Bài tập Hình học không gian Lớp 12 - Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

, Q lµ giao ®iÓm cña BE vµ CF. Chøng minh r»ng AQ//Bx//Cy vµ (QMN) chøa ®­êng th¼ng cè ®Þnh khi M, N di ®éng
Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi M, N, P, Q lµ c¸c ®iÓm trªn BC, SC, SD vµ AD sao cho MN//SB, NP//CD, MQ//CD
a, Chøng minh PQ//SA
b, Gäi K lµ giao ®iÓm cña MN vµ PQ. Chøng minh SK//AD//BC
c, Qua Q dùng Qx//SC; Qy//SB. T×m giao ®iÓm cña Qx vµ mp(SAB); giao ®iÓm cña Qy vµ mp(SCD)
Bµi 6: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng . Trên hai đường thẳng chéo nhau AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho 
AM : AC = BN : BF = 1: 3 . Chứng minh MN //< DE
Bµi 7: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng . Trên hai đường thẳng chéo nhau AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho 
AM : AC = BN : BF = 5 . Dựng MM' < AB với M' trên AD; NN' < AB với N' trên AF. Chứng minh : a) MM' và NN' //< CD	b) M’N<// DF
Vấn đề 2: T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng – ThiÕt diÖn qua mét ®iÓm vµ song song víi ®­êng th¼ng cho tr­íc
Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh ®¸y AB vµ CD. Gäi I; J lµ trung ®iÓm cña AD vµ BC. Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c SAB
a, T×m giao tuyÕn cña (SAB) vµ (IJG)
b, X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mp(IJG). ThiÕt diÖn lµ h×nh g×? T×m ®iÒu kiÖn ®èi víi AB vµ CD ®Ó thiÕt diÖn lµ h×nh b×nh hµnh
Bµi 2: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y h×nh h×nh b×nh hµnh. Gäi I, J lµ träng t©m c¸c tam gi¸c SAB vµ SAD vµ M lµ trung ®iÓm cña CD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mp(IJM)
Bµi 3: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh ®¸y AD = a; BC = b. Gäi I; J lµ träng t©m c¸c tam gi¸c SAD vµ SBC
a, T×m ®o¹n giao tuyÕn cña mp(ADJ) víimp(SBC); cña (BCI) vµ (SAD)
b, T×m ®é dµi ®o¹n giao tuyÕn cña 2 mÆt ph¼ng (ADJ) vµ (BCI) giíi h¹n bëi 2 mp (SAB) vµ (SCD)
Bµi 4: Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh a. Gäi I vµ J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AC vµ BC. Gäi K lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BD víi KB = 2KD. 
a, X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña tø diÖn víi mp(IJK). Chøng minh thiÕt diÖn lµ h×nh thang c©n
b, TÝnh diÖn tchs cña thiÕt diÖn theo a
Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng t©m O c¹nh a. MÆt bªn SAB lµ tam gi¸c ®Òu, . Gäi Dx lµ ®­êng th¼ng qua D vµ song song víi SC.
a, T×m giao ®iÓm I cña Dx vµ mp(SAB). Chøng minh AI//SB
b, T×m thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mp(AIC) vµ tÝnh diÖn tÝch cña thiÕt diÖn ®ã
Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh; I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña SA vµ AB. M lµ ®iÓm bÊt k× trªn nöa ®­êng th¼ng Ax chøa C. BiÖn luËn theo vÞ trÝ cña M trªn Ax c¸c d¹ng cña thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mp(IJM)
Bµi 7: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a; mÆt bªn SAB lµ tam gi¸c ®Òu; SC = SD = . Gäi H vµ K lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña SA; SB. M lµ ®iÓm trªn c¹nh AD. MÆt ph¼ng (HKM) c¾t BC t¹i N
a,Chøng minh HKMN lµ h×nh thang c©n
b, §Æt AM = x . TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c HKMN theo a vµ x. T×m x ®Ó diÖn tÝch nµy nhá nhÊt
c, T×m tËp hîp giao ®iÓm cña HM vµ KN; HN vµ KM
Bµi 8: Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh a, lÊy M trªn c¹nh BA; P trªn c¹nh CD sao cho . X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña tø diÖn vµ mÆt ph¼ng qua MP vµ song song víi AC. TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn ®ã
BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Vấn đề 1: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Phương pháp chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P
Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng a chứa trong (P) .
Ghi chú : Nếu a không có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao tuyến của (P) và (Q) .
Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD
a, Chøng minh vµ 
b, Gäi P lµ trung ®iÓm cña SA. Chøng minh SB vµ SC song song víi mp(MNP)
c, Gäi G1 vµ G2 lÇn l­ît lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC vµ SBC. Chøng minh G1G2//mp(SAC)
Bµi 2: Cho tø diÖn ABCD. G lµ träng t©m tam gi¸c ABD, M trªn BC sao cho MB = 2MC. Chøng minh MG//mp(ACD)
Bµi 3: Cho tø diÖn ABCD. Gäi O vµ O’ lÇn l­ît lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp c¸c tam gi¸c ABC vµ ABD. Chøng minh:
a, §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó OO’//mp(BCD) lµ 
b, §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó OO’//mp(BCD) vµ mp(ACD) lµ BC = BD vµ AC = AD
Bµi 4: Cho hai h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ABEF kh«ng cïng n»m trong mét mÆt ph¼ng 
a, Gäi O vµ O’ lÇn l­ît lµ t©m cña ABCD vµ ABEF. Chøng minh OO’//(ADF); OO’//(BCE)
b, Trªn AE vµ BD lÊy M vµ N sao cho . Chøng minh MN//mp(CDEF)
Bµi 5: Cho tứ diện ABCD . Trên cạnh AD lấy trung điểm M ; trên BC lấy điểm N bất kì.Gọi (a) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD .
a)Tìm tiết diện của tứ diện ABCD với (a) ?
b)Xác định vị trí của N trên BC sao cho tiết diện là hình bình hành ?
Bµi 6: Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AB. (a) là mặt phẳng qua M và song song AD và SD.
a)Mặt phẳng (a) cắt SABCD theo tiết diện là hình gì ?
	b)Chứng minh SA // (a) 
Bµi 7: Cho hình chóp SABCD. có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (a) di 
động luôn luôn song song BC và đồng thời đi qua trung điểm C’ của SC . 
a)Mặt phẳng (a) cắt cac cạnh SA ; SB ; SD lần lượt tại A’ ; B’ ; D’ tiết diện A’B’C’D’ là hình gì ?
b)Chứng minh rằng (a) khi chuyển động luôn luôn chứa một đường thẳng cố định 
c)Gọi M là giao điểm của A’C’ và B’D’ .Chứng minh khi (a) di động thì M di động trên đường thẳng cố định 
Bµi 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy là bình hành.Gọi M là điểm di động trên cạnh SC; mặt phẳng (a) chứa AM và < BD 
a)Chứng minh (a) luôn luôn đi qua một đường thẳng cố định khi M chuyển động trên cạnh SC 
b) (a) cắt SB và SD tại E ; F .Trình bày cách dựng E và F ?
c)Gọi I là giao điểm của ME và CB; J là giao điểm của MF và CD . Chứng minh ba điểm I ; J ; A thẳng hàng
Vấn đề 2: . T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng –
 ThiÕt diÖn song song víi ®­êng th¼ng cho tr­íc
Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD. Gäi M vµ N lµ hai ®iÓm bÊt k× trªn SB vµ CD. lµ mÆt ph¼ng qua MN vµ song song víi SC
a, T×m giao tuyÕn cña mp víi c¸c mÆt ph¼ng (SBC); (SCD); SAC)
b, x¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mp
Bµi 2: Cho tø diÖn ABCD cã AB = a; CD = b. Gäi I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD. (P) lµ mÆt ph¼ng qua M trªn IJ vµ song song víi AB vµ CD
a, T×m giao tuyÕn cña mp(P) víi mp(IJD)
b, X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mo(P). ThiÕt diÖn lµ h×nh g×?
Bµi 3: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi C’ lµ trung ®iÓm cña SC; M lµ ®iÓm di ®éng trªn SA, (P) lµ mÆt ph¼ng di ®éng lu«n ®i qua C’M vµ song song víi BC
a, Chøng minh (P) lu«n chøa ®­êng th¼ng cè dÞnh
b, X¸c ®Þnh hiÕ diÖn cua hinh chãp c¾ bëi mp(P). X¸c ®Þnh ®iªm M ®ª thiÕt diÖn lµ h×nh b×nh hµnh
c, T×m tËp hîp giao ®iÓm cña hai c¹nh ®èi cña thiÕt diÖn khi M di chuyÓn trªn c¹nh SA
Bµi 4: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh thang víi ®¸y lín BC = 2a; AD = a vµ AB = b. MÆt bªn SAD lµ ta, gi¸c ®Òu, (P) lµ mÆt ph¼ng qua ®iÓm M trªn ®o¹n AB vµ song song víi SA vµ BC, pm(P) c¾t CD; SC; SB lÇn l­ît t¹i I; J; K
a, Chøng minh MIJK lµ h×nh thang c©n
b, TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mp(P) theo a vµ x = AM. 
Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD. Gäi M vµ N lµ hai ®iÓm trªn AB vµ CD vµ (P) lµ mÆt ph¼ng qua MN vµ song song víi SA
a, T×m c¸c giao tuyÕn cña (P) víi (SAB) vµ (SAC)
b, X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mp(P)
c, T×m ®iÒu kiÖn cña M; N ®Ó thiÕt diÖn lµ h×nh thang
Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O; M lµ ®iÓm di ®éng trªn SC vµ (P) lµ mÆt ph¼ng qua AM vµ song song víi BD
a, Chøng minh (P) lu«n chøa mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh
b, T×m c¸c giao ®iÓm H vµ K cña (P) víi SB vµ SD. Chøng minh lµ mét h»ng sè
c, ThiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mp(P) cã thÓ lµ h×nh thang ®­îc hay kh«ng
Bµi 7: Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh a; M vµ P lµ hai ®iÎm di ®éng trªn c¸c c¹nh AD vµ BC sao cho AM=CP=x (0 < x < a). Mét mÆt ph¼ng qua MP vµ song song víi CD c¾t tø diÖn theo mét thiÕt diÖn
a, Chøng minh thiÕt diÖn th«ng th­êng lµ h×nh thang c©n
b, TÝnh x ®Ó diÖn tÝch thiÕt diÖn nhá nhÊt
Bµi 8. Cho h×nh chãp S.ABCD gäi M, N lµ hai ®iÓm bÊt k× trªn SB vµ CD. ( a) lµ mÆt ph¼ng qua MN vµ song song víi SC 
	a. T×m giao tuyÕn cña (a) víi c¸c mÆt ph¼ng (SBC), (SCD), vµ (SAC)
	b. X¸c ®inh thiÕt diÖn cña h×nh chãp t¹o bëi mÆt ph¼ng (a)
Bµi 9. Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh t©m O. M lµ trung ®iÓm cña SB. X¸c ®ÞnhthiÕt diÖn cña h×nh chãp SABCD t¹o bëi mÆt ph¼ng (a) biÕt
	a. (a) qua M vµ song song SO vµ AD
	b. (a) qua O vµ song song AM vµ SC
Bµi 10. Cho h×nh chãp S.ABCD; G lµ träng t©m D ABC; M, N, P, Q, R, H lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña SA, SC, CB, BA, QN, AG
	a. Chøng minh r»ng: S, R, G th¼ng hµng vµ SH = 2MH = 4RG
	b. G1 lµ träng t©m D SBC. Chøng minh r»ng GG1 // (SAB); GG1 // (SAC)
	c. mÆt ph¼ng (a) qua GG1 vµ song song BC. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp t¹o bëi mÆt ph¼ng (a) 
Bµi 11. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang ®¸y lín AD. Mét ®iÓm M bÊt k× n»m trªn AB, (a) lµ mÆt ph¼ng qua M vµ song song AD vµ SB
	a. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp t¹o bëi mÆt ph¼ng (a). ThiÕt diÖn lµ h×nh g×?
	b. Chøng minh SC song song (a).
Bµi 12. Cho tø diÖn ABCD ®Òu c¹nh a. I lµ trung ®iÓm cña AC , J Î AD sao cho AJ = 2JD. M lµ mét ®iÓm di ®éng trong D BCD sao cho mÆt ph¼ng (MIJ) lu«n song song AB
	a. T×m tËp hîp ®iÓm M
	b. TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn cña tø diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng (MIJ)
BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Vấn Đề 1: MẶT PHẲNG SONG SONG
Phương pháp Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp :
* Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia .
Bµi 1: Cho h×nh chíp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O. Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña SA vµ CD
a, Chøng minh: mp(OMN) // mp(SBC)
b, I lµ trung ®iÓm cña SC vµ J lµ ®iÓm n»m trªn mp(ABCD) c¸ch ®Òu AB vµ CD. Chøng minh IJ // mp(SAB)
c, Gi¶ sö c¸c tam gi¸c SAB vµ ABC c©n t¹i A. Gäi AE vµ AF lµ c¸c ®­êng ph©n gi¸c trong cña c¸c tam gi¸c ACD vµ SAB. Chøng minh EF // mp(SAD)
Bµi 2: Cho hai h×nh vu«ng ABCD vµ ABEF kh«ng cïng n»m trong mét mÆt ph¼ng. Trªn AC vµ BF lÊy M vµ N sao cho AM = BN