Bài tập Hình không gian 11

diện của (Q) với hình chóp. Tìm x để diện tích này lớn nhất. 
Buổi 4.
Vấn đề 3. Góc. 
Góc giữa hai đường thẳng.
Cách xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b:
Chọn điểm O thích hợp, rồi kẻ hai đường thẳng đi qua điểm O: a’//a và b’//b.
Các phương pháp tính góc:
+ Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác:
 Định lí sin: Định lí cos: 
+ Tính góc theo vectơ chỉ phương: 
Chú ý. + 
 + 
 + Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì . 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = . Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB.
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm của BC và AD.
Tính góc giữa AB và DM, biết ABCD là tứ diện đều cạnh bằng a.
Tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = .
Tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = .
Tính góc giữa AB và CD, biết AB = 2a, CD = và MN = .
Bài 3. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và , . Chứng minh:
ABCD.
Nếu I, J là trung điểm của AB và CD thì IJAB, IJCD.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, SA = SB và SABC. Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC.
Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K là trung điểm của BC, AC, AD, BD. Hãy tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD trong các trường hợp:
Tứ giác IJHK là hình thoi có đường chéo IH = IJ.
Tứ giác IJHK là hình chữ nhật.
Bài 6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a (hình hộp thoi), , .
Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A’D và AC’ với B’D.
Tính diện tích các hình A’B’CD và ACC’A’.
Tính góc giữa đường thẳng AC’ và các đường thẳng AB, AD, AA’.
Bài 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b và AA’ = c.
Tính góc giữa hai đường thẳng AD’ và B’C.
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và A’C.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và các tam giác SAB, SBC, SCA vuông tại S. Gọi M là trung điểm BC. Tính góc giữa AC và SM.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, đáy là hình vuông. Gọi N là trung điểm SB. Tính góc giữa AN và CN, AN và SD.
Bài 10. Cho tứ diện ABCD có các tam giác ABD và DBC là các tam giác đều cạnh a. Cho AD = . 
Chứng minh ADBC.
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Cách xác định góc giữa đường thẳng d và mp(P): 
+ Xác định hình chiếu d’ của d trên mp(P) (Bằng cách tìm hình chiếu của điểm B trên mp(P)).
+ Góc giữa d và hình chiếu d’ chính là góc giữa đường thẳng d và mp(P).
A
B
B’
d
d'
Chú ý. + .
 + Nếu hoặc thì . 
 + Tính chất của trục đường tròn: 
ĐN. Giả sử O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác . Đường thẳng đi qua O và vuông góc với mp chứa đa giác gọi là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đã cho.
Tính chất: Nếu thì S thuộc trục đường tròn ngoại tiếp đa giác .
Do đó, hình chiếu của S trên mp chứa đa giác là tâm đường tròn O.
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAđáy và SA = . Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC = a, SA = SA = SC = . Tính góc giữa đường thẳng SA và mp(ABC).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAđáy và SA = . Tính góc giữa:
SC và (ABCD). b) SC và (SAB). 
AC và (SBC). d) SB và (SAC).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có SAđáy, đáy là tam giác vuông tại B. Biết . Đặt . Gọi I là hình chiếu của B trên SC. Xác định để góc giữa BI và mp(SAC) là .
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Biết SD = , tất cả các cạnh còn lại đều bằng a.
Chứng minh (SBD) là mặt phẳng trung trực của AC và SBD là tam giác vuông.
Xác định góc giữa SD và mp(ABCD).
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a nằm trong mp(P), cạnh AC = và tạo với (P) một góc . Tính góc giữa BC và (P).
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = và đáy ABC là tam giác đều cạnh a.
Gọi H là hình chiếu của S trên mp(ABC). Tính SH.
Tính góc giữa SA và (ABC).
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết góc giữa SC và mặt đáy là . Tính số đo góc:
Giữa SC và (SAD).
Giữa SC và (SAD).
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = và vuông góc với đáy.
Tính góc giữa BS và CD
Tính góc giữa SC và (ABCD).
Tính góc giữa SC và (SAB), SB và (SAC), AC và (SBC).
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, đáy ABCD là hình thang vuông tại A, hai đáy là AD = 2a, BC = a. Biết SA = 2a, AB = a.
Chứng minh SCD là tam giác vuông.
Tính góc giữa SD và (SAC).
Buổi 5.
Bài 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O. Gọi M, N là trung điểm của SA, BC. Biết góc giữa MN và (ABCD) là .
Tính MN và SO.
Tính góc giữa MN và (SBD).
Bài 12. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết BC’ hợp với mp(ABB’A’) góc .
Tính AA’.
Gọi M, N là trung điểm của AC và BB’. Tính góc giữa MN và mp(BA’C’).
Bài 13. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Gọi M, N là trung điểm của AB và B’C’. Biết MN = a và MN hợp với đáy góc và mặt bên (BCC’B’) góc . 
Tính cạnh bên và các cạnh đáy của lăng trụ theo a và .
Chứng minh . 
Góc giữa hai mặt phẳng.
Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến c:
+ Chọn điểm I thích hợp trên giao tuyến c.
+ Qua I vẽ hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến c và lần lượt nằm trong hai mp đã cho.
Chú ý. + 
 + Nếu hoặc thì . 
 + 
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AD(BCD) và AB = a. Biết BCD là tam giác đều cạnh 2a. Tính góc giữa hai mp(ACD) và (BCD).
Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy góc . Tính góc giữa các mặt phẳng:
(SAB) và (SCD).
(SAB) và (SBC).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAđáy, SA = x. Tìm x để hai mp(SBC) và (SCD) tạo với nhau góc .
Bài 4. Cho tam giác đều ABC cạnh a nằm trong mp(P). Trên các đường thẳng vuông góc với (P) vẽ từ B và C lấy các đoạn BD = , CE = nằm cùng một bên đối với (P).
Chứng minh tam giác ADE vuông. Tính diện tích tam giác này.
Tính góc giữa hai mp(ADE) và (P).
Bài 5. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, AA’ = a và A’O(ABCD). Tính góc hợp bởi:
Cạnh bên và mặt đáy.
Cạnh bên và cạnh đáy.
(BDD’B’) và (ABCD); (ACC’A’) và (ABCD).
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và (SAB)(ABCD). Tính góc giữa:
(SCD) và (ABCD).
(SCD) và (SAD).
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, có AB = 2a, AD = DC = a, có cạnh SAđáy và SA = a.
Chứng minh (SAB)(SCD) và (SAC)(SCB).
Gọi là góc giữa hai mp(SBC) và (ABCD). Tính . 
Bài 8. Cho tứ diện SABC, hai mp(SAB) và (SBC) vuông góc với nhau và SA(ABC), SB = , , .
Chứng minh BCSB. Tìm điểm cách đều 4 điểm S, A, B, C.
Xác định để hai mp(SAC) và (SCB) tạo với nhau góc .
Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O, BA = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong không gian sao cho SO(ABCD), đặt SO = h. Gọi M, N là trung điểm của AB, CD.
Tính góc giữa (SMN) với (SAB) và (SCD). Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a để (SMN) vuông góc với các mp(SAB), (SCD).
Tính góc giữa hai mp(SAB) và (SCD). Tính h theo a để hai mo đó vuông góc.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, BA = a, BC = 2a, cạnh bên SAđáy và SA = a. Tính:
Các góc giữa các mp chứa các mặt bên và mp đáy của hình chóp.
Góc giữa hai mp chứa hai cạnh bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình chóp.
Bài 11. Cho tam giác cân ABC, AB = AC = a, . Xét hai tia cùng chiều Bt, Ct’ và vuông góc với mp(ABC). Lấy điểm B’ thuộc Bt, C’ thuộc Ct’ sao cho BB’ = 3CC’. Cho BB’ = a. Tính góc giữa hai mp(AB’C’) và (ABC), Tính diện tích tam giác AB’C’.
Bài 12. Cho hai mp(P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến d. Lấy hai điểm cố dịnh A, B thuộc d sao cho AB = a. Gọi SAB là tam giác đều trong (P), ABCD là hình vuông trong (Q).
Tính góc giữa mp(SCD) với các mp(P) và (Q).
Gọi O1 là giao điểm của B1C và A1D, trong đó B1, D1 là trung điểm của SA, SB. Gọi H1 là giao điểm của đường cao SH của tam giác SAB với mp(A1B1CD). Chứng minh SO1 vuông góc với SA và CD. Tính góc giữa mp(A1B1O1) với các mp(P) và (Q).
Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, SA = và vuông góc với đáy.
Tính góc giữa hai mp(SAD) và (SBC).
Tính góc giữa hai mp(SCD) và (SBC).
Bài 14. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = a. Tính góc giữa hai mp(ABC’) và (BCA’).
Bài 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a, SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai mp(SCM) và (ABC).
Bài 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB = a, BC = , SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AB.
Tính góc giữa hai mp(ABC) và (SBC).
Tính góc giữa hai mp(SCM) và (ABC).
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = SD = , đáy là hình thoi cạnh a và .
Chứng minh (SAC)(ABCD) và SBBC.
Tính góc giữa hai mp(SBD) và (ABCD).
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có SAđáy, hai mặt bên (SBC) và (SCD) hợp với nhau góc . Mặt đáy ABCD có AB = AD = a, CB = CD = . DADC và BABC. Tính góc giữa:
SC và (ABCD).
(SBD) và (ABCD).
Bài 19. Cho hình chóp M.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a.
Tính góc giữa hai mp(ABC) và (MBC) khi biết diện tích tam giác MBC = .
Cho MA = a. Tính góc giữa hai mp(MBC) và (MAB).
Bài 20. 
Buổi 6.
Vấn đề 4. Khoảng cách.
Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng – khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song – khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng , đến mp(P):
+ , H là hình chiếu của A trên .
+ , H là hình chiếu của A trên mp(P). 	
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: là khoảng cách từ một điểm nằm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm nằm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Cách xác định hình chiếu của điểm A trên mp(P):
+ Chọn một đường thẳng . 
+ Dựng mp(Q) qua A và vuông góc với a. Giả sử (Q) cắt (P) theo giao tuyến là b. 
+ Trong (Q), vẽ AHb.
Khi đó, H là hình chiếu của A trên mp(P).
Chú ý. + Bài toán tìm các khoảng cách nói trên thực chất là tìm hình