Bài tập ôn thi HSG khối 11- Chủ đề: Dãy số và giới hạn của dãy số

Bài tập 1. Cho dãy số (un ) là cấp số cộng. Trong đó ui > 0 với mọi i, công sai d,
chứng minh rằng:
áp dụng cho u1 = 4, d = 5, un = 2009
Bài tập 2. Cho dãy số (un) là cấp số nhân. Trong đó ui > 0 với mọi i. Biết rằng :
Chứng minh rằng: 
Bài tập 3. Rút gọn:
; P = sinx + sin2x+ sin3x+ ..sinnx; n n >2
Bài tập 4. Dãy số (Un) được xác định như sau:
Chứng minh 
HD: Từ gt ta có: suy ra Suy ra 
Bài tập 5. Cho (Un) là dãy số thoả mãn điều kiện với mọi i, j = 1, 2, . Chứng minh rằng với mọi n ta có: 
 (*)
HD: Dùng pp quy nạp: Giả sử (*) đúng với n = 2, 3, k-1. Lúc đó cộng các vế của k-1 bất đt ta được k(
Với chú ý 2(u1+u2+..uk-1) = (u1+uk-1)+(u2+uk-2)+> (k-1)uk
Bài tập 6. Dãy số (un) xác định như sau:
Tìm giới hạn sau: .
Bài tập 7. Dãy số (un) thoả mãn điều kiện sau:
Tìm Limun
Bài tập 8. Dãy số (un) xác định như sau:
 Đặt Tìm Lim Sn .
HD: Từ gt suy ra ui+1 -1 = ui(ui - 1), i = 1, 2,.. và có ui > 1, với i = 2, 3, ..
Ta có được 
Bài tập 9. Dãy số (un) xác định như sau:
Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim un và hãy tìm giới hạn này.
HD: Xét 2 TH
a >2 hoặc a 2-n (quy nạp)
Từ đó ta có un+1 = un - 2-n-1 suy ra un = a-1+2-n suy ra limun = a-1
2. . Ta chứng minh 0 theo nguyên lí kẹp ta có limun = 0.
Bài tập 10. Dãy số (un) xác định như sau:
Dãy số (vn) được xác định như sau: . Tìm lim vn.