Bài tập Hình học 11 - GV: Hồ Văn Hoàng

 Î d’.
* Phương trình của đường thẳng d’ có dạng : . ( do d // d’)
* M’d’ nên 3() – 5.3 + C = 0 C = 24. Vậy d’ : .
Cách 2: "M(x;y)Îd Û 2x - y + 1 = 0 (1).
Gọi M’(x’; y’) = T(M) ta có biểu thức: . 
Thay x và y này vào (1) ta có: 2(x’-3) - (y’+4) + 1 = 0 Û 2x’ - y’ - 9 = 0
Vậy ảnh của đường thẳng d là đường thẳng d’: 2x - y - 9 = 0.
3. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x-1)2 + (y+2)2 = 4 trong phép tịnh tiến với=(-2;3)
* Từ phương trình (C) suy ra I(1 ; ), bán kính r = 2.
* (I) = I’ = (1; + 3) = (; 1). Theo tính chất của phép tịnh tiến thì (C) và (C’) có cùng bán kính r = 3. Do đó (C’) : (x + 1)2 + (y – 1)2 = 4.
Cách 2: "M(x; y)Î(C) Û (x-1)2 + (y+2)2 = 4 (1) 
Gọi M’(x’;y’) =[M(x;y)] . Ta có biểu thức: . 
Thay x và y này vào (1) ta có: (x’ + 2 - 1)2+(y’ - 3 + 2)2 = 4 Û (x’ + 1)2 + (y’- 1)2 = 4
Vậy ảnh của (C) là đường tròn (C’):(x+1)2 + (y-1)2 = 4 có tâm I’(-1;1), bán kính R = 2.
4. Cho đường thẳng d:. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d’ đi qua gốc tọa độ và viết phương trình d’.
* Cho y = 0 x = 3 suy ra A(3 ; 0) Þ = ( – 3 ; 0). Vậy: d’ : 3x – y = 0.
Bài tập sách giáo khoa
1/ CMR A’= (A) Û A =(A’) 
Dựa vào định nghĩa ,tính chất 1 và biểu thức toạ độ.
D
C’
B’
2/ Cho DABC có trọng tâm G. Tìm ảnh của tam giác qua . Tìm D =(A).
Dùng định nghĩa , tính chất 1, tính chất 2 
3/Trong mp Oxy cho = (-1; 2), A(3; 5), B(-1; 1); d: x - 2y + 3 = 0.
a./ Tìm toạ độ A’ = (A), B’ = (B).
b/ Tìm toạ độ C sao cho A = (C).
c/ Tìm phương trình đường thẳng d’= (d).
a./ suy ra A’(2,7),B’(-2,3)
b./
c./, .Ta có 
vậy pt của d’: x - 2y + 8 = 0. Câu hỏi tương tự cho = (1; - 2)
4/Cho hai đường thẳng song a // b. Chỉ rõ phép tịnh tiến biến a thành b. 
 Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế ?
Lấy A Î a; B Î b. Khi đó (a) = b. Có vô số.
THAM KHẢO
Þ 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Cho hai điểm cố định B, C trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm quĩ tích trực tâm H của DABC.
HD: Vẽ đường kính BB¢. Xét phép tịnh tiến theo . Quĩ tích điểm H là đường tròn (O¢) ảnh của (O) qua phép tịnh tiến đó.
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B cắt AC tại E, AD tại F. Tìm tập hợp trực tâm các tam giác CEF và DEF.	 HD: Gọi H là trực tâm DCEF, K là trực tâm DDEF. Xét phép tịnh tiến theo vectơ . Tập hợp các điểm H vàK là đường tròn (O¢) ảnh của (O) qua phép tịnh tiến đó (trừ hai điểm A và A' với ). 
Cho tứ giác lồi ABCD và điểm M được xác định bởi và . Chứng minh: . 	HD: Xét phép tịnh tiến theo vectơ .
Cho tứ giác ABCD có= 600, = 1500, = 900, AB = , CD = 12. Tính độ dài các cạnh AD và BC. HD: Xét phép tịnh tiến theo vectơ . BC = 6, AD = .
Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua phép tịnh tiến trong các trường hợp: 	
a) = (1; 1) 	b)= (2; 1) c)= (–2; 1) d) = (3; –2) 	e)=(0; 0) f)=(–3; 2)
Cho điểm A(1; 4). Tìm toạ độ điểm B sao cho trong các trường hợp sau:
a)	b) = (2; 1) c)= (–2; 1) d)=(3; –2)	e)= (0; 0) f)= (–3; 2)
III. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC.
Định nghĩa: Đd(M)=M’ Û d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’, d là trục đối xứng.
d
C’
B’
C
A’
B
O*
*O’
A
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục : Trong mặt phẳng Oxy cho M(x;y), 
 M’= ĐOx(M)=(x’;y’) thì :
 N’= ĐOy(N)=(x’;y’) thì : 
Tính chất :
 1. Đd(M)=M’ , Đd(N)=N’ M’N’=MN
 2. Tương tự tính chất của phép tịnh tiến. 
Trục đối xứng của một hình :
 Đd(H) = H thì d là trục đối xứng của hình H 
 Hình H là hình có trục đối xứng
Ví dụ
1/ Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm : A(0;3), B(-2;-1), C(5;1)
 a) Tìm ảnh A’,B’, C’ của A,B,C qua phép đối xứng trục Ox
 b) Gọi G là trọng tâm của ABC . Tìm (G)= G’
 c) Viết phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng GA qua .
Điểm M(x ; y) Þ ĐOx(M) = M’( x; –y). Vậy A’(0; –3), B’(–2; 1), C(5, –1)
G là trọng tâm Þ G(1; 1)
Ta có:. Gọi G’(x; y) Ta có: 
Ta có: . Vậy: G’(-1;-3)
c) Ta có :  ; 
Ảnh các đường thẳng GA qua phép tịnh tiến trên theo là đường thẳng G’B.
Ta có: là véc tơ chỉ phương của G’B. Vậy G’B: 
2/ Cho d:x – 5y +7 = 0 ; d’: 5x – y – 13 = 0. Tìm phép đối xứng trục biến d thành d’
ĐD(d) = d’ thì D là đường phân giác của góc tạo bởi d và d’. Từ đó suy ra có phương trình : Û x – 5y + 7 = (5x – y – 13)
Từ đó tìm ra hai phép đối xứng trục 1: x + y – 5 = 0 và 2: x – y – 1 = 0.
3/ Cho điểm M(1 ; 5), đường thẳng d có phương trình : và đường tròn (C) có phương trình : .
a) Tìm ảnh của M, d, (C) qua phép đối xứng trục Ox
b) Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục là đường thẳng d.
a) Dùng biểu thức tọa độ phép đối xứng trục Ox : Đ(Ox)(M) = M’(x’;y’) Þ
b) B1 : Tìm phương trình đường thẳng d1 đi qua M và vuông góc với d. 
 (d1) : 
 B2 : Tìm giao điểm M0 của d1 và d. Giải hệ 
 B3 : Xác định tọa độ M” là ảnh của M qua phép đối xứng trục d sao cho M0 là trung điểm của MM”. Gọi M”(x ; y) ta có M”(3 ; 1)
4/ Cho đường thẳng d có phương trình và đường thẳng d’ có phương trình . Tìm phép đối xứng qua trục biến d thành d’.
Dựa vào phương trình của d và d’ ta thấy d và d’ không song song với nhau
Phương trình 2 đường phân giác góc (d, d’) là :
. Từ đó ta tìm được hai phép đối xứng qua các trục là : và .
Bài tập sách giáo khoa
1/ Tìm ảnh của A(1; -2), B(3; 1) & đường thẳng AB qua ĐOx= ?
? ? d º Ox : A’(1,2); B’(3,-1) 
Đường thẳng d’ là ảnh của AB qua phép ĐOx là đường thẳng d’ º A’B’: 3x + 2y – 7 = 0
2/ Viết phương trình d’ đối xứng d: 3x - y + 2 = 0 qua ĐOy ?
M(-x’,y’) mà M Î d nên - 3x’ - y’ + 2 = 0 Þ d’: 3x + y - 2 = 0.
3/ Các hình có trục đối xứng: V,I,E,T,A,M,W,O.
4/ Trong các chữ cái sau, chữ nào là hình có trục đối xứng? nếu có thì có bao nhiêu trục đối xứng? N G U Y E N H U E
5/ Dựng là ảnh của qua phép đối xứng trục , biết là đường cao trong .
THAM KHẢO
M’(–1; –2); (D’): 3x – y – 4 = 0; 
Tự luyện
1. Cho I(1;-1) và : 3x + 4y +1 =0. Tìm tọa độ I’ = ĐD (I).
2. Cho I(3;-2) và : 3x - 2y +1 =0. Tìm tọa độ I’ = ĐD (I).
3. Cho C):x2 + y2 – 4x + 6y – 2 = 0, và D : 3x - 2y +1 = 0. Viết ph trình (C’) = ĐD ((C)).
4. Cho A(2; 0) và : x - y +2 =0.	
a. Tìm điểm đối xứng của O qua D ;
b.Tìm MD để đường gấp khúc OMA có độ dài ngắn nhất.
5. Hãy tìm các đường thẳng d’1 đối xứng với d1 : 2x - y + 4 = 0, và d’2 đối xứng với 
d2: 3x + 4y - 1 = 0 qua đường thẳng có phương trình :: 2x - y + 1 = 0.
6.Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua A(0; 4) và d2 đi qua B(5; 0) sao cho d1 và d2 tạo với nhau một góc nhận : 2x -2y + 1 = 0 làm đường phân giác. 
A’
B’
C’
C
B
A
 I
*O
*O’
IV. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM.
 Định nghĩa : ĐI(M)=M’ ; 
I gọi là tâm đối xứng.
 Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục :
Trong mặt phẳng Oxy cho M(x;y), 
M’= ĐO(M)=(x’;y’) thì :
I(a;b), M’= ĐI(M)=(x’;y’) thì : 
Tính chất :
 1. ĐI(M)=M’ , ĐI(N)=N’ M’N’=MN
 2. Tương tự tính chất của phép tịnh tiến. 
Tâm đối xứng của một hình :
ĐI(H)= H thì I là tâm đối xứng của hình H . Hình H là hình có tâm đối xứng.
Ví dụ : Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy
1. Tìm tọa độ của M’ là ảnh của M(2;-1) qua phép đối xứng tâm I(3; 1).
Gọi M’(x’;y’) = ĐI (M) . Ta có:. Vậy M’(4;3)
2. Tìm ảnh của đường thẳng d: x + y - 1=0 qua phép đối xứng tâm I(3; 1).
Cách 1: "M(x;y) Î dÛ x + y -1 = 0 (1)
Gọi M’(x’;y’) = ĐI [M(x;y)]. Ta có:. Thay (x;y) này vào (1) có 6-x’+2-y’-1=0Ûx’+y’-7=0.M(x’;y’)Îd’Û x + y - 7 = 0 .Vậy d’: x + y - 7 = 0.
Cách 2: ĐI (d) = d’//d. Vậy d’: x + y + C = 0 với C≠-1. Vì I cách đều d và d’ nên:Û|C+4|=3Û. Vậy d’: x + y - 7 = 0.
3. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x - 1)2 + (y - 1)2 = 4 qua phép đối xứng tâm I(3; 1).
Cách 1: "M(x;y)Î(C)Û (x -1)2 + (y -1)2 = 0 (1).Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) qua phép đối xứng tâm I(3;1). Ta có:.Thay (x;y) vào (1): (6-x’-1)2+(2-y’-1)2=4 Û (x’-5)2+(y’-1)2=4. Vậy M(x’;y’)Î (C’):(x-5)2+(y-1)2=4. 
Vậy (C’):(x-5)2 + (y-1)2 = 4 là ảnh của (C) qua phép đx tâm I(3;1).
Cách 2: Đường tròn (C):(x-1)2+(y-1)2=4 có tâm I0(1; 1) và bán kính R = 2. 
Qua phép đối xứng tâm I(3;1) đường tròn (C) có ảnh là đường tròn (C’) có tâm I0’(5;1) và bán kính R’=R=2. Vậy (C’):(x-5)2 + (y - 1)2 = 4.
Bài tập sách giáo khoa
1/ Cho A(-1;3) và d:x - 2y + 3 = 0. Tìm ảnh A’ & d’ của A và d qua ĐO. Vẽ hình.
- Dùng biểu thức tọa độ có A’(1; - 3).
- Chọn B(0;3/2) và C(-3;0) suy ra B’(0;-3/2) và C’(3;0) có d’ º B’C’: x – 2y-3 =0
- tìm 2 điểm B,C thuộc d rồi vẽ d
- Tìm hai điểm B’ và C’ đối xứng của B, C qua O. Nối B’C’ ta có d’.
Tương tự cho A(1; - 3) & d: x + 2y - 3 = 0.
2/ Tìm các hình có tâm đối xứng trong các hình tam giác đều, hình bình hành, ngũ giác đều, lục giác đều? (KQ: Hình bình hành và lục giác đều).
3/ Tìm hình có vô số tâm đối xứng? (Đường thẳng & hình gồm 2 đường thẳng song song).
THAM KHẢO
Bài tập tự luyện
1. Tìm ảnh của DABC qua phép đối xứng tâm G, biết G là trọng tâm của DABC.
2. Trong các hình tam giác đều, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông , hình thang cân hình nào có tâm đối xứng.
3. Trong các chữ sau , chữ nào có tâm đối xứng ? N G U Y E N H U E
4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2,-2) và đường thẳng d : 2x + y – 1 = 0 .
 a. Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O
 b. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm A.
5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm .
 a. Tìm ảnh của A, B, C qua phép đối xứng tâm O.
 b. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
 c. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua phép đối xứng tâm A.
6. Cho đường tròn , đường thẳng d và điểm I . Tìm điểm A trên và điểm B trên d sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
 V. PHÉP QUAY
Định nghĩa: Phép quay tâm I góc quay ( với là góc lượng giác không đổi ) 
là phép biến hình biến điểm I thành điểm I và biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho IM = IM’ và (IM , IM’) = . Ký hiệu : hay M’
Lưu ý :	- Phép quay tâm I, góc quay là phép đối xứng tâm I
Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác
Biểu thức tọa độ của phép quay 
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, phép quay tâm góc quay , biến điểm M(x;y) thành điểm . Khi đó :
Đặc biệt: 
· Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, phép quay tâm , góc quay biến điểm M(x;y) thành điểm . Khi đó : 
· Trong