Bài tập Tổ hợp & xác suất 11

ch chọn 4 nam và 1 nữ là 
4 1
7 3. 105C C  cách. 
Vậy có cả thảy 21 + 105 = 126 cách chọn. 
8) Trong lớp có 42 học sinh gồm 27 nam và 15 nữ. Có mấy cách chọn học sinh đi dự lễ ngày Nhà giáo 
Việt Nam khi chọn: 
a) 3 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nam ? 
b) 3 học sinh trong đó có 1 nam và 2 nữ ? 
 Hướng dẫn: 
a) Số cách chọn 3 em trong 42 em là 342 11480C  cách. Số cách chọn 3 em toàn nữ là 
3
15 455C  . Do đó 
số cách chọn có ít nhất một nam là 11480 – 455 = 22505 cách. 
b) Số cách chọn 3 em trong đó có 1 nam và 2 nữ là 1 227 15. 2835C C  cách chọn. 
9) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội 
thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miềm núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. 
 Hướng dẫn: 
Phân công về tỉnh thứ nhất có 4 112 3. 1485C C  cách. Sau khi phân công về tỉnh thứ nhất có 
4 1
8 2. 140C C  
cách phân công về tỉnh thứ hai và có 4 14 1. 1C C  . Vậy có cả thảy 1485.140.1=207900 cách phân công. 
10) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 
8 người, biết rằng nhóm đó có ít nhất 3 nữ. 
 Hướng dẫn: 
Chọn 3 nữ và 5 nam có 3 55 10. 2520C C  ; Chọn 4 nữ và 4 nam có 
4 4
5 10. 1050C C  ; Chọn 5 nữ và 3 nam có 
5 3
5 10. 120C C  . Vậy có cả thảy 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách. 
11) Giải phương trình: 
a) 2 6xA  ; b) 
1 2
21 x xA A  ; c) 
2
2
1 2 1
1 x
C x
x 
 

; 
d) 4 5 6
4
3
x x xC C C  ; e) 1 2xA x  ; f) 
2 1
14 14 142
x x xC C C   ; 
 Hướng dẫn: 
a) Đk: Z x  2: 2 2
3! ( 1)( 2)!6 6 6 6 0 3
2(( 2)! ( 2)! loaïi)x
xx x x xA x x x
xx x
 
               
b) Đk: Z x  1: 1 22
! (2 )! ( 1)! 2 (2 1)(2 2)!1 1 1
( 1)! (2 2)! ( 1)! (2 2)!x x
x x x x x x xA A
x x x x
  
        
   
2 11 2 (2 1) 4 3 1 0 ( ), 1 1
4
loaïix x x x x x x x             
c) Đk: Z x  0: 2 2
1 1 ( 2)! 1 ( 2)( 1) !2 1 2 1 2 1
1 1 !2! 1 !2!x
x x x xC x x x
x x x x x
  
       
  
2 22 2 2 1 ( 2) 4(2 1) 4 0 0, 4x x x x x x x x              
d) Đk: Z x, 0  x  4: 4 5 6
4 4! 5! 4.6!
3 (4 )! ! (5 )! ! 3.(6 )! !
x x xC C C
x x x x x x
     
  
4! 5.4! 4.6.5.4! 5 401
(4 )! ! (5 )(4 )! 3.(6 )(5 )(4 )! 5 (5 )(6 )x x x x x x x x x x
    
        
  
2(5 )(6 ) 5(6 ) 40 6 40 0 10( 4(loaïi), loaïi)x x x x x x x              PT vô nghiệm 
e) Đk: Z x  1: 1 2!3 2 3 2 3 2 3 2 0 1, 2
( 1)!x
xA x x x x x x x x
x
              

f) Đk: Z x, 0  x  12: 2 114 14 14
14! 14! 14!2 2
(14 )! ! (12 )!( 2)! (13 )!( 1)!
x x xC C C
x x x x x x
     
    
  
1 1 2 ( 1)( 2) (14 )(13 ) 2( 2)(14 )
(14 )(13 ) ( 2)( 1) (13 )( 1)
x x x x x x
x x x x x x
          
     
  
2 12 32 0 4, 8x x x x      
THPT Tân Bình – Bình Dương. TỔ HỢP & XÁC SUẤT 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 7 
§3. NHỊ THỨC NEWTON. 
1) CÔNG THỨC NHỊ THỨC: 
   0 1 1 1 1
0
. . ...
n
n k n k k n n n n n n
n n n n n
k
a b C a b C a C a b C ab C b   

       
 Nhận xét: Công thức nhị thức Newton có: 
 (n + 1) số hạng. 
 Số hạng thứ k + 1 là k n k knC a b
 . 
 Các hệ số có tính đối xứng theo tính chất k n kn nC C
 . 
 Tổng số mũ của a và b luôn bằng n. 
 
0
2
n
n k
n
k
C

 
 
0
(1 )
n
n k k
n
k
x C x

  
 1Vd Khai triển biểu thức 
6( )x y 
Giải: Ta có 
6
6 6 0 6 1 5 2 4 2 3 3 3 4 2 4 5 5 6 6
6 6 6 6 6 6 6 6
0
( ) k k k
k
x y C x y C x C x y C x y C x y C x y C xy C y

         
6 5 4 2 3 3 2 4 5 66 15 20 15 6x x y x y x y x y xy y       
 2Vd Tìm hệ số của 
2 4x y trong khai triển biểu thức 6( )x y 
Giải: Ta có 
6
6 6
6
0
( ) k k k
k
x y C x y

  
Nên hệ số của 2 4x y ứng với k = 4 là 46C = 15. 
 3Vd Khai triển biểu thức 
6( 2)x  
Giải: Ta có 
6
6 6 0 6 1 5 2 4 2 3 3 3 4 2 4
6 6 6 6 6 6
0
( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)k k k
k
x C x C x C x C x C x C x

             
5 5 6 6 6 5 4 3 2
6 6( 2) ( 2) 12 60 160 240 192 64C x C x x x x x x          . 
 4Vd Tìm hệ số của 
9x trong khai triển biểu thức 19(2 )x 
Giải: Ta có 
19 19
19 19 19
19 19
0 0
(2 ) 2 ( ) ( 1) 2k k k k k k k
k k
x C x C x 
 
      
Nên hệ số của 9x ứng với k = 9 là 9 9 19 919( 1) 2C
 = –94595072. 
2) TAM GIÁC PASCAL: 
 Các hệ số trong việc khai triển hằng đẳng thức 0 1 2 3( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,....a b a b a b a b    có thể xếp thành 
một tam giác gọi là tam giác Pascal. 
 Các ô trong tam giác Pascal được tính theo công thức 
 5Vd 1 + 2 + 3 + 4 = [(
0
2C +
1
2C ) +
2
3C ] + 
3
4C = (
1
3C +
2
3C ) + 
3
4C =
2
4C + 
3
4C =
3
5C = 10. 
THPT Tân Bình – Bình Dương. TỔ HỢP & XÁC SUẤT 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 8 
BÀI TẬP. 
1) Khai triển biểu thức theo công thức nhị thức Newton: 
a) 5( 2 )a b ; b) 6( 2)a  ; c) 
131x
x
  
 
 Hướng dẫn: 
a) 5 4 3 2 2 3 4 510 40 80 80 32a a b a b a b ab b     ; b) 6 5 4 3 26 2 30 40 2 60 24 2 8a a a a a a      ; 
c) 
13
13 2
13
0
( 1)k k k
k
C x 

 
2) Tìm hệ số của 7x trong khai triển biểu thức: 
a)  111 x ; b)  153 2x 
 Hướng dẫn: a) 711 330C  b) 
7 8 7
153 2C 
3) Tìm hệ số của 5 8x y trong khai triển biểu thức  13x y . 
 Hướng dẫn: 813 1287C  
4) Tìm hệ số của 3x trong khai triển biểu thức 
6
2
2x
x
  
 
. 
 Hướng dẫn: 162 12C  
5) Tìm hệ số của 25 10x y trong khai triển biểu thức  153x xy . 
 Hướng dẫn:    5 1025 10 3x y x xy có hệ số là 1015 3003C  
6) Biết hệ số của 2x trong khai triển của (1 3 )nx là 90. Tìm n. 
 Hướng dẫn: Ta có 
0 0
(1 3 ) ( 3 ) ( 3)
n n
n k n k n k k n k
n n
k k
x C x C x  
 
      
2
( 3) 90n k kn
n k
C
 

 
! 20
( 2)!
n
n
 

( 1) 20 4( ), 5loaïin n n n       . Đáp số n = 5. 
7) Biết hệ số của 2nx  trong khai triển của 1
4
n
x  
 
 là 31. Tìm n. 
 Hướng dẫn: 
0
1 1
4 4
n kn
k n k
n
k
x C x 

        
   
  k = 2 và 
2
21 !31 31.16.2
4 ( 2)!n
nC
n
        
2 992 0 31( ), 32loaïin n n n       . Đáp số n = 32 
8) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
8
3 1x
x
  
 
. 
 Hướng dẫn:  
8 8 883 3 24 4
8 8
0 0
1 1 kkk k k
k k
x C x C x
x x
 
 
        
   
  . Khi 24 – 4k = 0  k = 6 thì 0 1x  . 
Do đó số hạng không chứa x trong khai triển là 68 28C  
9) Từ khai triển biểu thức 17(3 4)x  thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được. 
 Hướng dẫn: 
17 17
17 17 17 17
17 17
0 0
(3 4) (3 ) ( 4) 3 ( 4)k k k k k k k
k k
x C x C x  
 
      . 
Tổng các hệ số là 
17
17 17
17
0
3 ( 4) (3 4) 1k k k
k
C 

     . 
10) Chứng minh rằng: 
a) 1011 1 chia hết cho 100; b) 100101 1 chia hết cho 10000; 
 Hướng dẫn: 
a) 
10
10 10 10 10 1 9 9 10 2
10 10 10
0
11 1 (1 10) 1 10 10 10 ... 10 1 1 10 .. 10k k
k
C C C

              chia hết cho 100. 
THPT Tân Bình – Bình Dương. TỔ HỢP & XÁC SUẤT 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 9 
§4. PHÉP THỬ & BIẾN CỐ. 
1) PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU: 
 Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết dược tập 
hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. 
 Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và ký 
hiệu là  (ô mê ga). 
 1Vd Không gian mẫu của phép thử “Gieo một con súc sắc” là tập hợp  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
2) BIẾN CỐ: 
 Biến cố A là một tập con của không gian mẫu . 
 Tập  được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Tập  được gọi là biến cố chắc chắn. 
 2Vd Xét biến cố B: “Số chấm trên mặt xuất hiện là số lẻ khi gieo 1 con súc sắc” và biến cố C: “Số 
chấm trên mặt xuất hiện là số 0 khi gieo 1 con súc sắc”. Hãy viết tập B và C mô tả hai biến cố trên. 
Giải: B = {1, 3, 5}, C =  là biến cố không hề xảy ra. 
3) PHÉP TOÁN TRÊN BIẾN CỐ: 
 Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử. Tập  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A, ký 
hiệu là A . 
 3Vd Xét biến cố A: “Số chấm trên mặt xuất hiện là số lẻ khi gieo 1 con súc sắc” và biến cố B: “Số 
chấm trên mặt xuất hiện là số chẵn khi gieo 1 con súc sắc”. 
Ta có A và B là hai biến cố đối nhau và viết A B hoặc B A . 
 Nếu C = A  B thì C là biến cố “A hoặc B”. Nếu C = A  B (còn viết A.B) thì C là biến cố “A và B”. 
 A  B =  thì ta nói A và B xung khắc. 
 4Vd Xét phép thử gieo một đồng tiền hai lần với các biến cố: 
A: “Kết quả của hai lần gieo là như nhau”; 
B: “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”; 
C: “Lần thứ hai mới xuất hiện mặt sấp”; 
D: “Lần đầu xuất hiện mặt sấp”. 
A = {SS, NN}; B = {SN, NS, SS}; C = {NS}; D = {SN, SS}. 
C  D = {SN, NS, SS}= B; 
A  D = {SS} là biến cố “Cả hai lần đều xuất hiện mặt sấp”. 
BÀI TẬP. 
1) Gieo một đồng tiền ba lần. 
a) Mô tả không gian mẫu. 
b) Xác định các biến cố: 
A: “Lần đầu xuất hiện mặt sấp”; 
B: “Mặt sấp xảy ra đúng một lần”; 
C: “Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần”. 
 Hướng dẫn: 
a)  = {SSS, SSN, NSS, SNS, NNS, NSN, SNN, NNN}; 
b) A = {SSS, SSN, SNS, SNN}; 
B = {SNN, NSN, NNS}; 
C = {NNN, NNS, SNN, NSN, NSS, SSN, SNS} =  \ {SSS}. 
2) Gieo một con súc sắc hai lần. 
a) Mô tả không gian mẫu. 
b) Phát biểu biến cố sau dưới dạng mệnh đề: 
A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}; 
B = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)}; 
C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}. 
 Hướng dẫn: 
a)  = {(i, j)| 1  i, j  6} 
b) A: “Lần gieo đầu xuất hiện mặt sáu”; 
THPT Tân Bình – Bình Dương. TỔ HỢP & XÁC SUẤT 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 10 
B: “Tổng số chấm hai lần gieo là 8”; C: “Kết quả của hai lần gieo như nhau”. 
3) Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên ha