Bài tập Hình học 12 tập 3 - Chương III: Phương pháp tọa độ trong không gian - Trần Sĩ Tùng

:
( ) :
D
ì -ï = =
í -
ï + - + =ỵ
 e) 
2 2 1
3 4 1
2 3 4 0
x y z
P x y z
:
( ) :
D
ì - + -ï = =
í
ï + + + =ỵ
 f) 
1 2
1 2 1
2 3 5 0
x y z
P x y z
:
( ) :
D
ì - -ï = =
í - -
ï - - + =ỵ
 g) 
5 4 2 5 0
2 2 0
2 1 0
x y z
x z
P x y z
:
( ) :
D
ì ì - - - =ï í + - =í ỵ
ï - + - =ỵ
 h) 
1 0
2 2 0
2 1 0
x y z
x z
P x y z
:
( ) :
D
ì ì - - - =ï í + - =í ỵ
ï + - - =ỵ
Bài 13. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng 
d1 và cắt đường thẳng d2 cho trước: 
 a) 1 2
11 20 1 1
3 1 1 1
xx y z
A d d y t
z t
( ; ; ), : , :
ì = -ï- -
= = =í
ï = +ỵ
 b) 1 2
21 11 1 1 1 2
2 1 1 1
xx y z
A d d y t
z t
( ; ; ), : , :
ì =ï- +
= = = +í
- ï = - -ỵ
 c) 1 2
1 4 1 1 31 2 3
6 2 3 3 2 5
x y z x y z
A d d( ; ; ), : , :+ - - + -- - = = = =
- - -
PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
Trang 50 
Bài 14. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1); D(1; 1; 1). Viết phương trình tham 
số của các đường thẳng sau: 
 a) Chứa các cạnh của tứ diện tứ diện ABCD. 
 b) Đường thẳng qua C và vuông góc với mp(ABD). 
 c) Đường thẳng qua A và qua trọng tâm của tam giác BCD. 
Bài 15. Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) và hai trung tuyến: 
1
3
2
6
2
3 :)( 1
-
=
-
=
-
- zyxd , 
1
2
4
2
1
4 :)( 2
-
=
-
-
=
- zyxd . Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau: 
 a) Chứa các cạnh của tam giác ABC. 
 b) Đường phân giác trong của góc A. 
Bài 16. Cho tam giác ABC có 3 1 1 1 2 7 5 14 3A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - - . Viết phương trình tham số của 
các đường thẳng sau: 
 a) Trung tuyến AM. b) Đường cao BH. 
 c) Đường phân giác trong BK. d) Đường trung trực của BC trong DABC. 
Bài 17. Cho bốn điểm 1 2 1 3 4 1 1 4 1 3 2 1S A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - . 
 a) Chứng minh S.ABC là một hình chóp. 
 b) Viết phương trình tham số của các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp. 
 c) Viết phương trình đường vuông góc chung của SA và BC. 
Bài 18. Cho bốn điểm 1 2 3 2 2 3 1 1 3 1 2 5S A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - . 
 a) Chứng minh S.ABC là một tứ diện. 
 b) Viết phương trình các hình chiếu của SA, SB trên mặt phẳng (ABC). 
Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian 
Trang 51 
VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng 
Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: 
 · Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường 
thẳng. 
 · Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng. 
Bài 1. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d1, d2 cho trước: 
 a) {1 2
1 2 4 1 2 3
2 1 3
x y z
d d x t y t z t: ; : ; ;- + -= = = - + = - = - +
-
 b) { {1 25 2 1 5 3 2 3 1d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= + = - = - = + = - - = - 
 c) { {1 22 2 1 1 1 1 3d x t y t z d x y t z t: ; ; ; : ; ;= + = - + = = = + = - 
 d) 1 2
1 2 3 7 6 5
9 6 3 6 4 2
x y z x y z
d d: ; :- - - - - -= = = = 
 e) 1 2
1 5 3 6 1 3
2 1 4 3 2 1
x y z x y z
d d: ; :- + - - + += = = = 
 f) 1 2
2 1 7 2
4 6 8 6 9 12
x y z x y z
d d: ; :- + - -= = = =
- - -
 g) 1 2
2 2 2 0 2 2 0
2 2 4 0 2 1 0
x y z x y zd d
x y z x y z
: ; :ì ì- + - = + - + =í í+ - + = - + - =ỵ ỵ
 h) {1 2
2 3 3 9 09 5 3
2 3 0
x y zd x t y t z t d
x y z
: ; ; ; : ì - - - == = = - í - + + =ỵ
Bài 2. Chứng tỏ rằng các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau. Viết phương trình đường vuông 
góc chung của chúng: 
 a) { {1 21 2 3 2 3 2 1 3 2d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= - = + = - - = = + = - 
 b) { {1 21 2 2 2 2 5 3 4d x t y t z t d x t y t z: ; ; ; : '; ';= + = - = - = = - = 
 c) { {1 23 2 1 4 4 2 2 3 4 1 2d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= - = + = - = + = - = - 
 d) 1 2
2 1 1 1
3 2 2 1 2 4
x y z x y z
d d: ; :- + - += = = =
-
 e) 1 2
7 3 9 3 1 1
1 2 1 7 2 3
x y z x y z
d d: ; :- - - - - -= = = =
- -
 f) 1 2
2 1 3 3 1 1
2 1 2 2 2 1
x y z x y z
d d: ; :- - - - + -= = = =
- -
 g) 1 2
2 2 2 0 2 2 0
2 2 4 0 2 1 0
x y z x y zd d
x y z x y z
: ; :ì ì- + - = + - + =í í+ - + = - + - =ỵ ỵ
Bài 3. Tìm giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2: 
 a) { {1 23 1 2 3 1 2 4d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= = - = + = + = = + 
 b) {1 2
3 0 1 2 3
2 1 0
x y zd d x t y t z t
x y
: ; : ; ;ì + + + = = + = - + = -í - + =ỵ
 c) 1 2
2 4 0 2 0
2 6 0 2 7 0
x y z x zd d
x y z y z
: ; :ì ì- - - = - - =í í+ + + = + + =ỵ ỵ
 d) 1 2
2 1 0 3 3 0
1 0 2 1 0
x y x y zd d
x y z x y
: ; :ì ì+ + = + - + =í í- + - = - + =ỵ ỵ
PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
Trang 52 
Bài 4. Tìm m để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau. Khi đó tìm toạ độ giao điểm của chúng: 
 a) { {1 21 1 2 1 2 2 3d x mt y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= + = = - + = - = + = - 
 b) { {1 21 3 2 2 1 2 3d x t y t z m t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= - = + = + = + = + = - 
 c) 1 2
2 4 0 2 3 0
3 0 2 6 0
x y z x y mzd d
x y x y z
: ; :ì ì+ - - = + + - =í í+ - = + + - =ỵ ỵ
VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng 
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: 
 · Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của 
mặt phẳng. 
 · Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng. 
Bài 1. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm giao điểm (nếu có) của 
chúng: 
 a) { 2 1 3 10 0d x t y t z t P x y z: ; ; ; ( ) := = - = + + + - = 
 b) { 3 2 1 4 4 5 4 3 6 5 0d x t y t z t P x y z: ; ; ; ( ) := - = - = - - - - = 
 c) 12 9 1 3 5 2 0
4 3 1
x y z
d P x y z: ; ( ) :- - -= = + - - = 
 d) 11 3 3 3 2 5 0
2 4 3
x y z
d P x y z: ; ( ) :+ -= = - + - = 
 e) 13 1 4 2 4 1 0
8 2 3
x y z
d P x y z: ; ( ) :- - -= = + - + = 
 f) 3 5 7 16 0 5 4 0
2 6 0
x y zd P x z
x y z
: ; ( ) :ì + + + = - - =í - + - =ỵ
 g) 2 3 6 10 0 4 17 0
5 0
x y zd P y z
x y z
: ; ( ) :ì + + - = + + =í + + + =ỵ
Bài 2. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm m, n để: 
 i) d cắt (P). ii) d // (P). iii) d ^ (P). iv) d Ì (P). 
 a) 1 2 3 3 2 5 0
2 1 2
x y z
d P x y z
m m
: ; ( ) :- + += = + - - =
-
 b) 1 3 1 3 2 5 0
2 2
x y z
d P x y z
m m
: ; ( ) :+ - -= = + + - =
-
 c) 3 2 3 0 2 3 2 0
4 3 4 2 0
x y zd P x y m z
x y z
: ; ( ) : ( )ì - + + = - + + - =í - + + =ỵ
 d) { 3 4 1 4 3 1 2 4 9 0d x t y t z t P m x y z n: ; ; ; ( ) : ( )= + = - = - + - + - + - = 
 e) { 3 2 5 3 2 2 2 3 3 5 0d x t y t z t P m x n y z: ; ; ; ( ) : ( ) ( )= + = - = - + + + + - = 
Bài 3. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm m, n để: 
 a) { 2 3d x m t y t z t: ; ;= + = - = cắt 2 5 0P x y z( ) : - + - = tại điểm có tung độ bằng 3. 
 b) 2 3 0
2 5 0
x yd
y z
: ì - - =í + + =ỵ
 cắt 2 2 2 0P x y z m( ) : + + - = tại điểm có cao độ bằng –1. 
 c) 2 3 0
3 2 7 0
x yd
x z
: ì + - =í - - =ỵ
 cắt 0P x y z m( ) : + + + = 
Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian 
Trang 53 
VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu 
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau: 
 · Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính. 
 · Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu. 
Bài 1. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt cầu (S). Tìm giao điểm (nếu có) của 
chúng: 
 a) 2 2 21 2 2 4 1 0
2 1 1
x y z
d S x y z x z: ; ( ) :- -= = + + - + + =
-
 b) 2 2 22 1 0 1 2 16
2 3 0
x y zd S x y z
x z
: ; ( ) : ( ) ( )ì + - - = - + - + =í - - =ỵ
 c) 2 2 22 1 0 2 2 14 0
2 0
x y zd S x y z x y
x y
: ; ( ) :ì - - - = + + - + - =í + + =ỵ
 d) 2 2 22 1 0 4 2 10 8 0
2 0
x y zd S x y z x y z
x y
: ; ( ) :ì - - - = + + + - - - =í + + =ỵ
 e) { 2 2 22 3 2 4 2 2 0d x t y t z t S x y z x y z: ; ; ; ( ) := - - = = - + + - - + - = 
 f) { 2 2 21 2 2 3 2 4 6 2 0d x t y t z t S x y z x y z: ; ; ; ( ) := - = + = + + + - - + - = 
 g) { 2 2 21 2 4 2 4 6 2 0d x t y t z S x y z x y z: ; ; ; ( ) := - = - = + + - - + - = 
Bài 2. Biện luận theo m, vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt cầu (S): 
 a) 2 2 22 0 1 2 1 8
2 0
x y z md S x y z
x y
: ; ( ) : ( ) ( ) ( )ì - - + = - + - + + =í + + =ỵ
 b) { 2 2 21 2 2 4 1 0d x t y m t z t S x y z x z: ; ; ; ( ) := - = + = + + + - + + = 
 c) 2 2 22 3 0 2 2 4 0
2 1 0
x yd S x y z x y z m
x z
: ; ( ) :ì - - = + + + - + + =í + - =ỵ
Bài 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d: 
 a) {1 2 1 1 4 3 2 4 2I d x t y t z t( ; ; ); : ; ;- = + = - = - 
 b) {1 2 1 1 2 2I d x t y z t( ; ; ); : ; ;- = - = = 
 c) 2 1 14 2 1
2 1 2
x y z
I d( ; ; ); : - + -- = = 
 d) 1 21 2 1
2 1 3
x y z
I d( ; ; ); : - -- = =
-
 e) 2 1 01 2 1
1 0
x yI d
z
( ; ; ); : ì - - =- í - =ỵ
Bài 4. Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 3. Viết phương trình tiếp tuyến d của 
(S), biết: 
 a) d đi qua A(0; 0; 5) Ỵ (S) và có VTCP 1 2 2a ( ; ; )=r . 
 b) d đi qua A(0; 0; 5) Ỵ (S) và vuông góc với mặt phẳng: 3 2 2 3 0x y z( ) : .a - + + = 
Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện, với: 
 a) A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3), D(1; 3; 3). 
 b) A(1; 0; 2), B(2; –1; 1), C(0; 2; 1), D(–1; 3; 0). 
 c) A(3; 2; 1), B(1; –2; 1), C(–2; 2; –2), D(1; 1; –1). 
 d) A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8), D(–3; 1; 2). 
PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
Trang 54 
VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách 
1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d 
 · Cách 1: Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP a
r . 
 0
M M a
d M d
a
,
( , )