Bài tập Hình học 11- Quan hệ vuông góc trong không gian

¸c ®Þnh t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn OABC16) Cho DABC c©n cã gãc BAC = 1200 vµ ®­êng cao AH = a. Trªn ®­êng th¼ng D vu«ng gãc (ABC) t¹i A lÊy hai ®iÓm I, J ë hai bªn ®iÓm A sao cho DIBC ®Òu vµ DJBC vu«ng c©n.
 a) TÝnh c¸c c¹nh cña DABC.	b) TÝnh AI, AJ vµ CM: DBIJ, DCIJ lµ tam gi¸c vu«ng. 
 c) T×m t©m vµ b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp c¸c tø diÖn IJBC, IABC.
 17) Cho DABC vu«ng c©n t¹i B (AB = a). Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB. Tõ M dùng ®­êng th¼ng vu«ng gãc (ABC) trªn ®ã lÊy ®iÓm S sao cho DSAB ®Òu.
 a) Dùng trôc cña c¸c ®­êng trßn ABC vµ SAB. b) TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn SABC.
VII) DiÖn tÝch, ThÓ tÝch khèi ®a diÖn
 1) Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD, c¹nh ®¸y AB = a vµ c¸c mÆt bªn hîp víi ®¸y mét gãc a. TÝnh thÓ tÝch vµ cña h×nh chãp.
 2) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh ch÷ nhËt cã AB = a, AD = b, SA = b, SA ^ (ABCD). M lµ ®iÓm thuéc SA víi AM= x, mÆt ph¼ng (MBC) c¾t SD t¹i N. TÝnh thÓ tÝch khèi ®a diÖn ABCDMN theo a, b vµ x.
 3) Cho l¨ng trô ®øng ABC.A'B'C' cã ®¸y lµ DABC vu«ng c©n cã AB = AC = a, c¹nh bªn AA' = a. gäi E lµ trung ®iÓm cña AB, F lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña E lªn BC. mÆt ph¼ng (C'EF) chia l¨ng trô thµnh hai phÇn. TÝnh tû sè thÓ tÝch cña hai phÇn ®ã.
 4) Cho l¨ng trô ®øng ABC.A'B'C' cã ®¸y lµ tam gi¸c vu«ng cã CA = CB = a; 
CC' = 2a. M, N lµ trung ®iÓm cña AB vµ AA', mÆt ph¼ng (C'MN) c¾t BC t¹i P.
 a) CM: PC = 2PB.	 b) TÝnh: V. 
 5) Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A'B'C'D' c¹nh a. Gäi E, F lµ trung ®iÓm cña C'D' vµ C'B'. MÆt ph¼ng (AEF) chia h×nh lËp ph­¬ng thµnh hai phÇn. TÝnh thÓ tÝch cña mçi phÇn.
 6) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA ^ (ABCD), SA = h. Gäi I, J, K lµ trung ®iÓm cña SA, BC, CD. Chøng minh mp (IJK) chia h×nh chãp S.ABCD thµnh hai phÇn cã thÓ tÝch b»ng nhau.
7) Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng avµ gãc ASB = a.
 a) TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp.
 b) Chøng minh r»ng ®­êng cao cña h×nh chãp b»ng 
 c) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp.
8) Cho h×nh chãp S.ABC cã hai mÆt bªn (SAB) vµ (SAC) vu«ng gãc víi ®¸y.§¸y ABC lµ mét tam gÝc c©n ®Ønh A. Trung tuyÕn AD b»ng a. C¹nh SB t¹o víi ®¸y gãc a vµ t¹o víi mÆt ph¼ng (SAD) gãc b.
 a) X¸c ®Þnh c¸c gãc a vµ b.	 b) Chøng minh r»ng: SB2 = SA2 + AD2 + BD2.
 c) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch h×nh chãp.
9) Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A'B'C'D' c¹nh a. E vµ F lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña C'B' vµ C'D'.
 a) X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh lËp ph­¬ng t¹o bëi (AEF).
 b) TÝnh thÓ tÝch hai phÇn cña h×nh lËp ph­¬ng do mÆt ph¼ng (AEF) c¾t ra.
10) Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a. C¹nh bªn SA vu«ng gãc víi mÆt ®¸y. Tõ A h¹ c¸c ®­êng vu«ng gãc AE víi SB vµ AF víi SD.
Chøng minh: (AEF) ^ SC
Gäi P lµ giao ®iÓm cña (AEF) víi SC. T×m quü tÝch cña P khi S ch¹y trªn nöa ®­êng th¼ng Ax vu«ng gãc víi ®¸y ABCD
Chøng minh r»ng cã hai vÞ trÝ cña S trªn Ax sao cho VPABCD b»ng mét gi¸ trÞ V cho tr­íc víi ®iÒu kiÖn V kh«ng v­ît qu¸ mét gi¸ trÞ V1 nµo ®ã mµ ta ph¶i x¸c ®Þnh 
VII) To¸n tæng hîp c¸c phÇn:
 1) Cho DABC ®Òu cã ®­êng cao AH = 3a, lÊy ®iÓm O trªn ®o¹n AH sao cho AO = a. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa tam gi¸c t¹i O lÊy ®iÓm S sao cho OS = BC.
 a) CM: BC ^ SA.	b) TÝnh SO, SA, SH theo a.
 c) Qua I trªn ®o¹n OH vÏ mp (a) ^ OH. (a) c¾t AB, AC, SC, SB lÇn l­ît t¹i M, N, P, Q. CM: MNPQ lµ h×nh thang c©n.
 d) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c MNPQ theo a vµ x = AI. X¸c ®Þnh x ®Ó diÖn tÝch nµy cã gi¸ trÞ lín nhÊt.
 2) Cho h×nh chãp S.ABC cã SA ^ (ABCD). §¸y ABC kh«ng ph¶i lµ tam gi¸c c©n. Gäi B' vµ C' lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SB vµ SC.
 a) Chøng minh tø gi¸c BCC'B' néi tiÕp ®­îc vµ c¸c c¹nh BC vµ B'C' kh«ng song song.
 b) CM: 5 ®iÓm A, B, C, B', C' ë trªn mét mÆt cÇu.
 c) Gäi I lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng BC vµ B'C'. CM: gãc IAB = gãc ICA
 3) Cho hai nöa ®­êng th¼ng chÐo nhau Ax, By hîp víi nhau mét gãc lµ 600,
 AB = a lµ ®o¹n vu«ng gãc chung. Trªn Ax, By lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm C, D sao cho AC = 2a, BD = a. Gäi (a) lµ mÆt ph¼ng chøa By // Ax, E lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C lªn (a).
 a) CM: CD ^ By.
 b) Chøng minh 5 ®iÓm A, B, C, D, E ë trªn mét mÆt cÇu, tÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ®ã.
 c) TÝnh gãc hîp bëi CD vµ mÆt ph¼ng (ABC).
 d) TÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña CE vµ AD.
4) Cho hai nöa ®­êng th¼ng Ax, By hîp víi nhau gãc nhän a nhËn AB = h lµm ®o¹n vu«ng gãc chung. Trªn By lÊy ®iÓm C víi BC = a, gäi D lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C trªn Ax. Gäi Az lµ nöa ®­êng th¼ng qua A vµ // By
 a) TÝnh ®é dµi AD vµ kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn mÆt ph¼ng (ABD).
 b) X¸c ®Þnh t©m cña mÆt cÇu ®i qua bèn ®iÓm A, B, C, D.	 c) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ D ®Õn By.
5) Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng avµ gãc ASB = a.
 a) TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp.
 b) Chøng minh r»ng ®­êng cao cña h×nh chãp b»ng 	 c) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp.
6) Cho h×nh chãp S.ABC cã hai mÆt bªn (SAB) vµ (SAC) vu«ng gãc víi ®¸y.§¸y ABC lµ mét tam gÝc c©n ®Ønh A. Trung tuyÕn AD b»ng a. C¹nh SB t¹o víi ®¸y gãc a vµ t¹o víi mÆt ph¼ng (SAD) gãc b.
 a) X¸c ®Þnh c¸c gãc a vµ b.	 b) Chøng minh r»ng: SB2 = SA2 + AD2 + BD2.
 c) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch h×nh chãp.
7) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a. MÆt bªn SAB lµ tam gi¸c ®Òu vµ vu«ng gãc víi ®¸y. Gäi H lµ trung ®iÓm cña AB vµ lµ mét ®iÓm di ®éng trªn ®­êng th¼ng BC.
 a) Chøng minh r»ng SH ^ (ABCD). TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.ABCD.
 b) T×m tËp hîp c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña S lªn DM.	 c) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ S ®Õn DM theoa vµ x = CM.
8) Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A'B'C'D' c¹nh a. E vµ F lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña C'B' vµ C'D'.
 a) X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh lËp ph­¬ng t¹o bëi (AEF).
 b) TÝnh thÓ tÝch hai phÇn cña h×nh lËp ph­¬ng do mÆt ph¼ng (AEF) c¾t ra.
9) Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a; SA = a vµ SA ^ (ABCD), AI, AJ vµ AE lµ c¸c ®­êng cao xuÊt ph¸t tõ A trong tam gi¸c SAB, SAD vµ SAC
Chøng minh: AI, AJ, AE ®ång ph¼ng
b)CMR tø gi¸c AIEJ cã c¸c ®­êng chÐo vu«ng gãc nhau vµ tÝnh diÖn tÝch cña nã 
10) Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh ch÷ nhËt c¹nh; SA ^ (ABCD). Dùng c¸c ®­êng cao AH, AK trong tam gi¸c SAB vµ SAD. Chøng minh: (AHK) ^ (SBC) vµ (AHK) ^ (SCD) 
11) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh ch÷ nhËt t¹i A lÊy mét ®iÓm S. mÆt ph¼ng qua CD c¾t SA t¹i M vµ SB t¹i N
CDMN lµ h×nh g×?	 b)Nªu c¸ch dùng ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ S vu«ng gãc víi (CDMN) 
12) Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i A vµ D vµ AB = 2a; AC = DC = a; SA = a lµ ®o¹n th¼ng vu«ng gãc víi (ABCD)
Chøng minh (SAC) ^ (SBC)	b)TÝnh gãc nhÞ diÖn (A, SB, C) 
13) Trong mÆt ph¼ng (P) cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. Hai ®iÓm M vµ N di ®éng trªn c¸c c¹nh BC vµ CD. §Æt Chøng minh: = x vµ CN = y. Trªn ®­êng th¼ng At vu«ng gãc víi (P) lÊy mét ®iÓm S. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y ®Ó:
Gãc cña c¸c mÆt ph¼ng (SAM) vµ (SAN) b»ng 450	 b)(SAM) ^ (SMN) 
14) Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. Hai mp (SAB) vµ (SAD) vu«ng gãc víi nhau; SA = a
Chøng minh: (SAB) ^ (SBC) vµ (SBD) ^ (SAC)
X¸c ®Þnh vµ tÝnh gãc nhÞ diÖn (S, BD, A)	c)X¸c ®Þnh vµ tÝnh gãc nhÞ diÖn (B, SC, D)
15) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹ch a. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh vu«ng t¹i A ta lÊy mét ®iÓm S víi AS = h. X¸c ®Þnh vµ tÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña:
SC vµ BD	b)SC vµ AD 
16) Trªn c¹nh AD cña h×nh vu«ng ABCD c¹nh a lÊy ®iÓm M víi AM = x (0 0
Chøng minh r»ng nhÞ diÖn c¹nh SB cña h×nh chãp SABCM lµ nhÞ diÖn vu«ng
TÝnh kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn mp(SAC)
Gäi I lµ trung ®iÓm cña SC; H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña I lªn Chøng minh:. T×m quü tÝch cña H khi M ch¹y trªn c¹nh AD vµ S ch¹y trªn Ax 
17) Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang vu«ng ABCD vu«ng t¹i A vµ B, AB = BC = a; AD = 2a; ®­êng cao cña h×nh chãp lµ SA = 2a
X¸c ®Þnh vµ tÝnh ®o¹n vu«ng gãc chung cña AD vµ SC	b)TÝnh gãc ph¼ng nhÞ diÖn c¹nh SD 
18) Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ nöa lôa gi¸c ®Òu c¹nh a, chiÕu cao SA = h
TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SABCD
mp qua A vu«ng gãc víi SD c¾t SB, SC, SD ®­êng th¼ng¹i B’,C’,D’.CMR tø gi¸c AB’C’D’ néi tiÕp 
Chøng minh: A’B’ > C’D’ 
19) Cho h×nh chãp SABCD, ®¸y lµ h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, chiÒu cao SA.
H·y nªu c¸ch dùng thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (P) qua A vµ vu«ng gãc víi SC
TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn 
20) Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ nöa lôc gi¸c ®Òu ABCD víi AD = 2a, AB = BC = CD = A. C¹nh SA = h vu«ng gãc víi ®¸y. (P) lµ mÆt ph¼ng qua A vu«ng gãc víi SD c¾t SB, SC, SD t¹i B’, C’, D’
Chøng minh r»ng AB’C’D’ lµ mét tø gi¸c néi tiÕp 
TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SAB’C’D’	c)TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c AB’C’D’ 
21) Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a. C¹nh bªn SA vu«ng gãc víi mÆt ®¸y. Tõ A h¹ c¸c ®­êng vu«ng gãc AE víi SB vµ AF víi SD.
Chøng minh: (AEF) ^ SC
Gäi P lµ giao ®iÓm cña (AEF) víi SC. T×m quü tÝch cña P khi S ch¹y trªn nöa ®­êng th¼ng Ax víi ®¸y ABCD
Chøng minh r»ng cã hai vÞ trÝ cña S trªn Ax sao cho VPABCD b»ng mét gi¸ trÞ V cho tr­íc víi ®iÒu kiÖn V kh«ng v­ît qu¸ mét gi¸ trÞ V1 nµo ®ã mµ ta ph¶i x¸c ®Þnh 
22) Trong mÆt ph¼ng (P) cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. Trªn ®­êng th¼ng Ox vu«ng gãc víi (P) ta lÊy ®iÓm S.
1/ Gi¶ sö c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp SABCD t¹o víi ®¸y mét gãc a 
X¸c ®Þnh ®­êng vu«ng gãc chung cña SA vµ CD . TÝnh ®é dµi ®­êng vu«ng gãc chung ®ã theo a vµ a
Mét mp ®i qua AC vµ vu«ng gãc víi (SAD) chia h×nh cÇu thµnh hai phÇn . TÝnh tû sè thÓ tÝch cña hai phÇn ®ã
2/ Gi¶ sö ®iÓm S thay ®æi, h·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña S trªn Ox sao cho mÆt ph©n gi¸c cña gãc nhÞ diÖn øng víi c¹nh ®¸y cña mÆt xung quanh cña h×nh chãp SABCD thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau 
23) Trong mp (P) cho ®­êng trßn (r) b¸n kÝnh R; A lµ ®iÓm cè ®Þnh trªn (r), S lµ ®iÓm trªn ®­êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi (P) t¹i A. ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp trong (r) cã hai ®­êng cheo AC vµ BD vu«ng gãc víi nhau.
Gi¶ sö S cè ®Þnh, ph¶i chän ®¸y ABCD thÕ nµo ®Ó h×nh chãp SABCD cã thÓ tÝch lín nhÊt
Víi ABCD ®· ®Þnh chän nh­ ë c©u a. Gi¶ sö S di ®éng trªn (d). Trªn ®o¹n AB lÊy ®iÓm M. §Æt AM = x (0 £ x £ R) vµ AS = y. BiÕt SM = R. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn AB ®Ó h×nh