Bài tập khảo sát hàm số - Nguyễn Văn Xá

 ñồ thị hàm số 3 2 2(C) y x 3(m 1)x 2(m 7m 2)x 2m(m 2)= − + + + + − + khi m = 0. 
b) Tìm m ñể (C) có ñiểm cực ñại, cực tiểu; viết PT ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị ñó. 
c) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ x 1.≥ 
36. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y x mx 4= − + − khi m = 0. 
b) Tìm m ñể (C) có ñiểm cực ñại, cực tiểu; tìm toạ ñộ hai ñiểm cực trị ñó và tìm quĩ tích trung ñiểm I của 
ñoạn thẳng nối ñiểm cực ñại với ñiểm cực tiểu. 
37. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3y x 3x (C)= − và trên ñường thẳng y = 2 những ñiểm có thể kẻ ñược 3 
tiếp tuyến tới (C). 
38. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3(C) y x 3x 1= − + và viết PTTT của (C) kẻ từ ñiểm 2A( ;3).
3
− 
b) Tìm m ñể phương trình 3 mx 3x 6 2 0−− + − = có 3 nghiệm phân biệt. 
39. a) Chứng minh rằng ñồ thị 3(C) y (m 1)x (2m 1)x m 1= + − + − + luôn ñi qua ba ñiểm cố ñịnh thẳng 
hàng bất chấp mọi giá trị của tham số m. 
b) Tìm m ñể ñồ thị (C) có tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng ñi qua ba ñiểm cố ñịnh nói trên. 
40. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3(C) y x 3mx 3m 2= − + − khi m = 1. 
b) Chứng minh tiếp tuyến của (C) tại tâm ñối xứng của (C) là ñường thẳng luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh. 
41. a) Tìm m ñể hàm số 3 2 2(C) y x 3mx 3(m 1)x m= − + − + ñạt cực tiểu tại x = 2. Với m vừa tìm ñược 
hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số. 
b) Viết PTTT của ñồ thị hàm số ở câu a biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(0;6). 
42. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y x 3x mx 1= + + + khi m = 3 
b) Chứng minh (C) luôn cắt 3 2(C ') y x 2x 7= + + tại hai ñiểm phân biệt A, B. Tìm quĩ tích trung ñiểm I 
của ñoạn AB. 
c) Tìm m ñể (C) cắt ñường thẳng y = 1 tại 3 ñiểm phân biệt D, E, F(0;1) sao cho tiếp tuyến của (C) tại D 
và E vuông góc với nhau. 
43. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y x (m 1)x m= + − − khi m = 4. 
b) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt. 
44. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 21 11(C) y x x 3x .
3 3
= − + + − 
b) Tìm trên ñồ thị (C) cặp hai ñiểm M, N ñối xứng với nhau qua Oy. 
45. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y x (1 2m)x (2 m)x m 2= + − + − + + khi m = 2. 
b) Tìm m ñể (C) có ñiểm cực ñại, cực tiểu, và xCT > 1. 
46. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3(C) y 3x x= − và tìm m ñể PT 2sin x.cos x 2 sin x m 0+ − = có 
nghiệm. 
47. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3(C) y x 3x.= − 
b) Tìm m ñể ñường thẳng y = mx + m + 2 cắt (C) tại ba ñiểm phân biệt A, B, I(–1;2) sao cho tiếp tuyến 
của (C) tại A và B vuông góc với nhau. 
c) Biện luân theo k số nghiệm của phương trình − =3x 3x 2k. 
48. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2(C) y x 6x 9x= − + và biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
3 2| x | 6x 9 | x | 3 m 0.− + − + = 
49. Tìm m ñể ñồ thị hàm số 3 2 2 3 2y x (2m 1)x (m 3m 1)x 2m 2m= − + − − − + − cắt ñường phân giác của góc 
phần tư thứ nhất tại ba ñiểm phân biệt có tung ñộ lập thành cấp số nhân. 
50. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3 2 33 1(C) y x mx m
2 3
= − + khi m = 1. 
3
3
Bài tập khảo sát hàm số Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh Bài tập khảo sát hàm số 
b) Tìm m ñể ñiểm cực ñại và cực tiểu của (C) ñối xứng với nhau qua ñường thẳng y = x. 
c) Tìm m ñể ñường thẳng y = x cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt M, N, P theo thứ tự, và MN = NP. 
51. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) của hàm số 3 2y 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x 1= − + + + + ứng với m = 1. Khi 
ñó hãy tìm trên ñường thẳng y = 6 những ñiểm có thể kẻ tới ñồ thị (C) 3 tiếp tuyến trong ñó có 2 tiếp 
tuyến vuông góc với nhau. 
b) Chứng minh với mọi m ñồ thị hàm số ñã cho luôn có hai ñiểm cực trị và hình chiếu của hai ñiểm cực 
trị ñó trên Ox là hai ñiểm có khoảng cách không ñổi. 
c) Tìm m ñể các ñiểm cực trị của hàm số ñã cho thoả mãn 2xCð – xCT = – 5. 
d) Tìm m ñể các ñiểm cực trị của hàm số ñã cho thoả mãn 2yCT + yCð = 16. 
e) Chứng minh ñường thẳng nối hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số ñã cho có phương không ñổi. 
f) Tìm quĩ tích tâm ñối xứng của ñồ thị hàm số ñã cho. 
52. Tìm m ñể hàm số 3 21y (m 1)x (2m 1)x 3(2m 1)x 1
3
= + − − + − + 
a) Nghịch biến trên .ℝ 
b) Nghịch trên khoảng ( ; 1).−∞ − 
c) ðồng biến trên khoảng (1; ).+∞ 
d) ðồng biến trên ñoạn [ 1;1].− 
53. Tìm m ñể hàm số 3 2 21y x mx (m m 1)x 1
3
= − + − + + 
a) Có cực trị trên khoảng ( ;1).−∞ 
b) Có cực trị trên khoảng (1; ).+∞ 
c) Có hai cực trị 1 2x , x thoả mãn 1 2x 1 x .< < 
d) Có hai cực trị 1 2x , x thoả mãn 1 21 x x .< < 
e) Có hai cực trị 1 2x , x thoả mãn 1 2x x 1.< < 
B. BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ ðA THỨC BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG 
54. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 4 2y x x 1 (C).= − + 
b) Tìm những ñiểm thuộc trục Oy mà từ ñó có thể kẻ ñược ñúng 3 tiếp tuyến tới ñồ thị (C). 
c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 4 2x x 2m 0.− + = 
d) Tính diện tích tam giác có 3 ñỉnh là 3 ñiểm cực trị của ñồ thị (C). 
55. Cho 4 2 2y x (m 10)x 9 (C).= − + + a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 0. 
b) Chứng minh với m 0≠ ñồ thị hàm số luôn cắt Ox ở 4 ñiểm phân biệt, trong ñó có 2 ñiểm có hoành ñộ 
thuộc khoảng (-3; 3), và có 2 ñiểm có hoành ñộ nằm ngoài khoảng (-3;3). 
56. Cho 4 2y x 2mx (C).= − + a) Khi m = 1, hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số, viết phương trình tiếp tuyến 
của ñồ thị hàm số biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A( 2;0). 
b) Tìm m ñể hàm số có 3 ñiểm cực trị. 
57. Cho 4 2y x 4x +m (C).= − a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 3. 
b) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại 4 ñiểm phân biệt, trong ñó hình phẳng giới hạn bởi (C) và Ox có diện tích 
phần bên trên Ox và phần bên dưới Ox bằng nhau. 
58. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 4 2y x 5x 4.= − + − 
b) Tìm m ñể phương trình 4 2 2x 5x m m 3 0− − + = có 4 nghiệm phân biệt. 
59. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 4 2y x 5x 4.= − + 
b) Tìm m ñể parabol 2 2y x m= + tiếp xúc với ñồ thị hàm số ñã cho. Khi ñó hãy tìm toạ ñộ tiếp ñiểm. 
c) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình 4 2x 5x 4 k.− + = 
60. Cho 4 2y x 2x + 2 - m (C).= − a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m = 0. 
b) Tìm m ñể (C) và Ox có ñúng 2 ñiểm chung. 
4
4
Bài tập khảo sát hàm số Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh Bài tập khảo sát hàm số 
61. Cho 4 2y mx (m 1)x + 1 - 2m (C).= + − a) Khi 1m ,
2
= khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số, viết phương trình 
tiếp tuyến của ñồ thị hàm số biết tiếp tuyến ñi qua gốc toạ ñộ O. 
b) Tìm m ñể hàm số chỉ có một ñiểm cực trị. 
62. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 4 21 9y x 2x .
4 4
= − − 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại giao ñiểm của ñồ thị với Ox. 
c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 4 2 mx 8x 9 2 .− − = 
63. Cho 4 2y x mx - (m + 1) (C).= + a) Khi m 1,= khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số. 
b) Tìm các ñiểm cố ñịnh mà ñồ thị hàm số luôn ñi qua với mọi m. 
c) Gọi A là ñiểm cố ñịnh có hoành ñộ dương mà ñồ thị (C) luôn ñi qua. Tìm m ñể tiếp tuyến của (C) tại 
A là ñường thẳng song song với (d) : y 2x.= 
64. Tìm m ñể ñồ thị hàm số 4 2y x 2(m 1)x m= − + + có 3 ñiểm cực trị A, B, C sao cho A Oy∈ , OA = BC. 
65. Tìm m ñể ñồ thị hàm số 4 21y x (3m 1)x 2(m 1)
4
= − + + + có 3 ñiểm cực trị là 3 ñỉnh một tam giác ñều. 
66. Tìm m ñể hàm số 4 2y x mx= + ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 0. 
C. BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT 
67. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số x 2y (C)
x 2
+
=
−
, viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị biết tiếp tuyến ñi 
qua ñiểm A(-6; 5). 
b) Tìm trên ñồ thị hàm số những ñiểm cách ñều hai trục toạ ñộ. 
c) Vẽ ñồ thị x 2(C ') : y .
x 2
+
=
−
68. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số xy (C)
1 x
=
+
, viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị biết tiếp tuyến có 
hệ số góc bằng 1. 
b) Gọi I là giao ñiểm hai ñường tiệm cận của (C). Chứng minh I là tâm ñối xứng của (C). Chứng minh 
không có tiếp tuyến nào của (C) ñi qua I. 
c) Chứng minh rằng a b a b , a, b .
1 a b 1 a b
+ +
≤ ∀ ∈
+ + + +
ℝ 
69. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số x 2y (C)
x 3
+
=
−
, viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị biết tiếp tuyến 
song song với ñường thẳng 15x + 12y + 8 = 0. 
b) Tìm những ñiểm trên (C) mà cách ñều hai ñường tiệm cận của (C). 
c) Vẽ ñồ thị x 2(C ') : y .
x 3
+
=
−
d) Tìm 2 ñiểm A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho ñộ dài AB nhỏ nhất. 
70. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 2x 4y (C).
x 1
− −
=
+
b) Biện luận theo m số giao ñiểm của (C) và d : y x m.= + Trong trường hợp (C) cắt d tại hai ñiểm phân 
biệt A, B, hãy tìm quĩ tích trung ñiểm của ñoạn AB. 
c) Vẽ ñồ thị 2 x 4(C ') : y .
x 1
− −
=
+
d) Tìm 2 ñiểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho ñộ dài MN nhỏ nhất. 
71. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3(x 1)y (C).
x 2
+
=
−
b) Tìm trên (C) những ñiểm có toạ ñộ nguyên. 
5
5
Bài tập khảo sát hàm số Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh Bài tập khảo sát hàm số 
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm O. 
d) Vẽ ñồ thị 3(x 1)(C ') : y .
x 2
+
=
−
72. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3x 1y (C).
x 3
+
=
−
b) Tìm một hàm số mà ñồ thị (C’) của nó ñối xứng với (C) qua ñường thẳng x + y – 3 = 0. 
c) Gọi M là ñiểm tuỳ ý trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai ñường tiệm cận của (C) ở A, B. Chứng 
minh M là trung ñiểm của AB và tam giác tại bởi tiếp tuyến nói trên với hai ñường tiệm cận của (C) có 
diện tích không ñổi. 
73. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số x 2y (C).
x 1
+
=
−
b) Cho A(0;a). Tìm a ñể từ A kẻ ñựơc 2 tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp ñiểm tương ứng nằm về 2 phía Ox. 
c) Vẽ ñồ thị x 2(C ') : y .
x 1
+
=
−
74. Cho mx 1y (C).
x 2m 1
−
=
− +
 a) Với m = 0 hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số. 
b) Vẽ ñồ thị 1(C ') : y .
x 1
−
=
+
c) Tìm quĩ tích tâm ñối xứng của (C). 
75. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số x 2y (C).
x
+
= 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục toạ ñộ một tam giác cân. Khi ñó 
hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến ñó và hai ñường tiệm cận của (C). 
c) Gọi I là giao ñiểm của hai ñường tiệm