB 2003)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (DBKB 2003)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (KD 2003)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (DBKD 2003)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (DBKD 2003)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (KB 2004)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (KB 2004)