Bài Tập Luyện Nâng Cao Toán 8 - Trường THCS B Hải Anh

®Ò thi häc sinh giái
MÔN : TOÁN Lớp : 8
§Ò sè 1
Bài 1 : a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử
 b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết 
 A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .
Bài 2 : Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng 
Bài 3 : Cho a2 – 4a +1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức P = 
Bài 4 : Tìm a để M có giá trị nhỏ nhất M = với a o
 Bài 5 : Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F.
 a) Chứng minh DE + DF = 2AM
 b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF 
 c) Chứng minh S2FDC 16 SAMC.SFNA
 Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vuông góc với MC( H thuộc MC), AH cắt BC tại D. Tìm tỉ số 
Hết
 HƯỚNG DẪN 
Bài 1 : a) x3- 5x2 + 8x - 4 = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – 4 = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 
 b) Xét 
 Với x Z thì A B khi Z 7 ( 2x – 3) 
 Mà Ư(7) = x = 5; -2; 2 ; 1 thì A B ( 0,25 đ)
 Bài 2 : ( 1,5 đ) Biến đổi = 
 = ( do x+y=1y-1=-x và x-1=- y) (0,25đ)
 = (0,25đ)
 = (0,25đ) 
 = = (0,25đ) 
 = = (0,25đ) 
 = Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ) 
 Bài 3 : (0,75đ) Ta có a2 - 4a + 1 = 0 a2 – a + 1 = 3a =3 (0,25đ)
 P = = 3 . (0,25đ)
 Mà = 3+2 = 5
 Suy ra P = 3 . 5 = 15 (0,25đ)
Bài 4 : ( 1 đ) M == (0,25đ)
 = (0,25đ) = (0,25đ)
 Dấu “=” xảy ra a – 2008 = 0 a = 2008 
 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là khi a = 2008 (0,25đ)
Bài 5 :(2,5đ) 
Câu a ( 0,75đ): Lý luận được : ( Do AM//DF) (1) 
 ( Do AM // DE) (2) ( 0,25đ)
 Từ (1) và (2) ( MB = MC) ( 0,25đ)
 DE + DF = 2 AM ( 0,25đ) 
Câu b ( 1 đ) : AMDN là hình bành hành 
 Ta có (0,25đ)
 (0,5 đ)
 => NE = NF (0,25đ)
Câu c : ( 0,75đ) AMC và FDC đồng dạng 
 FNA và FDC đồng dạng 
 ( 0,25đ)
 và 
 . (0,25đ)
 S2FDC 16 SAMC.SFNA (0,25đ)
 ( Do với x 0; y 0)
Bài 6 : ( 1 đ)
Kẻ MI // BC ( I AD) MI = 
Ta có : ( Do MI // BC)
 ( 1) ( 0,25đ)
MAH và ACH đồng dạng ( g-g) 
 ( ABC vuông cân tại A nên AB = AC ) 
 AH = 2 MH ( 0,25đ)
AMC vuông , ta có AH2 = MH . HC 
4MH2 = MH.HC HC = 4 MH ( 0,25đ)
Thay vào (1) ta có : ( 0,25đ)
§Ò sè 2
Bài 1: Cho biểu thức M = :
a) Rút gọn M
M=:=:
 M = = 
b)Tính giá trị của M khi = : = x = hoặc x = - 
Với x = ta có : M === Với x = - ta có : M === 
Bài 2: Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0, đồng thời thoả mãn
và . Chứng minh rằng 
HD Từ ayz + bxz + cxy = 0
Từ+++= 1+++=1
Mà ayz + bxz + cxy = 0 2ayz + 2bxz + 2cxy = 0 (Do abc0)
Hay (đpcm)
Bài 3: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0.
a. Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 - a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a)
b.Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác) (b+c +a) >0 ( BĐT trong tam giác)
(b-c -a) 0 ( BĐT trong tam giác)
Vậy A< 0
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : B =
 B == == 
Do x2 +1>0 nên B = 3 Dấu ''='' xãy ra x = 0
Vậy GTLN của B là 3x = 0 
Bài 5 : Cho hình vuông ABCD. Hai điểm I,J lần lượt thuộc hai cạnh BC và CD sao cho góc IAJ =450 .Đường chéo BD cắt AI và AJ tương ứng tại H và K. Tính tỉ số.
 Giải: Từ giả thiết góc HAJ = góc HDJ =450, suy ra tứ giác AHJD nội tiếp, từ đó góc AHJ =1v.Vậy tam giác AHJ vuông cân tại H.
 Suy ra (1)
 Xét tương tự ta có (2)
 Từ (1) và (2) suy ra . Do đó
 =.
§Ò sè 3
C©u 1
Cho T=.
 a/ Rót gän T. b/ T×m x ®Ó T ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. 
HD*TX§ x1.
 a/ Rót gän T= = = = 
 b/ §Ó T ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt th× nhá nhÊt mµ (x+1)2 +1>1 . 
VËy x=-1 th× T=1 lµ lín nhÊt
Bài 2: Chứng minh rằng nếu Với x y ; xyz 0 ; yz 1 ; xz 1.
Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)
HD Từ GT (x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz) 
x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2 
x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = 0
xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = 0
xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0
(x -y) = 0
Do x - y 0 nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0
Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm)
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: x2-4xy+5y2=16
HD 
 Ta có: x2-4xy+5y2=16x2-4xy+4y2+y2 = 16 (x-2y)2+y2 = 16
Vì x, yZ nên (x-2y)Z
 Tổng hai bình phương của hai số nguyên bằng 16 thì chỉ có 2 khả năng xảy ra
 a)
(x-2y)2=0 x=8; y=4
 y2=16 x=-8; y=-4
 b) y2=0 x=4; y=0
 (x-2y)2=16 x=-4; y=0
 Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên: (4;0); (-4;0); (8;4); (-8;-4)
C©u 4 (2 ®iÓm): Mét ng­êi ®i xe m¸y tõ S¬n §éng ®Õn B¾c Giang c¸ch nhau 80km. Mét nöa giê sau mét ng­êi ®i xe « t« tõ S¬n §éng ®Õn B¾c Giang tr­íc ng­êi ®i xe m¸y 10 phót. TÝnh vËn tèc cña mçi xe, biÕt vËn tèc cña xe « t« gÊp 1,5 lÇn vËn tèc xe m¸y.
HD Gäi vËn tèc cña ng­êi ®i xe m¸y lµ x km/h (x > 0)
=> vËn tèc cña ng­êi ®i xe « t« lµ 1,5x km/h . 
thêi gian ng­êi ®i xe m¸y lµ: (h) , thêi gian ng­êi ®i xe « t« lµ: ( h) 
theo bµi ra ta cã pt: - = (« t« ®i tr­íc 0,5 (h) + ®Õn sím 10 phót) = (h)
gi¶i pt trªn ®­îc x= 40. VËy vËn tèc cña ng­êi ®i xe m¸y lµ 40 km/h, vËn tèc cña ng­êi ®i xe « t« lµ 60 km/h 
Bài 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau tại G.
a) Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm của BC.
b) ABC ~AEF c) BDF = CDE 
d) H cách đều các cạnh của tam giác DE
 Giải
a)BG AB, CH AB, nên BG // CH
Tương tự BH AC, CG AC nên BH//CG
Tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối song 
song nên nó là hình bình hành.
Do đó hai đường chéo cắt nhau tại trung 
điểm của mỗi đường.Vậy GH đi qua trung điểm
M của BC.
b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC
nên các tam giác ABE và ACF vuông.
Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên chúng đồng dạng
Suy ra (1)
Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2)
Từ (1) và (2) suy ra ABC ~AEF.
c) Chứng minh tương tự ta được: BDF ~BAC, EDC ~BAC, suy ra
BDF ~EDC BDF = CDE
d) Ta cóBDF = CDE 900 - BDF = 900 -CDE 900 - BDF = 900- CDE ADB - BDF = ADC -CDE ADF = ADE
Suy ra: DH là tia phân giác góc EDF. Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân giác góc EFD. Suy ra H là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF. Vậy H cách đều ba cạnh của tam giác DEF.
§Ò sè 4
Bµi 1
Chøng minh r»ng ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n "nÎN ;
Cho ph©n sè (nÎN). Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n 2009 sao cho ph©n sè A cha tèi gi¶n. TÝnh tæng cña tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn ®ã.
Lêi gi¶i
§Æt d = ¦CLN(5n + 2 ; 3n + 1) Þ 3(5n + 2) – 5(3n + 1) M d hay 1 M d Þ d = 1.
 VËy ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n.
Ta cã . §Ó A cha tèi gi¶n th× ph©n sè ph¶i cha tèi gi¶n. Suy ra n + 5 ph¶i chia hÕt cho mét trong c¸c íc d¬ng lín h¬n 1 cña 29.
V× 29 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã n + 5 M 29 
Þ n + 5 =29k (k Î N) hay n=29k – 5.
Theo ®iÒu kiÖn ®Ò bµi th× 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009 
Þ 1 ≤ k ≤ 69 hay kÎ{1; 2;; 69}
VËy cã 69 sè tù nhiªn n tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Ò bµi. 
Tæng cña c¸c sè nµy lµ : 29(1 + 2 +  + 69) – 5.69 = 69690.
Bµi 2. Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn . 
 Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c cã hai sè ®èi nhau. Tõ ®ã suy ra r»ng :
.
Lêi gi¶i
 Ta cã : Û 
 Û Û 
 Û (a + b)(b + c)(c + a) = 0 Û Û Þ ®pcm.	 
 Tõ ®ã suy ra : 
	 Þ .
Bµi 3:Tìm GTNN của B = 3x + y - 8x + 2xy + 16.
HD : B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + 8 ³ 8.
 Þ MinB = 8 khi : Û . 
Bµi 4: §Ó thi ®ua lËp thµnh tÝch chµo mõng ngµy thµnh lËp ®oµn TNCS Hå ChÝ Minh (26/3). Hai tæ c«ng nh©n l¾p m¸y ®­îc giao lµm mét khèi l­îng c«ng viÖc. NÕu hai tæ lµm chung th× hoµn thµnh trong 15 giê. NÕu tæ I lµm trong 5 giê, tæ 2 lµm trong 3 giê th× lµm ®­îc 30% c«ng viÖc. NÕu c«ng viÖc trªn ®­îc giao riªng cho tõng tæ th× mçi tæ cÇn bao nhiªu thêi gian ®Ó hoµn thµnh
Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau tại G.
a) Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm của BC.
b) ABC ~AEF
c) BDF = CDE 
d) H cách đều các cạnh của tam giác DEF
 Giải
a)BG AB, CH AB, nên BG // CH
Tương tự BH AC, CG AC
 nên BH//CG
Tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối song 
song nên nó là hình bình hành.
Do đó hai đường chéo cắt nhau tại trung 
điểm của mỗi đường.Vậy GH đi qua trung điểm
M của BC.
b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC
nên các tam giác ABE và ACF vuông.
Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên chúng đồng dạng
Suy ra (1)
Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2)
Từ (1) và (2) suy ra ABC ~AEF.
c) Chứng minh tương tự ta được: BDF ~BAC, EDC ~BAC, suy ra
BDF ~EDC BDF = CDE
d) Ta cóBDF = CDE 900 - BDF = 900 -CDE 900 - BDF = 900- CDE ADB - BDF = ADC -CDE ADF = ADE
Suy ra: DH là tia phân giác góc EDF. Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân giác góc EFD. Suy ra H là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF. Vậy H cách đều ba cạnh của tam giác DEF.
 VÝ dô 3. §¬n gi¶n biÓu thøc :
.
Lêi gi¶i
§Æt S = a + b vµ P = ab. Suy ra : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = 
	a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = .
	Do ®ã : 
 Ta cã : A = 
 = 
 Hay A = 
 VÝ dô 4. Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biÖt. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña x :
.
	Lêi gi¶i
 C¸ch 1
 = Ax2 – Bx + C
 víi : ;
 ;
 Ta cã : ;
 ;
 .
 VËy S(x) = 1"x (®pcm).
 C¸ch 2
 §Æt P(x) = S(x) – 1 th× ®a thøc P(x) lµ ®a thøc cã bËc kh«ng vît qu¸ 2. Do ®ã, P(x) chØ cã tèi ®a hai nghiÖm.
 NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = 0 Þ a, b, c lµ ba nghiÖm ph©n biÖt cña P(x).
 §iÒu nµy chØ x¶y ra khi vµ chØ khi P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = 0 "x.
 Suy ra S(x) = 1 "x Þ ®pcm.
 VÝ dô 9. Cho . TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau :
 a) ; b) ; c) ; d) .
Lêi gi¶i
 a) ;
 b) ;
 c) ;
 d) Þ D = 7.18 – 3 = 123.
 VÝ dô 5. X¸c ®Þnh c¸c sè a, b, c sao cho : .
Lêi gi¶i
 Ta cã : 
 §ång nhÊt ph©n thøc trªn víi ph©n thøc , ta ®îc :
 . VËy .