Bài tập Quan hệ vuông góc có lời giải (P3)

Câu 1: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy.
	a) Chứng minh tam giác SBC vuông.
	b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh (SAC) ^ (SBH).
	c) Cho AB = a, BC = 2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
4
0,25
a)
SA ^ (ABC) Þ BC ^ SA, BC ^ AB (gt)Þ BC ^ (SAB) Þ BC ^ SB
0,50
Vậy tam giác SBC vuông tại B
0,25
b)
SA ^ (ABC) Þ BH ^ SA, mặt khác BH ^ AC (gt) nên BH ^ (SAC)
0,50
BH Ì (SBH) Þ (SBH) ^ (SAC)
0,50
c)
Từ câu b) ta có BH ^ (SAC) Þ 
0,50
0,50
Câu 2: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA ^ (ABC), SA = .
	a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BC ^ (SAM).
	b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC).
	c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
b)
0,50
4
0,25
a)
Tam giác ABC đều, 	(1)
0,25 
cân tại S 	(2)
0,25 
Từ (1) và (2) suy ra BC ^ (SAM)
0,25 
b)
(SBC)(ABC) = BC, 
0,50 
0,25 
AM = 
0,25 
c) 
Vì BC ^ (SAM) Þ (SBC) ^ (SAM)
0,25 
0,25 
0,25 
0,25
Câu 3: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, đường cao SO = . Gọi I là trung điểm của SO.
	a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).
	b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD).
	c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
4
0,25
a)
Gọi M, N lân lượt là trung điểm của CD và CB. 
S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên có: OM ^ CD, SM ^ CD Þ CD ^ (SOM) 
Vẽ OK ^ SM Þ OK ^ CD Þ OK ^(SCD) 	(*)
0,25
I là trung điểm SO, H là trung điểm SK Þ IH // OK Þ IH ^ (SCD) 	(**)
Từ (*) và (**) ta suy ra IH = 
0,25
0,25
b)
0,25
0,25
: 
0,25
=
0,25
c)
AC ^ BD, AC ^SO Ì (SBD) (do SO^(ABCD)) ÞAC^(SBD). 
Trong DSOD hạ OP ^ SD thì cũng có OP^ AC
0,50
0,50
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA ^ (ABCD), . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.
	a) Chứng minh rằng MN // BD và SC ^ (AMN). 
	b) Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc.
	c) Tính góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD).
Câu
Ý
	Nội dung
Điểm
4
a)
, 
0,25
0,25
0,25
Vậy 
0,25
b)
0,50
,MN // BD 
0,50
c) 
 AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) Þ 
0,50
0,50
Câu 5: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Cạnh SA = a và SA(ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD. 
	a) Chứng minh BC (SAB), CD (SAD).
	b) Chứng minh (AEF) (SAC).
	c) Tính tan j với j là góc giữa cạnh SC với (ABCD).
CÂU
Ý
NỘI DUNG
ĐIỂM
4
a)
Vì 
0,50
0,50
b)
, các tam giác SAB, SAD vuông cân FE là đường trung bình tam giác SBD 
0,25
0,50
0,25
c)
 nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) 
0,50
0,50
Câu 6: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = , SD= và SA (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
	a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
	b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
	c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND).
NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =, SD= và SA (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
 0,25
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
	 các tam giác SAB, SAD vuông tại A
0,25
	 vuông tại B
0,25
	vuông tại D
0,25
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
	, 
0,50
0,50
	c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND).
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 7: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = .
	a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
	b) Chứng minh rằng: (SAC) (SBD) .
	3) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
4
0,25
a)
Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
các tam giác SAD và SAB đều vuông tại A
0,25
 vuông tại D
0,25
 vuông tại B
0,25
b)
Chứng minh rằng: (SAC) (SBD) .
0,50
0,50
c)
Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC
0,25
Þ 
0,25
 vuông tại A nên , AC = 
0,50
Câu 8: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD).
	a) Chứng minh: (SAB) ^ (SBC).
	b) Chứng minh: BD ^ (SAC).
	c) Cho SA = . Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
CÂU
Ý
NỘI DUNG
ĐIỂM
4
0,25
a)
Chứng minh: (SAB) ^ (SBC).
0,50
0,25
b)
 Chứng minh: BD ^ (SAC)
0,50
0,50
c)
Cho SA = . Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)
Vì AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
0,25
0,25
0,50
Câu 9: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh bằng a, nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của AB.
	a) Chứng minh tam giác SAD vuông.
	b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC.
	c) Gọi F là trung điểm của AD. Chứng minh (SID) ^ (SFC). Tính khoảng cách từ I đến (SFC).
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
4
0,25
a)
Chứng minh tam giác SAD vuông.
0,25
 vuông tại A
0,5
b)
 Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC.
*) 
*) Gọi M,N,Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD, BC Þ 
 MNQB là hình bình hành 
0,25
 mà BC//AD, NQ//MB nên 
0,25
, 
Vậy NQ là đoạn vuông góc chung của BC và SD
0,25
Tam giác SAB đều cạnh a (gt) nên MB = 
0,25
c)
Gọi F là trung điểm của AD. Chứng minh (SID) ^ (SFC). Tính khoảng cách từ I đến (SFC).
Tam giác SAB đều cạnh a nên 
 ,
 mặt khác 
0,50
Hạ
0,50
Câu 10: (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có AB = BC = a, AC = .
	a) Chứng minh rằng: BC ^ AB¢.
	b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh (BC¢M) ^ (ACC¢A¢).
	c) Tính khoảng cách giữa BB¢ và AC¢.
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
4
0,25
a)
Tam giác ABC có DABC vuông tại B
0,25
0,50
b)
 Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh (BC¢M) ^ (ACC¢A¢).
*) Tam giác ABC cân tại B, MA = MC 
0,50
0,50
c)
Tính khoảng cách giữa BB¢ và AC¢.
BB¢ // (AA¢C¢C) Þ 
0,50
0,50
Câu 11: (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, CA = a, CB = b, mặt bên AA¢B¢B là hình vuông. Từ C kẻ CH ^ AB¢, HK // A¢B (H Î AB¢, K Î AA¢).
	a) Chứng minh rằng: BC ^ CK, AB¢ ^ (CHK).
	b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA¢B¢B) và (CHK).
	c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK).
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
4
0,25
a)
Chứng minh rằng: BC ^ CK, AB¢ ^ (CHK).
0,25
0,50
b)
 Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA¢B¢B) và (CHK).	
Có 
0,50
0,50
c)
 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK).
Ta đã có tại H nên 
0,25
0,25
0,25
Trong DACB’ vuông tại C: 
0,25