Bài tập Ôn thi học kì I - Giải tích cơ bản Lớp 12

Trường Đại học Y Dược TPHCM, 1996)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Yêu cầu bài toán hay có hai nghiệm phân biệt thoả 
Vậy giá trị cần tìm là: 
26. Cho hàm số .Định m để hàm số đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 Yêu cầu bài toán hay có hai nghiệm phân biệt thoả 
 (a)
 (b)
Kết hợp (a) và (b) ta có giá trị cần tìm là: .
26. Cho hàm số . Hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) ở về hai phía khác nhau của đường tròn (phía trong và phía ngoài): .
 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học An Ninh, 2000)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị 
Đặt 
Hai điểm A, B ở về hai phía của hai đường tròn 
 (do )
Cách khác
Phương trình đường tròn được viết lại:
 có tâm và bán kính 
Ta có:
Điểm B nằm ở ngoài 
Do đó:
Điểm A nằm phía trong đường tròn 
 .
27. Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu thoả .
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt 
 (*)
Theo định lí Vi-ét và theo đề bài, ta có:
 (1)
 (2)
 (3)
Từ (1) và (3), ta có: 
Thế vào (2), ta được:
 (do )
 (thoả (*))
Vậy giá trị cần tìm là: 
28. Cho hàm số . 
 Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đó.
 (Trích ĐTTS vào Học viện Kĩ thuật Mật mã, năm 1999)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu có hai nghiệm phân biệt 
Lấy y chia cho y’, ta có:
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1)
Ta có:
Tương tự ta cũng có:
Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là:
.
29. Cho hàm số . Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu.
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu có hai nghiệm phân biệt 
 (*)
Lấy y chia cho y’, ta có:
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1)
Theo định lí Vi-ét, ta có:
Ta có:
Tương tự ta cũng có: 
Yêu cầu bài toán 
So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: .
30. Cho hàm số . 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng .
 (Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu có hai nghiệm phân biệt 
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số và I là trung điểm của đoạn AB 
Do là nghiệm của (1) nên theo định lí Vi-ét, ta có:
, 
Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng 
Đường thẳng và AB có hệ số góc lần lượt là:
.
Với :
Đồ thị hàm số có hai cực trị là 
Trung điểm của AB là: 	
T a có: 
Vậy: thoả yêu cầu bài toán.
31. Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.
 (Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 1997)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 
Khi đó :
Đồ thị hàm số có một điểm cực đại là và hai điểm cực tiểu là 
Các điểm A, B, C lập thành một tam giác đều 
 (do )	
Vậy giá trị cần tìm là: .
32. Cho hàm số . Xác định các giá trị của tham số k để đồ thị của hàm số chỉ có một điểm cực trị.	 
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số chỉ có một cực trị có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó
Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm 
Vậy giá trị cần tìm là: .
33. Cho hàm số . Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm đó
Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 	
Vậy giá trị cần tìm là: 
34. Cho hàm số .Tìm m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm trên parabol .
Giải
Ta có: 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu có hai nghiệm phân biệt khác 1 
	 (*)
Khi đó:
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta thấy:
 Điểm cực tiểu là 
 (thỏa (*))
Vậy giá trị cần tìm là: .
35. Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số m thì hàm số đã cho có cực trị. Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
 (Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 1999)
Giải
Ta có: 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt khác 1 
 (*)
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1)
Khi đó: 
Ta có:
, đạt được khi . So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: .
36. Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu.
 (Trích ĐTTS vào Trường Cao đẳng Sư phạm TPHCM, 2000)
Giải
Ta có: 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt khác 1 
	 (*)
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1)
Khi đó:
Hai giá trị cực trị cùng dấu 
So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: .
Cách khác
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt khác 1 và đổi dấu khi x qua hai nghiệm đó
 (*)
Hai giá trị cực trị cùng dấu Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt hay có hai nghiệm phân biệt khác 1
So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: .
37. Xác định p sao cho hàm số có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m với .
Giải
Ta có: 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu có hai nghiệm phân biệt khác 4 
 (*)
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1).
 Khi đó:
Bảng biến thiên
x
y’
y
x1
x2
4
y1
y2
+∞
+∞
+∞
-∞
-∞
-∞
0
0
-
+
+
-
Từ bảng biến thiên, ta thấy:
Do đó:
 (thoả (*))
Vậy giá trị cần tìm là: .
38. Cho hàm số . Tìm để hàm số đạt cực tiểu tại .
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực tiểu tại hay 
 có hai nghiệm phân biệt thoả: 
Vậy giá trị cần tìm là: .
39. 1) Cho hàm số . Chứng minh rằng nếu và thì ta có: .
2) Chứng tỏ rằng nếu hàm số: đạt cực đại tại và đạt cực tiểu tại thì ta có :	 
Giải
Ta có:
Do đó: 
 (đpcm)
Theo kết quả ở câu 1) nên ta có:
, 
 (đpcm)
40. Cho hàm số .
Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng bằng nhau.
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt khác -1 
 (*)
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1).
Theo định lí Vi-ét, ta có: 
Mặt khác: , 
Đặt 
Yêu cầu bài toán 
 (thoả (*))
Vậy giá trị cần tìm là: .
41. Cho hàm số .
1) Tìm để hàm số có cực đại và cực tiểu.
2) Giả sử y có giá trị cực đại, cực tiểu là . Chứng minh: . 
Giải
1) Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt khác -1 
Vậy giá trị cần tìm là: . 
2) Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1).
Theo định lí Vi-ét, ta có 
Mặt khác: , 
Do đó: 
Xét hàm số: 
Bảng biến thiên
 x	 	 
 	+
Từ bảng biến thiên, ta thấy .
Vậy: (đpcm)
42. Cho hàm số . Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số tương ứng có một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ của mặt phẳng toạ độ.
 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Dược TPHCM, 2001)
Giải
Ta có: 
 Tiệm cận xiên: 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (*)
Giả sử là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (*).
Yêu cầu bài toán 
 (a)
 Đồ thị hàm số không cắt trục Ox 
 hay vô nghiệm 
 (b)
 (c)
Từ (a), (b) và (c) ta có giá trị cần tìm là: .
43. Cho hàm số . 
1) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn luôn có các điểm cực đại và cực tiểu với mọi giá trị của m. Xác định toạ độ các điểm cực trị đó.
2) Chứng tỏ rằng chỉ có một điểm A duy nhất trên mặt phẳng toạ độ sao cho nó là điểm cực đại của đồ thị ứng với một giá trị thích hợp của m và cũng là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với một giá trị thích hợp khác. Tìm toạ độ của A.
 (Trích ĐTTS vào TTĐT Cán bộ Y tế TPHCM, 2000)
Giải
1) Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Ta có: 
Do đó:
Vậy đồ thịhàm số luôn có cực đại và cực tiểu. 
Toạ độ các điểm cực trị là: .
2) Đặt 
Giả sử ứng với giá trị thì A là điểm cực đại và ứng với giá trị thì A là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
Ta có:
; 
Do đó:
Vậy chỉ có một điểm A duy nhất thoả yêu cầu bài toán là: .
44. Cho hàm số . Xác định m để hàm số có cực trị, khi đó viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số.
 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Cảnh sát Nhân da