Bài tập Hình học 12 - Chương III: Phương pháp tọa độ trong không gian - Văn Ngọc Oanh

CHƯƠNG III Hình Học 12 
GV:Văn Ngọc Oanh 1 
CHƯƠNG III: 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. 
§1: HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
I. Tọa độ của điểm và của vectơ 
1.Hệ trục tọa độ: 
 Kí hiệu: Oxyz 
 O: gốc tọa độ 
 Ox, Oy, Oz: trục hành, trục tung, trục cao. 
 (Oxy);(Oxz);(Oyz) các mặt phẳng tọa độ 
2. Tọa độ của 1 điểm. 
 ( ; ; )M x y z OM xi yz zk   
   
3. Toạ độ của vectơ 
 ( , , )a x y z a xi xz xk    
    
 Lưu ý: Tọa độ của M chính là tọa độ OM

Ví dụ: Tìm tọa độ của 3 vectơ sau biết 
2 3
4 2
3
a i J k
b J k
c J i
  
 
 
   
  
  
Ví dụ 2: (Sgk) 
II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ. 
Định lý: Trong không gian Oxyz cho 1 2 3 1 2 3( ; ; ), ( , , )a a a a b b b b 
 
 1 1 2 2 3 3(1) ( , , )    
 
a b a b a b a b 
 1 2 3 2 3(2) ( ; ; ) ( , , ) 

aka k a a a ka ka ka ( )k R 
Hệ quả: 
1 1
2 2
3 3


  
 
  a b
a b a b
a b
Xét vectơ 0

 có tọa độ là (0;0;0) 
CHƯƠNG III Hình Học 12 
GV:Văn Ngọc Oanh 2 
1 1 2 2 3 3
, / /
, ,
( , , )
   
  
   
   

B A B A B A
b o a b k R
a kb a kb a kb
AB x x y y z z
Nếu M là trung điểm của đoạn AB 
Thì: , ,
2 2 2
   
  
 
x x y y z zB B BA A AM 
III. Tích vô hướng 
 1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng. 
 Định lí. 
( , , ), ( , , )1 2 3 1 2 3
. 1 1 2 2 3 3
 
  
 
 
a a a a b b b b
a b a b a b a b
 2. Ứng dụng 
 a) Độ dài của vectơ 2 2 21 2 3

  a a a a 
 b) Khoảng cách giữa 2 điểm. 
 2 2( ) ( )    

B A B AAB AB x x y y 
 3. Góc giữa hai véctơ 
 Gọi  là góc hợp bởi a

 và b

1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
os b
a b a b aabC
a b a a a b b b


 
   


  
 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b   
 
Vdụ: (SGK) 
 Cho (3; 0;1); (1; 1; 2); (2;1; 1)      
  
a b c 
 Tính : ( )
  
a b c và 
 
a b . 
IV. Phương trình mặt cầu. 
 Định lí. 
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I (a,b,c) bán kính R có phương trình. 
 2 2 2 2( ) ( ) ( )     x a y b z c R 
Để viết phương trình mặt cầu ,ta cần tìm tâm và bán kính 
Phương trình mặt cầu trên còn được viết : 
2 2 2
2 2 2
x y z 2ax 2by 2cz d 0
r a b c d 0
       

    
 V. Giao của mặt cầu với mặt phẳng: 
CHƯƠNG III Hình Học 12 
GV:Văn Ngọc Oanh 3 
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình: 
2 2 2 2
(P) : Ax By Cz d 0
(S) : (x a) (y b) (z c) R
   
     
Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I (a;b;c) của (S) trên mặt phẳng (P): 
2 2 2
Aa Bb Cc D
IH d(I;(P))
A B C
  
 
 
Tùy theo khoảng cách IH và R ta có : 
 Nếu IH > R :(P) không cắt (S) (P) (S)   
 Nếu IH = R :(P) tiếp xúc (S)  (P) (S) H   ;(P) gọi là mặt phẳng tiếp diện. 
H là tiếp điểm. 
 Nếu IH < R: (P) cắt (S) theo một đường tròn (C ) có tâm H và bán kính 
2 2r R IH  .Vậy hệ phương trình 2 2 2 2
2 2 2
Ax By Cz D 0
(x a) (y b) (z c) R
Ax By Cz D
R
A B C


   

     
    
  
là phương 
trình đường tròn trong không gian. 
 Ví dụ: Viết pt mặt cầu tâm I (2,0,-3), R=5 
Áp dụng công thức : 
 2 2 2 2( 2) ( 3) 5    x y z 
Ví dụ: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu. 
2 2 2
2 2 2 2
 4 6 3 0
( 2) ( 3) 4
     
     
x y z x y
x y z
Vậy I(2;-3;0) R = 4 
Bài tập 1: Trong không gian Oxyz cho a(2; 5;3); b(0;2;-1); c(1;7;2).
 
a) Tính toạ độ véc tơ 
1u 4a b 3c
3
  
 
b) v a 4b 2c  
 
Bài tập 2: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;-1;1); B(0;1;2); C(1;0;1). 
a) Tính AB

 ; AB và BC. 
b) Tính toạ độ trong tâm G của tam giác ABC. 
c) Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành. 
Bài tập 3: Trong không gian Oxyz cho hai điểm: A(4;-3;7) và B (2;1;3) 
a) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB. 
b) Viết phương trình mặt cầu qua gốc toạ độ O và có tâm B. 
CHƯƠNG III Hình Học 12 
GV:Văn Ngọc Oanh 4 
c) Viết phương trình mặt cầu tâm nằm trên Oy và qua hai điểm A;B. 
Bài tập 4: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình 
a) 2 2 2 8 2 1 0     x y z x y 
b) 2 2 23 3 3 6 8 15 3 0      x y z x y z 
Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu sau: 
a) Có đường kính AB với A = (4;-3;7) ;B = (2;1;3;) 
b) Đi qua A = ( 5;-2;1) và có tâm C = (3;-3;1). 
Bài tập 6: Lập phương trình mặt cầu tâm I=)2;1;3) tiếp xúc với mặt phẳng (P): 
 x+2y+2z-1=0 
Bài tập 7: Lập phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A(1;2;-4) ;B(1;-3;1) ;C(2;2;3) và có 
tâm nằm trên (Oxy) 
Bài tập 8: Lập phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(2;0;0) ;B(0;4;0) ;C(0;0;4) 
;O(0;0;0) 
Bài tập 9: Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu (S) với mặt phẳng ((P) 
2 2 2(S) : x y z 6x 2y 4z 5 0a)
(P) : x 2y z 1 0
       

   
2 2 2(S) : x y z 6x 2y 2z 10 0b)
(P) : x 2y 2z 4 0
       

   
2 2 2(S) : x y z 4x 8y 2z 4 0c)
(P) : x y z 10 0
       

   
Bài tập 10: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình: 
2 2 2(S) : x y z 6x 2y 2z 10 0a)
(P) : x 2y 2z 1 0
       

   
2 2 2(S) : x y z 12x 4y 6z 24 0b)
(P) : 2x 2y z 1 0
       

   
Bài tập 11: Tìm phương trình tiếp diện của mặt cầu 
(S): 2 2 2x y z 6x 2y 4z 5 0       tại M(4;3;0) 
Bài tập 12: Cho bốn điểm A(6,-2,3);B(0;1;6);C(2;0;-1) ;D(4;1;0).Viết phương trình mặt 
cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Tìm tâm và bán kính mặt cầu.