Bài tập phụ đạo Tự chọn Toán Đại số khối 11

à C: “có đúng một con xuất hiện mặt 6 chấm”
Giải:a) vậy khôg gian mẫu có 36 phần tử. Hay . ( có thể liệt kê như thường làm)
b) A ={(6;1),(5;1),(5;2),(4;1),(4;2),(4;3),(3;1),(3;2),(3;3),(3,4),(2;1),(2;2),(2;3)
,(2;4),(2;5),(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(\1;6)}
vậy n(A) = 21 nên P(A) = 
c) giống như trên n(B) = và n(C) = 
Bài 2.
Chọn ngẫu nhiên 5 người có tên trong danh sách 20 người, đánh số từ 1 đến 20. Tính xác suất để 5 người được chọn có số thứ tự không lớn hơn 10.
Giải:
chọn 5 trong số 20 người nên 
Số thứ tự không vượt quá 10 nên ta chọn 5 người trong tập những người có số thứ tự từ 1 đến 1-. Vậy
số trường hợp thuận lợi là: 
vậy xác suất cần tìm là 
Bài 3. Chọn ngẫu nhiên ba bạn từ một tổ có 6 nam và 4nữ để làm trực nhật. Tính xác suất sao cho trong đó:
a) cả 3 đều nam.
b) có đúng hai bạn nam
c) có ít nhất 1 nam
Hướng dẫn – đáp án.
( chọn 3 nam trong số 6 nam)
( chọn 2 nam trong số 6 nam và 1 nữ trong số 4 nữ)
Dùng biến cố đối để tính C:”có ít nhất một bạn nam” lúc đó “không có bạn nam nào” ( tức là 3 nữ)
( chọn 3 nữ trong số 4 nữ), suy ra xác suất từ đó suy ra P(C).
Bài 4. Gieo ba đồng xu cân đối. Tính xác suất để :
a) cả 3 đồng xu đều sấp
b) có ít nhất 1 đồng xu sấp
c) có đúng 1 đồng sấp.
Giải:
Có thể giải bằng cách liệt kê hoặc dùng các quy tắc tính xác suất để tính.
ở đây giải bằng cách liệt kê
từ đó ta dễ dàng suy ra các câu a,b,c
hai bài sau đây coi như để kiểm tra lại xem những gì đã học lại nhé.
Bài 5. Cho một cỗ bài tú lơ khơ có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên 4 lá. Tính xác suất để:
a. 4 lá đều là át.
b. Có hai con át
c. Có ít nhất 1 con át.
d. Có hai con át và hai con K.
Bài 6. Hai hộp chứa các quả cầu. hộp 1 chứa 3 đỏ và 2 xanh. Hộp 2 chứa 4 đỏ và 6 xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho:
a. Cả hai quả đều đỏ.
b. Hai quả cùng màu.
c. hai quả khác màu.
Chủ đề PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC.
Các bước quy nạp:
- Kiểm tra lại với giá trị khởi đầu. Thông thường là 0 hoặc 1. Tuy nhiên trong một số bài có thể là các giá trị khác.
- Giả sử đúng khi n = k
- Chứng minh đúng với n = k+1
Bài tập: Chứng minh rằng:
a. 
b.
c.
d.
e. 
f. Với mỗi số nguyên dương n, đặt . Chứng minh rằng luôn chia hết cho 19.
Chủ đề DÃY SỐ.
* Dãy số cho công thức của số hạng tổng quát.
Bài 1. Viết 3 số hạng đầu và xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số (un) khi số hạng tổng quát:
	a. .
	b. un=(-1)n.2n.
	c. un=3n-7.
	d. 
Bài giải.
a. 
 với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số tăng.
(un) là dãy số tăng nên vậy un³-1. Dãy số bị chặn dưới.
b.
 Nên dãy số là dãy số không tăng và cũng không giảm.
(un) là dãy số không bị chặn..
c. 
 với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số tăng.
(un) là dãy số tăng nên vậy un³-4. Dãy số bị chặn dưới.
d. 
 với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số giảm.
(un) là dãy số tăng nên vậy un£3. Dãy số bị chặn trên.
* Dãy số cho dưới dạng hệ thức truy hồi.
Bài 2. Viết 3 số hạng đầu và xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số (un) khi cho dãy số dưới dạng hệ thức truy hồi.
	a. .
	b. .
	c. .
	d. .
Bài giải:
a. 
 với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số tăng.
(un) là dãy số tăng nên vậy un³1. Dãy số bị chặn dưới.
b. 
 với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số giảm.
(un) là dãy số tăng nên vậy un£1. Dãy số bị chặn trên.
c. 
 với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số giảm.
(un) là dãy số tăng nên vậy un£1. Dãy số bị chặn trên.
d. 
 với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số tăng.
(un) là dãy số tăng nên vậy . Dãy số bị chặn dưới.
Chủ đề CẤP SỐ.
Công thức cần nhớ:
Để xét tính tăng hay giảm của dãy số ta xét hiệu nếu hiệu này dương,đây là dãy số tăng, ngược lại nếu âm, đây là dãy giảm. 
Để chứng minh một dãy số là cấp số cộng cần chứng minh với là hằng số. Lúc đó được gọi là công sai. 
Tổng của n số hạng đầu tiên 
Bài 1.Cho dãy số .
a) xét tính tăng, giảm của dãy số trên.
b) Chứng minh rằng đây là một cấp số cộng, tìm .
c) Tìm tổng của 50 số hạng đầu tiên của dãy.
giải:
ta xét vậy:
a) đây là dãy số tăng do 
b) đây là cấp số cộng vì không đổi và d = 19.
c) 
vậy 
Bài 2. Tìm cấp số cộng biết
Áp dụng các công thức về cấp số cộng ta có:
thay vào 2 phương trình trên ta có hệ sau đây:
tới đây có hai giá trị của d là 4 và -4. Vậy có hai giá trị của hoặc 
vậy có hai cấp số cộng thỏa điều kiện.
Bài 3 Cho một cấp số cộng 1,6,11 Tìm x biết:
1 + 6 + 11 + 16 +..+x = 970.
bài này ta phải tìm giá trị của x biết rằng x là một phần tử của cấp số cộng. giả thiết cho 970 chính là tổng của n số hạng đầu tiên đấy. 
ta nhận thấy cấp số cộng này có .
giả sử x là số hạng thứ n(n >0). vậy ta có.
vậy áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên ta có:
Tới đây tự bấm máy để suy ra ( do n>0)
vậy x là số hạng thứ 40 nên 
bài 4. Viết 5 số hạng xen giữa 25 và 1 để được một cấp số cọng có 7 số hạng. Số thứ 50 của dãy là số mấy?
Bài 5. Cho cấp số cộng với Tìm số hạng tổng quát của CSC.
Bài 4. Cho dãy số (un) với un=9-5n.
Chứng minh (un)là cấp số cộng.
Tính u100 và S100.
Bài giải.
un+1-un=-5 (không đổi).
vậy dãy số là cấp số cộng với u1=9-5.1=4 và công sai d=-5.
Bài 5. Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) thỏa:
a. 
b. 
Bài giải:
a. .
b. 
c. .
d. 
(1) suy ra d=2
(2) suy ra 
Vậy có hai cấp số cộng thỏa: .
Bài 6.
Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) .
Bài giải:
Từ u1+u3=2u2 và từ (1) ta suy ra u2=9 tức là u1+d=9
Từ (2) suy ra .
Mà u1+d=9 suy ra u1=9-d. Thay vào trên ra có được d2=16. Suy ra .
Vậy .
* Cấp số nhân
Dạng 1: Xác định các yếu tố của một cấp số nhân
Phương pháp chung: 
Dựa vào giả thiết bài toán và áp dụng các tính chất của cấp số nhânđể tìm ra các yếu tố của cấp số nhân đã cho. 
Bài tập 
Bài 1: Cho Cấp số nhân 2,6,18,54,162,... 
Tính U1,q,U10,S10 ? 
Giải: 
Bài 2: Xác định số hạng đầu tiên và công bội của một cấp số nhân trong mỗi trường hợp sau: 
a, U4 - U2=54 và U5 - U3=108. 
b, U1 + U2 + U3=35 và U4 + U5 + U6=280. 
Giải: 
Dạng 2: Chứng minh một dãy số là một cấp số nhân
Để chứng minh (Un) là một cấp số nhân ta có thể dùng các cách chứng minh sau: 
Bài tập: 
Bài1: Cho dãy số (Un) được xác định bởi U1=2, Un+1=3+4Un. 
CMR: Dãy số (Vn) xác định bởi Vn=Un+1 là cấp số nhân. 
Giải: 
Dạng 3: Tìm điều kiện để 3 số lập thành một cấp số nhân
Phương pháp chung: 
  Để a, b, c lập thành một cấp số nhân điều kiện là: ac=b2 
Bài toán được chuyển về việc giải phương trình. 
Bài tập 
Bài 1:	Tìm x để 3 số x - 2, x - 4, x + 2 lập thành một cấp số nhân. 
Giải: 
Dạng 4: Tính tổng
Phương pháp chung 
Thông thường bài toán được chuyển về tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân. 
Bàì tập 
Bài 4. Cho dãy số (un) có un=2n-1.
Chứng minh (un) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó.
Tính S10.
Bài giải:
Ta có (không đổi). Vậy (un) là cấp số nhân.
Số hạng đầu u1=20=1; công bội q=2
b. .
Bài 5. Cho cấp số nhân (un) thỏa: .
Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó.
Tính S10.
Bài giải.
.
Bài 6. Cho cấp số nhân (un) thỏa: .
Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó.
Tính S10.
Bài giải.
a. 
+ .
+ .
b. + q=2 và u1=1 thì .
 +thì và u1=-16.
Bài 7. Cho cấp số nhân (un) thỏa:
Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó.
Tính S10.
Bài giải.
a. 
b. 
Chủ đề. GIỚI HẠN DÃY SỐ-GIỚI HẠN HÀM SỐ-HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. GIỚI HẠN DÃY SỐ.
*Sử dụng kết quả: 
a. .
b. 
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
	b. .
	d. 
Bài giải:
a..
b. .
c. .
d. .
Bài 2. Tính các giới hạn sau.
	b. 
c. 	d. .
e. 	f. 
Bài giải: 
a.	
b.
c. 	
d. e. 	
f. 
Bài 3. Tính các giới hạn.
	b. 	
c. 	d. 
Bài giải.
Bài tập tự giải.
II.GIỚI HẠN HÀM SỐ.
Bài 1. Tính các giới hạn sau.
	b. 
d. 	e. 
f. 	g. 
Bài giải.
b. 
d. 
e. 
f. 
g. 
Bài 2. Tính các giới hạn sau:
	b. 
Bài gải.
b. 
Bài 3. Tính các giới hạn sau.
	b. 
Bài giải.
Bài 4. Tính các giới hạn sau.
a.	 	b. 
c. 	d. .
e. 	f. 
Bài giải. 
a. 	
b
. 
c. 	
d. 
 e. 	
f. 
III. Chủ đề HÀM SỐ LIÊN TỤC.
Bài 1. Tính các giới hạn sau.
;	b. 
c. 	
d. 	
e. 
f. 
Bài giải.
;
b. 
c. 	
d. 	
e. 
f. 
Bài 2. Cho các hàm số 
	b. 
Tính các giới hạn sau: ; ; ; f(1)?
Bài giải.
a1. x®1+ tức là x>1, khi đó .
Vậy 
a2. x®1- tức là x<1, khi đó .
Vậy 
Vậy không tồn tại .
f(1)=5.(1)+3=8
b1. x®1+ tức là x>1, khi đó .
Vậy 
b2. x®1- tức là x<1, khi đó .
Vậy .
Vậy .
Bài 2. Xét tính lien tục của các hàm số sau lại x0=1 
	b. 
Bài giải.
Ta có 
f(1)=1. Do đó . Vậy f(x) liên tục tại x0=1
Ta có 
f(1)=3. Do đó . Vậy f(x) liên tục tại x0=1
Bài 3. Cho hàm số .
Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=0.
Bài giải.
Ta có .
Hàm số f(x) liên tục lại x0=0 khi và chỉ khi 
Bài 4. Cho hàm số .
Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=4.
Bài giải.
Ta có 
Hàm số f(x) liên tục lại x0=4 khi và chỉ khi 
Bài 5. Cho hàm số .
Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=-1.
Bài giải.
Ta có 
Hàm số f(x) liên tục lại x0=-1 khi và chỉ khi 
Chủ đề ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ.
Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cho hàm số :
Tính đạo hàm hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số có đạo hàm tại điểm , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1:  Xét tính liên tục của hàm số tại điểm 
Bước 2:  Tính (Đạo hàm bên trái):
Bước 3:  Tính (Đạo hàm bên phải):
Bước 4:  Đánh giá  hoặc giải , từ đó đưa ra kết luận.
Ví dụ: Cho hàm số : 
                           Tính đạo hàm của hàm số tại 
Lời giải:
Ta có : 
           Do đó: 
           Vậy hàm số liên tục tại x=0
Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm 
                           =
Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm 
                          =
        Nhận xét :   nên hàm số không có đạo hàm tại x=0
Kết luận: Hàm số có đạo hàm bên trái, bên phải , nhưng khong có đạo hàm tại x=0. 
Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số trên một khoảng ( dùng định nghĩa).
            Để tính đạo hàm của hàm số :  trên một khoảng  , bằng định nghiã , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Giả sử là số gia của đối số tại , tính 
Bước 2: Lập tỉ số : 
Bước