Bài tập Tìm điểm cố định của họ đường cong

Diemcodinh
Dear Diemcodinh,
Vấn đề tìm điểm cố định của họ đường cong
Bài toán: Cho họ đường cong (Cm) có phương trình y = f(x,m) (x là biến số, m là tham số). Tìm điểm cố định mà mọi (Cm) đều đi qua.
Phương pháp: 
Giả sử Mo(xo,yo) là điểm cố định mà họ (Cm) đi qua với mọi m khi đó 
 yo=f(xo,m) đúng với mọi m hay phương trình ẩn m : yo- f(xo,m) = 0 (1) luôn nghiệm đúng mọi m.
Ví dụ: 1. Cho hàm số ( (Cm) m là tham số .
a) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m thì đồ thị ((Cm) của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh răng mỗi đường cong)(Cm) tiếp xúc nhau tại một điểm.Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm đó.
Giải:
a. Xét phương trình x3 + (m-1)x2 – 2(m+1)x +m -2 –y =0
Phương trình nghiệm đúng mọi m khi 
KL: )(Cm) luôn đi qua điểm cố định M(1,-4).
b.với m1 khác m2 2 đường cong (Cm1), (Cm2) tiếp xúc nhau có nghiệm
y=-4
Vậy họ đường cong luôn tiếp xúc nhau tại điểm (1,-4).Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến chung của họ đường cong tại (1,-4)là y=-3(x-1)-4 hay y = -3x-7.
Chú ý: Ta thường biến đổi (1) về phương trình đa thức khi đó để phương trình nghiệm đúng thì các hệ số phải đồng thời triệt tiêu.
 Nếu bài toán yêu cầu tìm điểm có k đường cong đi qua thì (1) phải có k nghiệm.
Ví dụ 2: Chứng minh họ đường cong y = (1-2m)x2-(3m-1)x +5m – 2 (2) luôn đi qua hai điểm cố định với mọi m.
ta có điều phải chứng minh.