Bài tập Quan hệ vuông góc ôn thi đại học

hẳng:
 a) SA và BD.
 b) SC và BD.
 c) AC và SD.
4) Cho hai tam giác cân không đồng phẳng ABC và ABD có đáy chung AB.
 a) CM: AB ^ CD.
 b) Xác định đoạn vuông góc chung của AB và CD.
5) Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ (ABC) và SA = a. DABC vuông tại B với AB = a. M là trung điểm AB. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SM và BC
6) Cho hình vuông ABCD cạnh a. I là trung điểm của AB. Dựng IS ^ (ABCD) và IS = . Gọi M, N, P là trung điểm của BC, SD, SB. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
 a) NP và AC.
 b) MN và AP.
VI) Mặt cầu:
 2) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. OA = a, OB = b, OC = c. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
 3) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA ^ (ABC); SA = . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
 4) Cho hình chóp tứ giác đều ABCD, cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
 5) Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = a, SA ^ (ABCD); SA = 3a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
 6) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang cân ABCD ngoại tiếp với đường tròn tâm O bán kính a. Đường cao của hình chóp là SO = 2a.
 a) CM: O cách đều các mặt bên của hình chóp S.ABCD.
 b) Xác định tâm và bán kính của hình cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD.
 7) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc của mặt bên với đáy là (a).
 8) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, đường cao SH = h.
 9) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O, SO ^ (ABCD).
 a) CM: O cách đều các mặt bên của hình chóp. Từ đó suy ra hình chóp có mặt cầu nội tiếp.
 b) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp biết SO = h, góc BAD = a, a < 900 và AB = a
 10) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC = 2a. các cạnh bên SA = SB = SC = b . Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
 11) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
 12) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (BCD). 
 a) Tính AH.
 b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
 13) Cho tứ diện S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, 
SA = a, SA ^ (ABC). Gọi M là trung điểm của AB. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
 14) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) dựng từ tâm O của hình vuông lấy một điểm S sao cho OS = . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
 15) Cho ba nửa đường thẳng Ox, Oy, Oz không đồng phẳng và góc xOy = 900 góc yOz = 600 , góc zOx = 120. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC = a.
 a) CM: DABC vuông tại B.
 b) Gọi I là trung điểm của AC. CM: OI ^ (ABC).
 c) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC16) Cho DABC cân có góc BAC = 1200 và đường cao AH = a. Trên đường thẳng D vuông góc (ABC) tại A lấy hai điểm I, J ở hai bên điểm A sao cho DIBC đều và DJBC vuông cân.
 a) Tính các cạnh của DABC.
 b) Tính AI, AJ và CM: DBIJ, DCIJ là tam giác vuông. 
 c) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện IJBC, IABC.
 17) Cho DABC vuông cân tại B (AB = a). Gọi M là trung điểm của AB. Từ M dựng đường thẳng vuông góc (ABC) trên đó lấy điểm S sao cho DSAB đều.
 a) Dựng trục của các đường tròn ABC và SAB.
 b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
VII) Diện tích, Thể tích khối đa diện
 1) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy AB = a và các mặt bên hợp với đáy một góc a. Tính thể tích và của hình chóp.
 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a, AD = b, SA = b, SA ^ (ABCD). M là điểm thuộc SA với AM= x, mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N. Tính thể tích khối đa diện ABCDMN theo a, b và x.
 3) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là DABC vuông cân có AB = AC = a, cạnh bên AA' = a. gọi E là trung điểm của AB, F là hình chiếu vuông góc của E lên BC. mặt phẳng (C'EF) chia lăng trụ thành hai phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó.
 4) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông có CA = CB = a; 
CC' = 2a. M, N là trung điểm của AB và AA', mặt phẳng (C'MN) cắt BC tại P.
 a) CM: PC = 2PB.
 b) Tính: V. 
 5) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi E, F là trung điểm của C'D' và C'B'. Mặt phẳng (AEF) chia hình lập phương thành hai phần. Tính thể tích của mỗi phần.
 6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD), SA = h. Gọi I, J, K là trung điểm của SA, BC, CD. Chứng minh mặt phẳng (IJK) chia hình chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.
7) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng avà góc ASB = a.
 a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp.
 b) Chứng minh rằng đường cao của hình chóp bằng 
 c) Tính thể tích hình chóp.
8) Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy.Đáy ABC là một tam gíc cân đỉnh A. Trung tuyến AD bằng a. Cạnh SB tạo với đáy góc a và tạo với mặt phẳng (SAD) góc b.
 a) Xác định các góc a và b.
 b) Chứng minh rằng: SB2 = SA2 + AD2 + BD2.
 c) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp.
9) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. E và F lần lượt là trung điểm của C'B' và C'D'.
 a) Xác định thiết diện của hình lập phương tạo bởi (AEF).
 b) Tính thể tích hai phần của hình lập phương do mặt phẳng (AEF) cắt ra.
10) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Từ A hạ các đường vuông góc AE với SB và AF với SD.
Chứng minh: (AEF) ^ SC
Gọi P là giao điểm của (AEF) với SC. Tìm quỹ tích của P khi S chạy trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với đáy ABCD
Chứng minh rằng có hai vị trí của S trên Ax sao cho VPABCD bằng một giá trị V cho trước với điều kiện V không vượt quá một giá trị V1 nào đó mà ta phải xác định 
VII) Toán tổng hợp các phần:
 1) Cho DABC đều có đường cao AH = 3a, lấy điểm O trên đoạn AH sao cho AO = a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác tại O lấy điểm S sao cho OS = BC.
 a) CM: BC ^ SA.
 b) Tính SO, SA, SH theo a.
 c) Qua I trên đoạn OH vẽ mặt phẳng (a) ^ OH. (a) cắt AB, AC, SC, SB lần lượt tại M, N, P, Q. CM: MNPQ là hình thang cân.
 d) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và x = AI. Xác định x để diện tích này có giá trị lớn nhất.
 2) Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABCD). Đáy ABC không phải là tam giác cân. Gọi B' và C' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC.
 a) Chứng minh tứ giác BCC'B' nội tiếp được và các cạnh BC và B'C' không song song.
 b) CM: 5 điểm A, B, C, B', C' ở trên một mặt cầu.
 c) Gọi I là giao điểm của đường thẳng BC và B'C'. CM: góc IAB = góc ICA
 3) Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau Ax, By hợp với nhau một góc là 600,
 AB = a là đoạn vuông góc chung. Trên Ax, By lần lượt lấy các điểm C, D sao cho AC = 2a, BD = a. Gọi (a) là mặt phẳng chứa By // Ax, E là hình chiếu vuông góc của C lên (a).
 a) CM: CD ^ By.
 b) Chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E ở trên một mặt cầu, tính bán kính mặt cầu đó.
 c) Tính góc hợp bởi CD và mặt phẳng (ABC).
 d) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của CE và AD.
4) Cho hai nửa đường thẳng Ax, By hợp với nhau góc nhọn a nhận AB = h làm đoạn vuông góc chung. Trên By lấy điểm C với BC = a, gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên Ax. Gọi Az là nửa đường thẳng qua A và // By
 a) Tính độ dài AD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD).
 b) Xác định tâm của mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
 c) Tính khoảng cách từ D đến By.
5) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng avà góc ASB = a.
 a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp.
 b) Chứng minh rằng đường cao của hình chóp bằng 
 c) Tính thể tích hình chóp.
6) Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy.Đáy ABC là một tam gíc cân đỉnh A. Trung tuyến AD bằng a. Cạnh SB tạo với đáy góc a và tạo với mặt phẳng (SAD) góc b.
 a) Xác định các góc a và b.
 b) Chứng minh rằng: SB2 = SA2 + AD2 + BD2.
 c) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp.
7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB và là một điểm di động trên đường thẳng BC.
 a) Chứng minh rằng SH ^ (ABCD). Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
 b) Tìm tập hợp các hình chiếu vuông góc của S lên DM.
 c) Tính khoảng cách từ S đến DM theoa và x = CM.
8) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. E và F lần lượt là trung điểm của C'B' và C'D'.
 a) Xác định thiết diện của hình lập phương tạo bởi (AEF).
 b) Tính thể tích hai phần của hình lập phương do mặt phẳng (AEF) cắt ra.
9) Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông cạnh a; SA = a và SA ^ (ABCD), AI, AJ và AE là các đường cao xuất phát từ A trong tam giác SAB, SAD và SAC
Chứng minh: AI, AJ, AE đồng phẳng
Chứng minh rằng tứ giác AIEJ có các đường chéo vuông góc nhau và tính diện tích của nó 
10) Cho hình chóp SABCD đáy là hình chữ nhật cạnh; SA ^ (ABCD). Dựng các đường cao AH, AK trong tam giác SAB và SAD. Chứng minh: 
(AHK) ^ (SBC) và (AHK) ^ (SCD) 
11) Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chữ nhật tại A lấy một điểm S. mặt phẳng qua CD cắt SA tại M và SB tại N
CDMN là hình gì?
Nói cách dựng đường vuông góc hạ từ S vuông góc với (CDMN) 
12) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D và AB = 2a; AC = DC = a; SA = a là đoạn thẳng vuông góc với (ABCD)
Chứng minh (SAC) ^ (SBC)
Tính góc nhị diện (A, SB, C) 
13) Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Hai điểm M và N di động trên các cạnh BC và CD. Đặt Chứng minh: = x và CN = y. Trên đường thẳng At vuông góc với (P) lấy một điểm S. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để:
Góc của các mặt phẳng (SAM) và (SAN) bằng 450
(SAM) ^ (SMN) 
14) Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc với nhau; SA = a
Chứng minh: (SAB) ^ (SBC) và (SBD) ^ (SAC)
Xác định và tính góc nhị diện (S, BD, A)
Xác định và tính góc nhị diện (B, SC, D)