Bài tập Ôn thi Tốt nghiệp môn Toán - Số phức

SỐ PHỨC
BÀI 1: SỐ PHỨC
Khái niệm số phức
1. Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thỏa mãn i2 = -1. Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi.
i: đơn vị ảo.
a: phần thực.
b: phần ảo.
Chú ý: 
z = a + 0i (b = 0) = a được gọi là số thực .
z = 0 + bi = bi (a = 0) được gọi là số ảo(số thuần ảo) và i = 0 + 1i được gọi là đơn vị ảo.
0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo.
Ví dụ: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau
z = 2 + , z = -i 
z = -3 + , z = -i3.
2. Hai số phức z = a + bi , z’ = a’ + b’i () gọi là bằng nhau nếu . Khi đó ta viết z = z’.
Ví dụ: Tìm các số thực x và y, biết: (2x +1) + (3y - 2)i = (x + 2) + (y + 4)i 
II. Biểu diễn hình học số phức
Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) (còn viết M(a + bi) hay M(z)) trong mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt phẳng phức) (hình vẽ) y
Gốc tọa độ O biểu diễn số 0
Trục hoành Ox (trục thực) biểu diễn các số thực
Trục tung Oy (trục ảo) biểu diễn các số ảo
 b M
Ví dụ: Biểu diễn hình học các số phức
A(3 + 2i), B(2 – 3i), C(-3 – 3i), D(3i) 
E(-2i), F(4).
 0 a x
III. Phép cộng và phép trừ số phức
Cho hai số phức z = a + bi , z’ = a’ + b’i (). Ta có:
Cộng hai số phức: z + z’ = (a + a’) + (b +b’)i
Trừ hai số phức: z – z’ = z + (-z’) = (a – a’) + (b – b’)i
Chú ý: 
Phép cộng, trừ số phức có các tính chất tương tự như phép cộng, trừ số thực (kết hợp, giao hoán).
Số đối của z = a + bi là – z = - a – bi 
Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức:
biểu diễn số phức z = a + bi, biểu diễn số phức z’ = a’ + b’i thì 
 biểu diễn số phức z + z’.
 biểu diễn số phức z - z’. 
Ví dụ: Tính tổng và hiệu hai số phức: (3 + i) và (2 – 3i), (1 – 2i) và (2 + 2i), (2 – 2i) và (-2 + 3i).
IV. Phép nhân số phức
Tích của hai số phức z = a + bi , z’ = a’ + b’i () là số phức
	zz’ = (a + bi)( a’ + b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i 
Chú ý: Phép nhân số phức có các tính chất tương tự như phép nhân số thực (kết hợp, giao hoán và phân phối).
Ví dụ: Tính (2 - i)(1 + 2i), (2 + i)(2 - i), (2 + i)(1 + 2i), 
V. Số phức liên hợp và môđun của số phức:
	1) Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của z = a + bi là . Như vậy:	
Ví dụ: Tìm số phức liên hợp của các số phức sau 2 + 3i, - 4 - , i, -i
Chú ý: 
Hai số phức liên hợp các điểm biểu diễn của chúng đối xứng nhau qua trục thực Ox.
.
 .
2) Môđun của số phức: Môđun của số phức z = a + bi là số thực không âm và được kí hiệu là |z| (không phải trị tuyệt đối). Như vậy:
Chú ý: 
 và |z| = 0 .
.
Ví dụ: Tính môđun của các số phức sau 2 + 3i, -4 - , i, -i
VI. Phép chia cho số phức khác 0.
Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số .
Thương của phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’ với số nghịch đảo của z là . Như vậy: Nếu thì .
 Chú ý: 
Với , ta có .
Để tính ta chỉ việc nhân cả tử số và mẫu số với (nhân lượng liên hợp).
Với , = và .
Ví dụ: Tính 
Bài tập: 
Tìm phần thực, phần ảo và môđun của mỗi số phức sau:
(4 - i) + (2 + 3i) – (5 + i).
(1 + i)2 – (1 - i)2.
(2 + i)3 – (3 - i)3.
(i + 1)2(2 – i)z = 8 + i + (1 + 2i)z. (CĐ – 2009 )
.
.
.
.
Cho số phức z = x + iy . Tìm phần thực, phần ảo và môđun của mỗi số phức sau:
z2 – 2z + 4i.
.
Cho các số phức z1 = 1 + 2i, z2 = -2 + 3i, z3 = 1 – i. Hãy tính và sau đó tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức đối và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:
.
.
.
.
Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:
.
.
.
.
.
Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: và .
Tìm số phức z thỏa mãn: .
Tìm số phức z thỏa mãn: và (ĐHKB – 2009)
Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
.
.
. (ĐHKD – 2009)
là số thực tùy ý, là số ảo tùy ý.
.
.
BÀI 2: CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC
Căn bậc hai của số phức.
Định nghĩa: Cho số phức . Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = được gọi là một căn bậc hai của .
Trường hợp là số thực:
 = a = 0. Có đúng một căn bậc hai là 0.
 = a khác 0.
a > 0: có hai căn bậc hai là .
a < 0: có hai căn bậc hai là 
Trường hợp = a + bi , b khác 0. z = x + yi là căn bậc hai của khi và chỉ khi . Mỗi cặp số thực (x; y) nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai z của số phức .
 Ví dụ: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
-1, -i2, - 5 + 12i, i.
, , 
Phương trình bậc hai.
Mọi phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (1) (A, B, C là số phức cho trước, A khác 0) đều có hai nghiệm phức ( có thể trùng nhau). Việc giải phương trình được tiến hành tương tự như trong trường hợp A, B, C là những số thực. cụ thể:
	Xét biệt thức .
Nếu thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , trong đó là một căn bậc hai của .
Nếu thì phương trình (1) có nghiệm kép .
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
z2 – z + 1 = 0.
z2 + (-2 + i)z – 2i = 0.
z2 = z + 1.
z2 + 2z + 5 = 0.
z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0.
(z2 + i)(z2 – 2iz - 1) = 0.
8z2 – 4z + 1 = 0, 2z2 – iz + 1 = 0. ( TNPT – 2009 )
. (CĐ – 2009)
z2 + 2z + 10 = 0 (z1 và z2 là nghiệm). Tính giá trị biểu thức (ĐHKA – 2009)
.
Bài tập: 
Giải các phương trình sau:
.
(2 + 3i)z = z – 1.
.
.
.
. 
.
.
.
.
.
.
2. Tìm số phức B để phương trình bậc hai z2 + Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
3. Tìm các số thực b, c để phương trình z2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm nghiệm.
4. Tìm các số thực a, b, c để phương trình z3 + az2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i và z = 2 làm nghiệm.
5. Giải phương trình .
6. Giải phương trình .
7. (có nghiệm z2 – 2z – 4 = 0).
8. .
9. .
10. .
11. Giải hệ , .