Bài tập Hình học ôn thi Tốt nghiệp THPT

Tinh côsin của góc hợp bởi đường thẳng AC/ và mp(ABCD)
2) Cho bốn điểm A(1;0;0) B(0;1;0) C(0;0;1) và D(–2;1;–2)
 a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện
 b) Tính góc toạ bởi hai đường thẳng AC và BD
 c) Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
 d) Tính khoảng cách từ D đến (ABC)
 e) Lập phương trình đường thẳng BD
 f) Lập phương trình mặt phẳng qua A vuông góc BD
 g) Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
 h) Lập phương trình mặt phẳng qua D song song mp x – 2y + 3z – 4 = 0
 i) Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và song song với CD
 j) Lập phương trình mặt phẳng đi qua C, D và song song trục Oy
 k) Lập phương trình mặt phẳng qua A song song mp(Oxz)
 l) Lập phương trình mặt phẳng qua D vuông góc trục Oy
 m) Lập phương trình đường thẳng qua D vuông góc với mp(P): 2x – z + 1 = 0
 o) Lập phương trình đường thẳng qua A song song với d: 
 p) Lập phương trình đường thẳng qua A vuông góc hai đường thẳng BC, CD
3) Cho các điểm A(1;2;–1) B(2;–1;3) C(–2;3;3)
 a) Chứng minh bốn điểm O, A, B, C không đồng phẳng
 b)Gọi G là trọng tâm tứ diện OABC.Tính các khoảng cách từ G đến các dỉnh của tứ diện.
 c) Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
 d) Lập phương trình đường thẳng qua trong tâm G của tam giác ABC và vuông góc mp(ABC)
 e) Lập phương trình mặt phẳng qua C vuông góc với AB
 f) Tìm toạ độ tâm mặt cầu đi qua bốn điểm O, A, B, C và bán kính mặt cầu đó
4) Cho tứ diện ABCD với A(3;3;0) B(1;2;–3) C(–4;5;1) D(1;1;–1)
 a) Tính thể tích từ diện
 b) Tính khoảng cách từ đỉnh D đến mp(ABC)
 c) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
5) Cho tứ diện ABCD với A(2;2;–1) B(0;1;–4) C(–5;4;0) D(–3;7;–1)
 a) Chứng minh rằng các cạnh dối của tứ diện bằng nhau.
 b) Chứng minh rằng trọng tâm của tứ diện cách đều bốn đỉnh của tứ diện.
 c) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1.Viết phương trình mặt phẳng, biết:
 a) Qua điểm A(2;–5; 0) và có véc tơ pháp tuyến =( 0;2;–2)
 b) Qua điểm M(5;–1;3) và vuông góc PQ với P(1;–1;2), Q(2;0;–3)
 c) Qua điểm N(–1;0;–3) và vuông góc với phương của =( 0;3;–2)
 d) Qua I(1;0;–1) và song song với phương của hai véctơ =(1;–3;4) =(2;0;–5)
 e) Qua điểm K(0;–2;3) và song song với mặt phẳng (P): 2x –5z + 5 = 0
 f) Qua góc toạ độ và song song với mặt phẳng (P): x – 2y – z + 3 = 0
 g) Qua điểm M(0;–2;0) và song song với mp(Oxz)
 h) Qua ba điểm A(2;0;1) B(0;2;0) C(1;–1;1)
 i) Qua ba điểm A(1;0;0) B(0;–2;0) C(0;0;3)
 j) Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN với M(–2;1;3) B(;4;–2;2)
 o) Qua điểm H(–1;0;5) và vuông góc với trục Oz
 p) Qua I(–2;1;3) J(–3;0;–2) và song song với trục Oy
 q) Qua điểm R(–2;0;3) chứa trục Ox
 r) Qua A(4;–2;3) và vuông góc với đoạn thẳng P(0;0;2), Q(0;2;–3)
 t) Qua hai điểm P(2;0;1) Q(3;–1;3) và vuông góc với mặt phẳng (P):2y – 3z +4= 0
 s) Qua M(3;–2;0) song song với trục Oy và vuông góc (R): 2x – 3y + 4 = 0
 u) Chứa trục Ox và vuông góc (R): – x + z + 4 = 0
 v) (Q) chứa đường thẳng và vuông góc với (R): x – 3y + 2z + 2 = 0
 v) Qua M(1;1;1) và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau
 (P): x – 2y – 3z + 1 = 0 và (Q): x + y – 4z + 5 = 0
 x) Qua M(1;–1;1) và vuông góc với đường thẳng 
2) Cho tứ diện có các đỉnh là M(1;–1;2), N(0;–2;3), P(–1;0;3), Q(–2;0;3).
 a) Hãy viết phương trình mặt phẳng (MNP). Tính khoảng cách từ Q đến mp(MNP)
 b) Hãy lập phương trình mặt phẳng đi qua Q song song với mặt phẳng (MNP)
3) Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z + 1 = 0 và điểm M(0;1;–1)
 a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với (P)
 b) Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua OA và vuông góc với (P)
4) Cho ba điểm M(2;0;–1) N(1;–2;3) P(0;1;2)
 a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M,N,P.
 b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm M, O(O – góc toạ độ) và vuông góc với mp(MNP)
 c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng NP.
 d) Lập phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng NP.
 e) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng trung trực đoạn thẳng NP.
5) Cho bốn điểm A(0;1;1) B(–1;0;2) C(1;1;1) D(1;0;1).
 a) Lập phương trình mặt phẳng (BCD)
 b) Lập phương trình mặt phẳng () đi qua điểm A, B và vuông góc với mp(BCD)
 c) Tính khoảng cách từ điểm C và D đến mp()
 d) Viết phương trình mặt phẳng () đi qua A, B và song song với đường thẳng CD.
 e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
6) Cho mặt phẳng (): x – 2y + z – 1 = 0 và A(2;–1;3)
 a) Tính khoảng cách từ A đến mp()
 b) Lập phương trình đường thẳng d qua A vuông góc mp()
 c) Tìm toạ độ giao điểm của d và mp()
 d) Tìm toạ độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua mp()
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1) Cho bốn điểm A(–2;6;1) B(–1;1;2) C(2;–1;2) D(–1;1;0)
 a) Lập phương trình mặt phẳng (BCD)
 b) Lập phương trình đường thẳng d qua A vuông góc mp(BCD)
 c) Tìm toạ độ hình chiếu H của A trên mp(BCD)
 d) Tìm toạ độ điểm A/ đối xứng với A qua mp(BCD)
 e) Lập phương trình đường thẳng d qua D vuông góc với đường thẳng BC.
 f) Tìm toạ độ hình chiếu K của D trên đường thẳng BC.
 g) Tìm toạ độ điểm D/ đối xứng với D qua đường thẳng BC
2)Lập phương trình đường thẳng, biết.
 a) Qua điểm I(1;0;–2) và có véctơ chỉ phương =( 1;–1;0)
 b) Qua hai điểm P(3;–2;1), Q(1;–2;3)
 c) Qua điểm J(0;–2;3) và song song với phương của véctơ =( 1;0;–3)
 d) Qua điểm M(5;2;–1) và song song với đường thẳng 
 e) Qua điểm A(2;0;–3) và song song với đường thẳng 
 f) Qua điểm P(0;2;–3) và song song với giao tuyến của hai mặt phẳng
 (P): x – 2y + z + 1 = 0 và (Q): – x + 2y + 3z – 4 = 0
 g) Qua điểm I(1;–3;2) và song song với trục Oy
 h) Qua điểm P(1;0;–3) và vuông góc với (R): x – 3z + 1 = 0
 i) Qua điểm A(1;–5;3) và vuông góc với (Oyz)
 j) Đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng
 (P): x – 3y – 2z + 1 = 0 và (Q): x – 3z + 4 = 0
 k) Đường thẳng qua B(1;–5;0) và song song (P): –2x + y – 4z + 1 = 0 và vuông góc với 
 đường thẳng (d): x = –1 + t; y = 2; z = 2 +3 t
3) Viết phương trình đường thẳng trong mỗi trường hợp sau đây:
 a) Đi qua A(1;0;0) và có véctơ chỉ phương 
 b) Đi qua A(1;0;–2) và vuông góc với hai đường thẳng lần lượt có véctơ chỉ phương 
 là = (1;–5;3) và = (0;–1;0)
4) Cho M(1;–1;2) mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 12 = 0
 a) Viết phương trình đường thẳng d qua M vuông góc với mp(P).
 b) Tìm toạ độ giao điểm của d và mp(P). Từ đó suy ra hình chiếu của M trên (P)
5) Cho bốn điểm A(4;1;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
 a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C. Tính khoảng các từ D đến mp(ABC).
 b) Viết phương trình đường thẳng d qua D vuông góc mp(ABC). Tìm giao điểm của d và (P). Tìm toạ độ hình chiếu của D trên mặt phẳng (ABC)
6) Cho M(2;–3;1) qua mặt phẳng (P): x + 3y – z + 2 = 0
 a) Viết phương trình đường thẳng d qua M vuông góc (P).
 b) Tìm toạ độ giao điểm của d và (P). Tìm tọa độ điểm đối xứng của
7) Cho ba điểm A(–1;3;2), B(4;0;–3), C(5;–1;4).
 a) Viết phương trình đường thẳng BC
 b) Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A vuông góc BC
 c) Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng BC
8) Cho đường thẳng và điểm M(4;–3;2).
 a) Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M vuông góc d. 
 b) Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng BC
 Từ đó suy ra toạ độ điểm M/ đối xứng M qua d.
9) Tìm toạ độ điểm đối xứng của M(2;–1;1) qua đường thẳng 
10) Cho hai đường thẳng và 
 a) Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau
 b) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và song song 
 c) Tính góc giữa hai đường thẳng đó
 d*) Viết phương trình đường vuông góc chung gữa hai đường thẳng đó.
 e*) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.
11) Cho hai đường thẳng và 
 a) Chứng minh rằng hai đường thẳng đó cắt nhau.Tìm giao điểm
 b) Tính góc giữa hai đường thẳng đó.
 c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai đường thẳng đó.
12) Cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + z – 1 = 0; (Q): x + y – z + 2 = 0 và đường thẳng
 (d):
 a) Viết phương trình đường thẳng d/ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
 b) Chứng tỏ đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P)
 c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d/ 
13) Cho A(2;–1;0) và đường thẳng (d): 
 a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vuông góc với d. Tính khoảng cách từ A đến (P).
 b) Viết phương trình đường thẳng qua A song song với d
MẶT CẦU
1) Xác định tâm và bán kính mặt cầu:
 a) x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 1 = 0
 b) 9x2 + 9y2 + 9z2 – 6x + 18y + 1 = 0
 c) x2 + y2 + z2 – 6x + 2y – 16z – 26 = 0
 d) 2x2 + 2y2 + 2z2 + 8x – 4y – 12z – 100 = 0
2) Lập phương trình mặt cầu, biết:
 a) Có tâm I(5;–3;7) và có bán kính bằng 2
 b) Có tâm I(1;0;1), đường kính bằng 8
 c) Có đường kính AB với A(–1;2;1), B(0;2;3)
 d) Có tâm I(3;–2;4) và đi qua A(7;2;1)
 e) Có tâm I(4;–4;2) và đi qua góc toạ độ
 f) Mặt cầu đi qua bốn điểm A(6;–2;3) B(0;1;6) C(2;0;–1) D(4;1;0)
 g) Mặt cầu đi qua bốn điểm A(1;0;0) B(0;–2;0) C(0;0;4) và qua góc toạ độ
 h) Có tâm I(4;2;2) và tiếp xúc mặt phẳng (P): 12x – 5z – 19 = 0
 i) Có tâm I(2;–1;3) và tiếp xúc với mp(Oxy) ( Oxz, Oyz )
 j) Mặt cầu đi qua ba điểm điểm A(0;8;0) B(4;6;2) C(0;12;4) và có tâm thuộc mp(Oyz)
 k) Mặt cầu đi qua ba điểm điểm A(1;0;0) B(0;1;0) C(0;0;1) và có tâm I thuộc mặt phẳng 
x + y + z – 3 = 0
 l) Cho bốn điểm A(3;–2;–2), B(3;2;0), C(0;2;1) và D(–1;1;2). Lập phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc mặt phẳng (BCD)
3) Viết phương trình mặt cầu đi qua A(1;2;–4), B(1;–3;1), C(2;2;3) và có 
 tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy).
4) Viết phương trình mặt cầu đi qua A(0;8;0), B(4;6;2), C(0;12;4) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz).
5)Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A(3;–1;2), B(1;1;–2)và có tâm thuộc trục Oz
6)Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A(0;1;2), B(1;0;–1)và có tâm thuộc trục Oz
7) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2) D( 2;2;1).
8) Tìm tâm và bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu
 a) (S): x2 + y2 + z2 – 6x + 2y – 2z + 10 = 0 và (P): x + 2y – 2z + 1 = 0
 b) (S): x2 + y2 + z2 – 12x + 4y – 6z + 24 = 0 và (P): 2x + 2y + z + 1 = 0
 c) (S): x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – 5