Bài tập Lượng giác 11

2
cos 2 3 sin 4
cos ( )
4
x x
x 
 

 
2 2 3
3
2
2(cos sin ) 3 sin 4 2(cos sin ) (cos sin ) 3 sin 4
(sin cos )
x x x x x x x x
x x

      

  
2 2 22(cos sin )(cos sin ) 3 sin 4 2cos 2 (1 sin 2 ) 3 sin 4x x x x x x x x        
3cos 2
2 12
x x k       
h) Điều kiện 1sin 2
2 12
x x k       và 7
12
x k   ; sin 3 cos3 3cos sin
1 2sin 2
x x x x
x

 

  
3 33sin 4cos 4cos 3cos 3cos sin
1 2sin 2
x x x x x x
x
  
 


2 2(sin cos ) 3 4(sin sin cos cos )
3cos sin
1 2sin 2
x x x x x
x x
x
       

(sin cos ) 3cos sinx x x x      sin cos 0 sin( ) 0
4 4
x x x x k           
THPT Tân Bình – Bình Dương. LƯỢNG GIÁC 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 15 
§3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC. 
1) PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX & COSX: 
 Dạng: sin cosa x b x c  trong đó a, b không đồng thời bằng 0. 
 Cách giải: 
 Chia hai vế cho 2 2a b , ta được 
2 2 2 2 2 2
sin cosa b cx x
a b a b a b
 
  
 Đặt 
2 2
2 2
cos
sin
a
a b
b
a b


  

 
 
 hoặc ngược lại, phương trình trở thành 
 
2 2 2 2
sin cos sin cos sinc cx x x
a b a b
      
 
 Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm là 2 2 2
2 2
1c a b c
a b
   

. 
 Ví dụ: Giải phương trình sin 3 cos 2x x  
1 3 2 2sin 3 cos 2 sin cos sin cos sin cos
2 2 2 3 3 2
x x x x x x          
7 2
12sin sin
133 4 2
12
x k
x
x k


 


       
    

2) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: 
 Dạng: 2 0at bt c   trong đó a, b, c là các hệ số thực a  0 còn t là một hàm số lượng giác. 
 Cách giải: 
 2sin sin 0a x b x c   . Đặt t = sinx, điều kiện | t |  1. 
 2cos cos 0a x b x c   . Đặt t = sinx, điều kiện | t |  1. 
 2tan tan 0a x b x c   . Điều kiện 
2
x k   , đặt t = tanx. 
 2cot cot 0a x b x c   . Điều kiện x k , đặt t = cotx. 
 Ví dụ: Giải phương trình 
a) 22sin 5sin 3 0x x   ; b) tan 2cot 1x x   . 
Giải: 
a) 2
1 2sin 62sin 5sin 3 0 2
5sin 3 2
6
 (loaïi)
x kx
x x
x x k




        
     
b) Điều kiện 
cos 0
sin 0 2
x
x k
x

 

; 22tan 2cot 1 tan 1 tan tan 2 0
tan
x x x x x
x
           
tan 1
4
tan 2 arctan( 2)
x x k
x x k



        
3) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX & COSX: 
 Dạng: 2 2sin sin cos cos 0a x b x x c x d    . 
 Cách giải: 
 Kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm của phương trình không. 
THPT Tân Bình – Bình Dương. LƯỢNG GIÁC 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 16 
 Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho 2cos x ta được 2 2tan tan (1 tan ) 0a x b x c d x     
 Giải phương trình bậc hai theo tanx. 
 Ví dụ: Giải phương trình 2 22sin 5sin cos cos 2 0x x x x    
Giải: Khi cosx = 0 thì sinx = 1 nên 22sin 2 0x   . Vậy cosx = 0 không là nghiệm phương trình. 
Chia hai vế của phương trình cho 2cos x , ta được 
2 2 2
tan 1
42 tan 5 tan 1 2(1 tan ) 0 4 tan 5 tan 1 0 1 1tan arctan4 4
x x k
x x x x x
x x k



   
           
     
4) PHƯƠNG TRÌNH TÍCH: 
 Dạng: 
0
. 0
0
A
A B
B

   
 Cách giải: Dùng các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, hạ bậc  để xuất hiện nhân tử 
chung. 
 Ví dụ: Giải phương trình 2 2 2sin sin 3 2sin 2x x x  
Giải:    2 2 2 1 1sin sin 3 2sin 2 1 cos 2 1 cos6 1 cos 4
2 2
x x x x x x         
 cos 6 cos 2 2cos 4 0 2cos 4 cos 2 2cos 4 0 2cos 4 cos 2 1 0x x x x x x x x          
cos 4 0
8 4
cos 2 1
x x k
x x k
 

     
BÀI TẬP 
1) Giải phương trình: 
a) 2sin sin 0x x  ; b) 22cos 3cos 1 0x x   ; 
c) 2sin 2cos 2 0
2 2
x x
   ; d) 28cos 2sin 7 0x x   ; 
e) 22 tan 3 tan 1 0x x   ; f) tan 2cot 1 0x x   ; 
 Hướng dẫn: 
a) 2
sin 0
sin sin 0
sin 1 2
2
x kx
x x
x x k



       

b) 2
2cos 1
2cos 3cos 1 0 1 2cos
32
x kx
x x
x kx



 
    
   
 
c) 2 2sin 2cos 2 0 cos 2cos 3 0 cos 3 cos 1 4
2 2 2 2 2 2
 (loaïi); x x x x x x x k              
d) 2 2
sin 0.5
8cos 2sin 7 0 8sin 2sin 1 0
sin 0.25
x
x x x x
x

          
 
52 ; 2 ; arcsin( 0.25) 2 ; arcsin( 0.25) 2 .
6 6
x k x k x k x k                
e) 2
tan 1 / 4
2 tan 3 tan 1 0
tan 0.5 arctan( 0.5)
x x k
x x
x x k
 

     
          
thỏa điều kiện 
2
x k   . 
f) 2tan 2cot 1 0 tan tan 2 0 ; arctan( 2)
4
x x x x x k x k               thỏa điều kiện 
2
x k   và x k 
THPT Tân Bình – Bình Dương. LƯỢNG GIÁC 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 17 
2) Giải phương trình: 
a) 2 22sin sin cos 3cos 0x x x x   ; b) 2 23sin 4sin cos 5cos 2x x x x   ; 
c) 2 2sin sin 2 2cos 1/ 2x x x   ; d) 2 22cos 3 3 sin 2 4sin 4x x x    ; 
e) 2 22sin 3 3 sin cos cos 4x x x x   ; f) 2 23sin 4sin 2 (8 3 9)cos 0x x x    ; 
g) 2 23sin 5 3 sin cos 6cos 0x x x x   ; h) 2 2sin (1 3)sin cos 3 cos 0x x x x    ; 
i) 2 22sin sin cos 5cos 1x x x x   ; j) 2 24sin 3sin cos (4 3)cos 4x x x x    
 Hướng dẫn: 
a) Khi cosx = 0  sinx = 1 không thỏa phương trình. 
Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho 2cos x , ta được 22 tan tan 3 0x x   
tan 1 / 4
tan 1.5 arctan( 1.5)
x x k
x x k
 

   
       
b) Khi cosx = 0  sinx = 1 không thỏa phương trình. 
Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho 2cos x , ta được 2 23tan 4 tan 5 2(1 tan )x x x    
2 tan 1 / 4tan 4 tan 3 0
tan 3 arctan 3
x x k
x x
x x k
 

   
         
c) Khi cosx = 0  sinx = 1 không thỏa phương trình. 
Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho 2cos x , ta được 2 21tan 2 tan 2 (1 tan )
2
x x x    
2 tan 1 / 4tan 4 tan 5 0
tan 5 arctan( 5)
x x k
x x
x x k
 

   
           
d) Khi cosx = 0  sinx = 1 thỏa phương trình 24sin 4x   nên 
2
x k   là một họ nghiệm. 
Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho 2cos x , ta được 2 22 6 3 tan 4 tan 4(1 tan )x x x     
6 3 tan 6 tan tan
6 6
x x x k        
Vậy phương trình có các nghiệm là 
2
x k   , 
6
x k   , kZ. 
e) Khi cosx = 0  sinx = 1 không thỏa phương trình. 
Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho 2cos x , ta được 22 tan 3 3 tan 5 0x x   
Phương trình này vô nghiệm nên phương trình ban đầu vô nghiệm. 
f) Khi cosx = 0  sinx = 1 không thỏa phương trình. 
Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho 2cos x , ta được 23tan 8 tan 8 3 9 0x x    
tan 3
38tan 3 arctan( 8 / 3 3)3
x x k
x x k



                
g) Khi cosx = 0  sinx = 1 không thỏa phương trình. 
Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho 2cos x , ta được 23tan 5 3 tan 6 0x x   
tan 2 3 arctan 2 3
3tan
63
x x k
x kx



   
        
h) Khi cosx = 0  sinx = 1 không thỏa phương trình. 
Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho 2cos x , ta được 2tan (1 3) tan 3 0x x    
tan 1 4
tan 3
3
x kx
x x k




    
  
     

THPT Tân Bình – Bình Dương. LƯỢNG GIÁC 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 18 
i) Khi cosx = 0  sinx = 1 không thỏa phương trình. 
Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho 2cos x , ta được 2 22 tan tan 5 1 tanx x x    
2 tan 2 arctan 2tan tan 6 0
tan 3 arctan( 3)
x x k
x x
x x k


   
           
j) Khi cosx = 0  sinx = 1 thỏa 24sin 4x  nên 
2
x k   là một họ nghiệm của phương trình. 
Khi cosx  0, chia hai vế phương trình cho 2cos x , ta được 2 24 tan 3tan 4 3 4(1 tan )x x x     
3tan 3 tan tan
6 6
x x x k        . 
Vậy phương trình có các nghiệm là 
2
x k   , 
6
x k   , kZ. 
3) Giải phương trình: 
a) cos 3 sin 2x x  ; b) 3sin 3 4cos3 5x x  ; 
c) 2sin 2cos 2 0x x   ; d) 5cos 2 12sin 2 13 0x x   . 
 Hướng dẫn: 
a) 
21 3 2 12cos 3 sin 2 cos sin cos cos
72 2 2 3 4 2
12
x k
x x x x x
x k


 


              
     

b) 3 4 23sin 3 4cos3 5 sin 3 cos3 1 sin(3 ) 1
5 5 3 6 3
x x x x x x k              , 3cos
5
  
 
c) 
7 22 1 122sin 2cos 2 0 sin cos sin
2 4 2 2
12
x k
x x x x x
x k





              
     

d) 5 125cos 2 12sin 2 13 cos 2 sin 2 1 sin(2 ) 1
13 13 4 2
x x x x x x k              , 5sin
13
  
 
4) Giải phương trình: 
a) 33sin 3 cos12 1 4sin 44x x x   ; b) sin 5 cos3 3(sin 3 cos5 )x x x x   ; 
c)  6 6 3 34 sin cos sin 4 12x x x   ; d) 
1 3 8sin
sin cos
x
x x
  ; 
e)   4 2 4 23 cos 3 sin sin 4cos cos 4sinx x x x x x     
 Hướng dẫn: 
a) 33sin 4 4sin 4 3 cos12 1x x x    1 3 1sin12 3 cos12 1 sin12 cos12
2 2 2
x x x x      
12 / 2 2 / 24 / 6
sin 12 sin
12 7 / 6 2 7 / 72 / 63 6
x k x k
x
x k x k
    
   
                 
b) sin 5 cos3 3(sin 3 cos5 )x x x x    1 3 1 3sin 5 cos5 cos3 sin 3
2 2 2 2
x x x x    
12sin 5 sin 3
3 6
16 4
x k
x x
x k


 
 
             
      

c)  6 6 23 3 3 3 34 sin cos sin 4 1 4 1 sin 2 sin 4 1
2 4 2
x x x x x         
 
THPT Tân Bình – Bình Dương. LƯỢNG GIÁC 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 19 
3 3 3 1 3 1 2(1 cos 4 ) sin 4 3 cos 4 sin 4 cos 4 cos
2 2 2 2 2 3 3
x x x x x                   
   
  ;
4 2 12 2
x k x k k Z         
d) Điều kiện 
cos 0 / 2
sin 0 2
x x k
x k
x x k
  

   
   
  
: 
1 3 8sin cos 3 sin 8sin sin cos cos 3 sin 4sin 2 sin
sin cos
x x x x x x x x x x
x x
        
  1 3cos 3 sin 2 cos3 cos cos sin cos3 cos cos3
2 2 3
x x x