Bài tập Quan hệ vuông góc có lời giải (P2)

ứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a, I là trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: (OAI) (ABC).
	2) Chứng minh rằng: BC (AOI).
	3) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI). 
	4) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB .
Giải : 
1) 	· OA ^ OB, OA ^ OC Þ OA ^ BC	(1)
	· DOBC cân tại O, I là trung điểm của BC Þ OI ^ BC	(2)
	Từ (1) và (2) Þ BC ^ (OAI) Þ (ABC) ^ (OAI)
2) 	Từ câu 1) Þ BC ^ (OAI) 
3) 	· BC ^ (OAI) Þ 
	· 
	· DABC đều Þ 
	· DABI vuông tại I Þ Þ 
	4) Gọi K là trung điểm của OC Þ IK // OB Þ 
	· DAOK vuông tại O Þ 
	· 	· 	· DAIK vuông tại K Þ 
Bài 3) Cho hình chóp S.ABC có DABC vuông tại A, góc = 600 , AB = a; hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = a. Hạ BH ^ SA (H Î SA); BK ^ SC (K Î SC).
	1) Chứng minh: SB ^ (ABC)
	2) Chứng minh: mp(BHK) ^ SC.
	3) Chứng minh: DBHK vuông .
	4) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK).
Giải:
1)	
2) 	CA ^ AB, CA ^ SB Þ CA ^ (SAB) Þ CA ^ BH
	Mặt khác: BH ^ SA Þ BH ^ (SAC) Þ BH ^ SC
	Mà BK ^ SC Þ SC ^ (BHK)
3) 	Từ câu 2), BH ^ (SAC) Þ BH ^ HK Þ DBHK vuông tại H.
4)	Vì SC ^ (BHK) nên KH là hình chiếu của SA trên (BHK)
	Þ 
	Trong DABC, có: 
	Trong DSBC, có: ; 
	Trong DSAB, có: 
	Trong DBHK, có: Þ 
	Þ 
Bài 4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA = 2a.
	1) Chứng minh ; 
	2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).
	3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))
Giải:
1) 	· BD ^ AC, BD ^ SA Þ BD ^ (SAC) Þ (SBD) ^ (SAC)
	· CD ^ AD, CD ^ SA Þ CD ^ (SAD) Þ (DCS) ^ (SAD)
2) 	· Tìm góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD)
	SA ^ (ABCD) Þ 
	· Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAD)
	AB ^ (ABCD) Þ 
	· Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAC).
	BO ^(SAC) Þ .	
	, Þ 
	3) · Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
	Trong DSAD, vẽ đường cao AH. Ta có: AH ^ SD, AH ^ CD Þ AH ^ (SCD) Þ d(A,(SCD)) = AH.
	 Þ 
	· Tính khoảng cách từ B đến (SAC)
	BO ^ (SAC) Þ d(B,(SAC)) = BO = 
Bài 5) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, và SA = SB = SD = a.
	a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD).
	b) Chứng minh tam giác SAC vuông.
	c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).
Giải:
a) 	Vẽ SH ^ (ABCD). Vì SA = SB = SC = a nên HA = HB = HD 	Þ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD 	
	Mặt khác DABD có AB = AD và nên DABD đều. 
	Do đó H là trọng tâm tam giác ABD nên 
	Như vậy, 
b) 	Ta có DABD đều cạnh a nên có 
	Tam giác SAC có SA = a, AC = 
	Trong DABC, ta có: 
	Tam giác SHA vuông tại H có 
	 Þ tam giác SCA vuông tại S.
	c) 
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC= , I là trung điểm cạnh AC, AM là đường cao của DSAB. Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho IS = a.
	a) Chứng minh AC ^ SB, SB ^ (AMC).
	b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC).
	c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC). 
Giải:
a)	· AC ^ BI, AC ^ SI Þ AC ^ SB.
	· SB ^ AM, SB ^ AC Þ SB ^ (AMC)
b) 	SI ^ (ABC) Þ 
	AC = 2a Þ BI = a = SI Þ DSBI vuông cân Þ 
c) 	SB ^ (AMC) Þ 
	Tính được SB = SC = = BC Þ DSBC đều Þ M là trung điểm của 	SB Þ 
Câu 7: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi O là tâm của đáy ABCD.
	a) Chứng minh rằng (SAC) ^ (SBD), (SBD) ^ (ABCD).
	b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC).
	c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC.
Giải: 
a)	· Vì S.ABCD là chóp tứ giác đều nên 
	Þ Þ (SAC) ^ (SBD)
	· Þ (SBD) ^ (ABCD)
b)	· Tính 
	SO ^ (ABCD) Þ 
	Xét tam giác SOB có 
	· Tính 
	Lấy M là trung điểm BC Þ OM ^ BC, SM ^ BC Þ BC ^ (SOM) Þ (SBC) ^ (SOM).
	Trong DSOM, vẽ OH ^ SM Þ OH ^ (SBC) Þ 
	Tính OH:
	DSOM có 
	c) Tính 
	Trong DSOC, vẽ OK ^ SC. Ta có BD ^ (SAC) Þ BD ^ OK Þ OK là đường vuông góc chung của BD và SC Þ .
	Tính OK:
	DSOC có 
Câu 8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, , đường cao SO = a. 
	a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC. Chứng minh rằng: BC (SOK)
	b) Tính góc giữa SK và mp(ABCD). 
	c) Tính khoảng cách giữa AD và SB.
Giải:
a)	· AB = AD = a, đều 
	· BC ^ OK, BC ^ SO Þ BC ^ (SOK).	
b)	Tính góc của SK và mp(ABCD) 
	· SO ^ (ABCD) 	
	· có 
	 Þ 
	c) Tính khoảng cách giữa AD và SB
	· AD // BC Þ AD // (SBC) Þ 
	· Vẽ OF ^ SK Þ OF ^ (SBC)
	· Vẽ AH // OF, H Î CF Þ AH ^ (SBC) Þ .
	· DCAH có OF là đường trung bình nên AH = 2.OF
	· DSOK có OK = , OS = a Þ 
Câu 9): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA (ABC), SA= a. M là một điểm trên cạnh AB, , hạ SH CM.
	 a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên đoạn AB.
	 b) Hạ AK ^ SH. Tính SK và AH theo a và .
Giải: 
a) 	Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên AB
	· SA ^ (ABC) Þ AH là hình chiều của SH trên (ABC). 
	Mà CH ^ SH nên CH ^ AH.
	· AC cố định, Þ H nằm trên đường tròn đường kính 	AC nằm trong mp(ABC).
	Mặt khác:	 + Khi M ® A thì H º A
	 + Khi M ® B thì H º E (E là trung điểm của BC).
	Vậy quĩ tích các điểm H là cung của đường tròn đường kính 	AC nằm trong mp(ABC).
	 b) Tính SK và AH theo a và 
	· DAHC vuông tại H nên AH = 
	· 
	· vuông tại A có 
Câu 10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; SA = SB = SC = SD = . Gọi I và J lần lượt là trung điểm BC và AD.
	a) Chứng minh rằng: SO (ABCD).
	b) Chứng minh rằng: (SIJ) (ABCD). Xác định góc giữa (SIJ) và (SBC).
	c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
Giải: 
a)	Vì SA = SC nên SO ^ AC, SB = SD nên SO ^ BD
	Þ SO ^ (ABCD).
b) 	· I, J, O thẳng hàng Þ SO Ì (ABCD).
	 SO ^ (ABCD) Þ (SIJ) ^ (ABCD)
	· BC ^ IJ, BC ^ SI Þ BC ^ (SIJ) Þ (SBC) ^ (SIJ)
	Þ 
c) 	Vẽ OH ^ SI Þ OH ^ (SBC) Þ 
	DSOB có Þ DSOI có Þ Þ 
Bài 11: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH.
	1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
	2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).
 	3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
Giải:
1) CMR: BC ^ (ADH) và DH = a.
	DABC đều, H là trung điểm BC nên AH ^ BC, AD ^ BC 
	Þ BC ^ (ADH) Þ BC ^ DH Þ DH = d(D, BC) = a
2) CMR: DI ^ (ABC).
	· AD = a, DH = a DDAH cân tại D, mặt khác I là trung điểm 	AH nên DI ^ AH 
	· BC ^ (ADH) Þ BC ^ DI
	Þ DI ^ (ABC)
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
	· Trong DADH vẽ đường cao HK tức là HK ^ AD 	(1) 
	Mặt khác BC ^ (ADH) nên BC ^ HK 	(2) 
	Từ (1) và (2) ta suy ra 
	· Xét DDIA vuông tại I ta có:
	· Xét DDAH ta có: S = = Þ 
Câu 12) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = . Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD). Thiết diên cắt bởi (P) và hình chóp là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó.
Giải:
· 	Trong tam giác SAD vẽ đường cao AH Þ AH ^ SD 	(1)
· 	SA ^ (ABCD) Þ CD ^ SA
	CD^ AD Þ CD ^ (SAD) Þ CD ^ AH	(2)
· 	Từ (1) và (2) Þ AH ^ (SCD) 
	Þ (ABH) ^ (SCD) Þ (P) ™ (ABH) 
· 	Vì AB//CD Þ AB // (SCD), (P) É AB nên (P) Ç (SCD) = HI
	Þ HI // CD Þ thiết diện là hình thang AHIB. 
	Hơn nữa AB ^ (SAD) 
	Vậy thiết diện là hình thang vuông AHIB.
·	
· 	DSAD có 
	(3)
	(4)
	· Từ (3) và (4) ta có: 	.
Bài 13: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, .
	a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.
	b) Chứng minh OA vuông góc BC.
	c) Gọi I, J là trung điểm OA và BC. Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung OA và BC.
Giải: 
a) CMR: DABC vuông.
	· OA = OB = OC = a, nên DAOB và DAOC 	đều cạnh a 	(1)
	· Có Þ DBOC vuông tại O và 	(2)
	· DABC có 
	Þ tam giác ABC vuông tại A
b) CM: OA vuông góc BC.
	· J là trung điểm BC, DABC vuông cân tại A nên .
	DOBC vuông cân tại O nên 
c) 	 Từ câu b) ta có 	
	(3)
	Từ (3) ta có tam giác JOA cân tại J, IA = IO (gt) nên IJ ^ OA	(4)
	Từ (3) và (4) ta có IJ là đoạn vuông góc chung của OA và BC.
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ (ABCD) và ABCD là hình thang vuông tại A, B . AB = BC = a, .
	a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
	b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD).
	c) Tính khoảng cách giữa AD và SC.
Giải: 
a) CM các mặt bên là các tam giác vuông.
	Þ DSAB và DSAD vuông tại A.
	·BC ^ AB, BC ^ SA Þ BC ^(SAB) Þ BC ^ SB
	Þ DSBC vuông tại B
	· 
	· hạ CE ^ AD Þ DCDE vuông cân tại E nên 
	EC = ED = AB = a 	
	· nên tam giác SDC vuông tại C.
	b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD)
	·
	c) Tính khoảng cách giữa AD và SC
	· Ta có 
	· Hạ AH .
	· Vậy 
Câu 15: Cho hình hộp ABCD.EFGH có . Gọi I là trung điểm của đoạn BG. Hãy biểu thị vectơ qua ba vectơ .
Câu 16: Cho tứ diện đều cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện .
Tứ diện ABCD đều, nên ta chỉ tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện AB và CD.
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, và .
	1) Chứng minh : .
	2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
	3) Tính góc giữa SC và (ABCD)
Giải: 
	a) Chứng minh : .
	· ABCD là hình vuông nên BD ^ AC, BD^ SA (SA ^ (ABCD)) Þ BD ^ (SAC) Þ BD ^SC
	· (SBD) chứa BD ^ (SAC) nên (SBD) ^ (SAC)
	b) Tính d(A,(SBD))
	· Trong DSAO hạ AH ^ SO, AH ^ BD (BD^ (SAC)) nên AH ^ (SBD)
	· , SA = và DSAO vuông tại A 
	nên 
c) Tính góc giữa SC và (ABCD)
	· Dế thấy do SA (ABCD) nên hình chiếu của SC 	trên (ABCD) là AC Þ góc giữa SC và (ABCD) là 	. Vậy ta có:
Câu 18: 
Đặt 
Cách khác: 
Câu 19: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD¢ và B¢C.
Giải:
	Gọi M là trung điểm của B¢C, G là trọng tâm của DAB¢C.
	Vì D¢.AB¢C là hình chóp đều, có các cạnh bên có độ dài 	, nên BD’ là đường cao của chóp này Þ BD¢ ^ (AB¢C)
	Þ BD¢ ^ GM.
	Mặt khác DAB¢C đều nên GM ^ B¢C
	 GM là đoạn vuông góc chung của BD’ và B’C.
	·Tính độ dài GM = 
Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông góc với (ABCD). Gọi I, K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD.
	a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông.
	b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK).
	c) Tính góc giữa SC và (SAB).
	d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
Giải: 
a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông.
	· SA^ (ABCD) nên SA^