Bài tập ôn phép biến hình

TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 
Bài 1: Cho hinh bình hành ABCD 
Xác định ảnh của B qua phép tịnh tiến 
Xác định ảnh của đường thẳng DC qua phép tịnh tiến 
Xác định ảnh của ∆ ACD qua phép 
Bài 2 : Cho đường tròn (I,2) và đường thẳng AB không có điểm chung với đường tròn . Tìm ảnh của đường tròn(I,2) qua phép tịnh tiến theo 
Bài 3 : Cho tam giác đều ABC có O là trực tâm .
Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc 
Tìm ảnh của đường thẳng AB qua phép quay tâm O góc 1200
Tìm ảnh của ∆ ABC qua phép quay tâm O góc 600
Bài 4 : Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của AC và BD . Tìm ảnh của ∆ ABO qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 900 và phép tịnh tiến véc tơ 
Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm tam giác. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự :
a. Tâm G, tỉ số b. Tâm G, tỉ số 2 c. Tâm A, tỉ số – 2
Bài 6 : Cho hình chữ nhật ABCD, I là giao điểm của AC và BD .Gọi H,K,L và J lần lượt là rung điểm của AD,BC,KC và IC .Tìm ảnh của tứ giác IHDC qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm I góc 1800 và phép vị tự tâm C tỉ số 
TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ =(1;2)
a) Tìm tọa độ ảnh của A (2;1) qua phép .ĐS: A (3;-1) 
Tìm PT đường thẳng là ảnh của đường thẳng d:x-3y+4 =0 qua phép .ĐS:x-3y-3=0
Tìm PT đường thẳng ∆ là ảnh của đường thẳng d :2x+y+3 =0 qua phép ĐS:2x+y+3=0
Tìm PT đường tròn là ảnh của đường tròn (C) : (x-2)2 +(y+3)2 = 4 qua phép 
ĐS: (x-3)2 +(y+5)2 =4 
Bài 2 :
Bài 3 :Trong mp toạ độ Oxy, cho điểm A ( 1 ; - 1) và đường thẳng d:x+y-3 = 0 
a) Tìm ảnh B của A qua phép quay tâm O góc - 450 . 
Viết PT của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O góc 2700
 Viết PT của đường tròn (C’) là ảnh của (C): qua phép quay 
Bài 4 :Trong mp Oxy cho điểm I(1;1) và đường tròn tâm I bán kính bằng R = 2 .Viết PT của đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép và phép với 
Bài 5 : Trong mp Oxy cho điểm I(1;1) và đường tròn tâm I bán kính bằng R = 3 .Viết PT của đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép và phép 
Bài 6 : Trong mp tọa độ Oxy cho điểm , 
 Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua phép vị tự tâm I tỉ số k = 3 .
 Tìm PT của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d : x-y +2 = 0 qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 .
Viết PT đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C): qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 
Bài 7 : Cho đường thẳng d : x-2y-2 = 0 và đường thẳng () : x - y = 0 . Lập phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với đường thẳng (d) qua đường thẳng () . 
Giải
+ Tìm giao của d và d’ bằng I(x;y) là nghiệm của hệ : .I(-2;-2) 
+ Trên d lấy điểm A (0; -1) . Gọi đường thẳng 
 Vì (a) qua A nên -1+ c = 0 c = 1 
 Gọi .Suy ra tọa độ của H là nghiệm của phương trình : 
 Ta cĩ : nªn : . 
Bài 8: 1/Trong hệ trục tọa độ 0xy cho điểm A( 2 ;-4) và đường tròn (C) có phương trình 
x2 +y2 -8x +6y 11= 0. Gọi là điểm M di động trên đường tròn (C) 
a/ Tìm phương trình đường tròn (C’) ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm A 
b/ Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác OAM 
HD: a/ Đường tròn (C) có phương trình x2 +y2 -6x +8y 11= 0. Tâm I( 3:-4) bán kính R = 6 
(C’) ảnh của Đường tròn (C) qua ĐA có Tâm I (1;-4) có phương trình là (x-1)2+(y+4)2 = 36 
 b/ Gọi N trung điểm của 0A N cố định Khi M di động trên (C ) thì quỹ tích điểm G là đường tròn (C’’) ảnh của (C ) qua phép vị tự ( 1, 5 đ)
đường tròn (C’’) cố tâm I’’(5/3 ;- phương trình (C’’) là (x-5/3 )2+(y+8/3)2 = 4
Bài 9: 
HƯỚNG DẪN:
ÁP DỤNG PBH ĐỂ GIẢI DẠNG TỐN CHỨNG MINH 
Bài 1: Trên một đường thẳng d lấy ba điểm M, N, P theo thứ tự. Lấy các đoạn thẳng MN, NP làm cạnh, dựng các tam giác đều MNE và NPF nằm cùng về một phía đối với đường thẳng d. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MF và PE. Chứng minh rằng DNIK là tam giác đều
HƯỚNG DẪN:
_
I
_
K
_
F
_
E
_
M
_
P
_
N
Xét phép quay Q(N,600): 
M E; F PÞ M F ® EP	 Þ I K	 Þ NI = NK, = 600 Þ DNIK đều.
Bài 2 :
 HƯỚNG DẪN
Bài 3: 
HD:
 Bài 4 : 
Giải: 
Bài 5 : 
HD:
Bài 6 : Giải:
Bài 7 : 
Bài 8 : 
HD:
Bài 9: 
Cho hai đường trịn O và O’ tiếp xúc ngồi với nhau tại A .Một gĩc vuơng xAy quay xung quanh A , tia Ax cắt O tại M , tia Ay cắt O tại M’. Chứng minh đường thẳng MM’ luơn đi qua một điểm cố định . 
Giải
Nối MM’ cắt O’ tại N ta thấy : song song cùng chiều với . Tương tự A’ là giaocủa OO’ với với O’ ta cùng thấy : . Suy ra MM’ đi qua tâm vị tự của hai đường trịn . 
Bài 10: 
HƯỚNG DẪN
ÁP DỤNG PBH ĐỂ GIẢI DẠNG TỐN QUĨ TÍCH
Bài 1 : 
HD:
Bài 2 : Cho hai đường trịn (O) và (O’) bằng nhau và cắt nhau tại A,B. Một cát tuyến di động qua A cắt hai đường trịn đĩ lần lượt tại P và Q.
	a. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn PQ.
	b. I là trung điểm của đoạn PQ. Hãy tìm tập hợp của điểm M trên PQ định bởi .
	c. Tìm tập hợp trọng tâm G của DABI
HƯỚNG DẪN:
a. Lập luận DPBQ cân tại B Lập luận =90o
b. Suy ra 
c. Gọi N là trung điểm của AB
 Lập luận đến 
Bài 3 : 
HƯỚNG DẪN:
Bài 4: 
Cho đường tròn (O) đường kính AB, d là đường thẳng với AB tại B. MN là đường kính thay đổi khác AB. Gọi P, Q là giao điểm của d với các đường thẳng AM, AN. Đường thẳng đi qua M song song với AB cắt đường thẳng AN tại H.
1. CMR H là trực tâm D MPQ
2. CMR ABMH là hình bình hành
3. Tìm quĩ tích điểm H
HD: 3. Từ câu 2 Þ . Phép tịnh tiến theo véctơ BA biến M thành H
Vì M chạy trên (O) nên H chạy trên đường tròn ảnh của (O) qua phép tịnh tiến trên trừ đi 2 điểm ảnh là A, B
Bài 5 : Cho đường trịn O và một điểm P cố định ở ngồi (O) .Từ P kẻ một tiếp tuyến thay đổi PBC . Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC ?
Giải
Vẽ hình . Gọi I là trung điểm của BC thì theo tính chất của đường kính đi qua điểm giữa của dây cung : OI vuơng gĩc với BC . Như vậy I nằm trên đường trịn đường kính OP. Mặt khác theo tính chất trọng tâm , thì G nằm trên AI và cách A một khoảng bằng 2/3 AI , hay : . Nhưng I chạy trên đường trịn đường kính OP cho nên G chạy trên đường trịn (O’) là ảnh của đường trịn đường kính OP qua phép vị tự tâm A tỉ số 2/3.
- Cách xác định O’ bằng hệ : . ( Với H là trung điểm của OP )
Bài 6 : Cho đường trịn (O) và điểm I khơng nằm trên đường trịn đĩ .Với mỗi điểm A thay đổi trên đường trịn dựng hình vuơng ABCD tâm là I. 
Tìm quĩ tích các điểm C,B,D
Bài 7 : 
HD:
ÁP DỤNG PBH ĐỂ GIẢI DẠNG TỐN DỰNG HÌNH 
Bài 1 : Giải:
Bài 2: Cho đường thẳng d và hai điểm A,B ( nằm về hai phía của d ). Tìm điểm M trên d sao cho đạt GTLN 
Giải .
- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d 
- Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm .
- Thật vậy : . Giả sử tồn tại một điểm M’ khác với M trên d , khi đĩ : . Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’A’B thẳng hàng , nghĩa là M trùng với M’. 
Bài 3 : 
Cho hai đường trịn (O;R) và (O’;R’) và một đường thẳng d 
a/ Hãy tìm hai điểm M và M’ lần lượt nằm trên hai đường trịn đĩ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’
b/ Hãy xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT với (O;R) và tiếp tuyến IT’ với (O’;R’) tạo thành một gĩc TIT’ nhận đường thẳng d là đường phân giác trong hoặc ngồi .
Giải
Vẽ hình : 
a/ Giả sử M nằm trên (O;R) và M’ nằm trên (O’;R’) tỏa mãn yêu cầu bài tốn 
- Vì d là trung trực của MM’ cho nên M’ nằm trên đường trịn (C’) là ảnh của đường trịn (O;R) qua phép đối xứng trục d . Mặt khác M’ lại nằm trên (O’;R’) do vậy M’ là giao của (C’) với (O’;R’) 
- Từ đĩ suy ra cách tìm : 
Tìm hai đường trịn ảnh của hai đường trịn đã cho qua phép đối xứng trục d ( Lần lượt là (C’) và (C’’) 
Hai đường trịn này cắt hai đường trịn đã cho tại . Sau đĩ kẻ hai đường thẳng d’’ và d’’’ qua cắt (O;R) và (O’;R’) tại 
Các điểm cần tìm là và 
b/ Nếu MT và MT’ nhận d là phân giác trong hoặc ngồi của gĩc TIT’ thì MT và MT’ đối xứng nhau qua d . Từ đĩ suy ra cách tìm :
- Gọi d’ là ảnh của MT qua phép đối xứng d nghĩa là d’ là tiếp tuyến của đường trịn (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d. Mặt khác d’ là tiếp tuyến của (O’;R’) . Cho d’ là tiếp tuyến chung của (C ) với (O’;R’) . Từ đĩ ta suy ra cách tìm M :
Tìm (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d 
Kẻ d’ là tiếp tuyến chung của (C ) và (O’;R’) . Khi đĩ d’ cắt d tại M . Chính là điểm cần tìm .
Tương tự áp dụng cho (O’;R’) 
Số nghiệm hình bằng số giao điểm của các tiếp tuyến chung cắt d .
Bài 4 : 
HD:
DẠNG XÁC ĐỊNH PHÉP BIẾN HÌNH 
Bài 1 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x-2y+2=0 và d’: x-2y-8=0 . Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ và biến trục Ox thành chính nĩ .
Giải
Để thỏa mãn yêu cầu bài tốn thì ta làm như sau :
- Gọi M(x’y) thuộc d , M’(x’;y’) thuộc d’ . Giả sử tâm đối xứng là I(a;b) , thì theo cơng thức chuyển trục : .
- Để trục Ox thành chính nĩ thì tâm đối xứng phải cĩ dạng : I(a;0) tức là b=0 
- Từ hai kết quả trên ta cĩ : .
Bài 2 : 
Bài 3 : 
Giải:
Bài 4 : 
Giải:
Bài 5 : 
Giải: 
ÁP DỤNG PBH ĐỂ GIẢI DẠNG TỐN KHÁC 
Bài 1 : 
 Bài 2 : 
Giải:
DẠNG TỔNG HỢP
 ™™™&˜˜˜