Bài tập Hình học 12 - Chương 0: Ôn tập Hình học không gian 11 - Trần Sĩ Tùng

2 0
P x z
Q y
( ) :
( ) :
ì + - =
í - =î
 f) 2 1 0
1 0
P x y z
Q x z
( ) :
( ) :
ì + + - =
í + - =î
Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian 
Trang 45 
 Baøi 6. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường 
thẳng d1, d2 cho trước: 
 a) 1 2
1 2 1
1 0 5 3 2 2
1 1 3
ì ì= + = -ï ï
= - = +í í
ï ï= + = -î î
x t x t
A d y t d y t
z t z t
'
( ; ; ), : , : '
'
 b) 1 2
1 1 3
2 1 1 2 2
3 3
ì ì= + = +ï ï
- = - + = - +í í
ï ï= = +î î
x t x t
A d y t d y t
z z t
'
( ; ; ), : , : '
'
 c) 1 2
1 1
1 2 3 2 2 2
3 3 3
ì ì= - =ï ï
- = - - = - +í í
ï ï= - = +î î
x t x
A d y t d y t
z t z t
( ; ; ), : , : '
'
 d) 1 2
7 3 1
4 1 4 4 2 9 2
4 3 12
ì ì= - + = +ï ï
= - = - +í í
ï ï= + = - -î î
x t x t
A d y t d y t
z t z t
'
( ; ; ), : , : '
'
 e) 1 2
1 3 2
2 1 3 1 3 4
2 2 2
ì ì= + =ï ï
- - = + = - +í í
ï ï= - + = -î î
x t x t
A d y t d y t
z t z t
'
( ; ; ), : , : '
'
 f) 1 23 1 4 1 1 2
2 0
ì ì= =ï ï
- = - = -í í
ï ï= - =î î
x t x t
A d y t d y t
z t z
'
( ; ; ), : , : ' 
Baøi 7. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng 
D cho trước: 
 a) 1 2 2 1
2
x t
A y t
z t
( ; ; ), :D
ì =ï
- = -í
ï =î
 b) 
3 2
4 2 4 1
1 4
x t
A y t
z t
( ; ; ), :D
ì = - +ï
- - = -í
ï = - +î
 c) 
1 3
2 1 3 1
2 2
x t
A y t
z t
( ; ; ), :D
ì = +ï
- - = +í
ï = - +î
 d) 3 1 4 1
2
x t
A y t
z t
( ; ; ), :D
ì =ï
- = -í
ï = -î
 e) 
1
1 2 3 2 2
3 3
x t
A y t
z t
( ; ; ), :D
ì = -ï
- = - -í
ï = -î
 f) 
1
2 1 1 2
3
x t
A y t
z
( ; ; ), :D
ì = +ï
- = - +í
ï =î
Baøi 8. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 
cho trước: 
 a) 1 2
1 2 1
1 0 5 3 2 2
1 1 3
ì ì= + = -ï ï
= - = +í í
ï ï= + = -î î
x t x t
A d y t d y t
z t z t
'
( ; ; ), : , : '
'
 b) 1 2
1 1 3
2 1 1 2 2
3 3
ì ì= + = +ï ï
- = - + = - +í í
ï ï= = +î î
x t x t
A d y t d y t
z z t
'
( ; ; ), : , : '
'
 c) 1 2
1 3 2 2
4 5 3 3 2 1 3
2 1 5
ì ì= - + = +ï ï
- - = - - = - +í í
ï ï= - = -î î
x t x t
A d y t d y t
z t z t
'
( ; ; ), : , : '
'
 d) 1 2
1 3
2 1 1 2 4
3 5 2
ì ì= + = -ï ï
- = - + =í í
ï ï= - + =î î
x t x t
A d y t d y t
z t z t
'
( ; ; ), : , : '
'
 e) 1 2
2 4 3
2 3 1 1 2 1
1 3 2 3
ì ì= + = - +ï ï
- = - = +í í
ï ï= + = - +î î
x t x t
A d y t d y t
z t z t
'
( ; ; ), : , : '
'
 f) 1 2
3 3 3 2
3 2 5 1 4 1
2 2 2 3
ì ì= - + = +ï ï
- = + = -í í
ï ï= + = -î î
x t x t
A d y t d y t
z t z t
'
( ; ; ), : , : '
'
Baøi 9. Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường 
thẳng d1, d2 cho trước: 
 a) 
1 2
2 0
21 4 2
1 1 4 1
P y z
x tx y z
d d y t
z
( ) :
: , :
ì + =
ïï ì = -ï-í = = = +íï - ï =ï îî
 b) 
1 2
6 2 2 3 0
1 2 1
3 2 2
1 1 3
ì + + + =
ïï ì ì= + = -ï ïí = - = +í íï ï ï= + = -ï î îî
P x y z
x t x t
d y t d y t
z t z t
( ) :
'
: , : '
'
 c) 
1 2
2 3 3 4 0
7 3 1
4 2 9 2
4 3 12
ì - + - =
ïï ì ì= - + = +ï ïí = - = - +í íï ï ï= + = - -ï î îî
P x y z
x t x t
d y t d y t
z t z t
( ) :
'
: , : '
'
 d) 
1 2
3 3 4 7 0
1 1
2 2 2
3 3 3
ì + - + =
ïï ì ì= - =ï ïí = - - = - +í íï ï ï= - = +ï î îî
P x y z
x t x
d y t d y t
z t z t
( ) :
: , : '
'
Baøi 10. Viết phương trình tham số của đường thẳng song song với đường thẳng D và cắt cả hai 
đường thẳng d1, d2 cho trước: 
PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
Trang 46 
 a) 1
2
1 1
2 1 2
1 1
1 2 1
2 1 3
3 2 1
x y z
x y zd
x y z
d
:
:
:
D
ì - -
= =ï -ïï + -
= =í
-ï
- + +ï = =ïî
 b) 1
2
1 5
3 1 1
1 2 2
1 4 3
4 7
5 9 1
x y z
x y zd
x y zd
:
:
:
D
ì - -
= =ï -ïï - + -
= =í
ï
+ +ï = =ïî
 c) 1
2
1 2 2:
1 4 3
1 2 2:
1 4 3
4 7:
5 9 1
- + -ìD = =ï
ï
- + -ï = =í
ï
+ +ï = =ïî
x y z
x y zd
x y zd
 d) 1
2
1 3 2
3 2 1
2 2 1
3 4 1
7 3 9
1 2 1
x y z
x y zd
x y zd
:
:
:
D
ì + + -
= =ï - -ïï - + -
= =í
ï
- - -ï = =ïî -
Baøi 11. Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo 
nhau d1, d2 cho trước: 
 a) 1 2
3 2 2 3
1 4 4
2 4 1 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
'
: , : '
'
ì ì= - = +ï ï
= + = -í í
ï ï= - + = -î î
 b) 1 2
1 2 2 3
3 1 2
2 3 4 4
x t x t
d y t d y t
z t z t
'
: , : '
'
ì ì= + = - +ï ï
= - + = +í í
ï ï= + = - +î î
 c) 1 2
2 2 1
1 3
3 1 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
'
: , : '
'
ì ì= + = +ï ï
= + = +í í
ï ï= - = +î î
 d) 1 2
2 3 1 2
3 1 2
1 2 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
'
: , : '
'
ì ì= + = - +ï ï
= - - = -í í
ï ï= + = +î î
Baøi 12. Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng D trên mặt 
phẳng (P) cho trước: 
 a) 
2 3 1
2 1 3
2 2 3 0
x y z
P x y z
:
( ) :
D
ì + - -ï = =
í -
ï - + + =î
 b) 
3 2 2
1 2 3
3 4 2 3 0
x y z
P x y z
:
( ) :
D
ì - - +ï = =
í -
ï + - + =î
 c) 
1 1 3
1 2 2
2 2 3 0
x y z
P x y z
:
( ) :
D
ì + - -ï = =
í -
ï - + - =î
 d) 
1
2 1 1
1 0
x y z
P x y z
:
( ) :
D
ì -ï = =
í -
ï + - + =î
 e) 
2 2 1
3 4 1
2 3 4 0
x y z
P x y z
:
( ) :
D
ì - + -ï = =
í
ï + + + =î
 f) 
1 2
1 2 1
2 3 5 0
x y z
P x y z
:
( ) :
D
ì - -ï = =
í - -
ï - - + =î
 g) 
5 4 2 5 0
2 2 0
2 1 0
x y z
x z
P x y z
:
( ) :
D
ì ì - - - =ï í + - =í î
ï - + - =î
 h) 
1 0
2 2 0
2 1 0
x y z
x z
P x y z
:
( ) :
D
ì ì - - - =ï í + - =í î
ï + - - =î
Baøi 13. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 
và cắt đường thẳng d2 cho trước: 
 a) 1 2
11 20 1 1
3 1 1 1
xx y z
A d d y t
z t
( ; ; ), : , :
ì = -ï- -
= = =í
ï = +î
 b) 1 2
21 11 1 1 1 2
2 1 1 1
xx y z
A d d y t
z t
( ; ; ), : , :
ì =ï- +
= = = +í
- ï = - -î
 c) 1 2
1 4 1 1 31 2 3
6 2 3 3 2 5
x y z x y z
A d d( ; ; ), : , :+ - - + -- - = = = =
- - -
Baøi 14. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1); D(1; 1; 1). Viết phương trình tham 
số của các đường thẳng sau: 
Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian 
Trang 47 
 a) Chứa các cạnh của tứ diện tứ diện ABCD. 
 b) Đường thẳng qua C và vuông góc với mp(ABD). 
 c) Đường thẳng qua A và qua trọng tâm của tam giác BCD. 
Baøi 15. Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) và hai trung tuyến: 
1
3
2
6
2
3 :)( 1
-
=
-
=
-
- zyxd , 
1
2
4
2
1
4 :)( 2
-
=
-
-
=
- zyxd . Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau: 
 a) Chứa các cạnh của tam giác ABC. 
 b) Đường phân giác trong của góc A. 
Baøi 16. Cho tam giác ABC có 3 1 1 1 2 7 5 14 3A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - - . Viết phương trình tham số của 
các đường thẳng sau: 
 a) Trung tuyến AM. b) Đường cao BH. 
 c) Đường phân giác trong BK. d) Đường trung trực của BC trong DABC. 
Baøi 17. Cho bốn điểm 1 2 1 3 4 1 1 4 1 3 2 1S A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - . 
 a) Chứng minh S.ABC là một hình chóp. 
 b) Viết phương trình tham số của các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp. 
 c) Viết phương trình đường vuông góc chung của SA và BC. 
Baøi 18. Cho bốn điểm 1 2 3 2 2 3 1 1 3 1 2 5S A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - . 
 a) Chứng minh S.ABC là một tứ diện. 
 b) Viết phương trình các hình chiếu của SA, SB trên mặt phẳng (ABC). 
PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
Trang 48 
 VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng 
Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: 
 · Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường 
thẳng. 
 · Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng. 
Baøi 1. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d1, d2 cho trước: 
 a) {1 2
1 2 4 1 2 3
2 1 3
x y z
d d x t y t z t: ; : ; ;- + -= = = - + = - = - +
-
 b) { {1 25 2 1 5 3 2 3 1d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= + = - = - = + = - - = - 
 c) { {1 22 2 1 1 1 1 3= + = - + = = = + = -d x t y t z d x y t z t: ; ; ; : ; '; ' 
 d) 1 2
1 2 3 7 6 5
9 6 3 6 4 2
x y z x y z
d d: ; :- - - - - -= = = = 
 e) 1 2
1 5 3 6 1 3
2 1 4 3 2 1
x y z x y z
d d: ; :- + - - + += = = = 
 f) 1 2
2 1 7 2
4 6 8 6 9 12
x y z x y z
d d: ; :- + - -= = = =
- - -
 g) 1 2
2 2 2 0 2 2 0
2 2 4 0 2 1 0
x y z x y zd d
x y z x y z
: ; :ì ì- + - = + - + =í í+ - + = - + - =î î
 h) {1 2
2 3 3 9 09 5 3
2 3 0
x y zd x t y t z t d
x y z
: ; ; ; : ì - - - == = = - í - + + =î
Baøi 2. Chứng tỏ rằng các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau. Viết phương trình đường vuông 
góc chung của chúng: 
 a) { {1 21 2 3 2 3 2 1 3 2= - = + = - - = = + = -d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; ' 
 b) { {1 21 2 2 2 2 5 3 4= + = - = - = = - =d x t y t z t d x t y t z: ; ; ; : '; '; 
 c) { {1 23 2 1 4 4 2 2 3 4 1 2= - = + = - = + = - = -d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; ' 
 d) 1 2
2 1 1 1
3 2 2 1 2 4
- + - +
= = = =
-
x y z x y z
d d: ; : 
 e) 1 2
7 3 9 3 1 1
1 2 1 7 2 3
- - - - - -
= = = =
- -
x y z x y z
d d: ; : 
 f) 1 2
2 1 3 3 1 1
2 1 2 2 2 1
- - - - + -
= = = =
- -
x y z x y z
d d: ; : 
 g) 1 2
2 2 2 0 2 2 0
2 2 4 0 2 1 0
ì ì- + - = + - + =
í í+ - + = - + - =î î
x y z x y zd d
x y z x y z
: ; : 
Baøi 3. Tìm giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2: 
 a) { {1 21 2 3 1 2 4d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= = - = + = + = = + 
 b) { {1 21 2 4 3 1 2 3d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= = + = - - = + = - + = - 
 c) { {1 22 3 8 5 2 7 2d x t y t z t d x t y t z t: ; ; ; : ; ;= = + = - - = + = - - = 
 d) 1 2
2 1 0 3 3 0
1 0 2 1 0
x y x y zd d
x y z x y
: ; :ì ì+ + = + - + =í í- + - = - + =î î
Baøi 4. Tìm m để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau. Khi đó tìm toạ độ giao điểm của chúng: 
 a) { {1 21 1 2 1 2 2 3d x mt y t z t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= + = = - + = - = + = - 
Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian 
Trang 49 
 b) { {1 21 3 2 2 1 2 3d x t y t z m t d x t y t z t: ; ; ; : '; '; '= - = + = + = + = + = - 
 c) 1 2
2 4 0 2 3 0
3 0 2 6 0
x